數學教案－垂線

教學建議

1.知識結構

2.重點和難點分析

（1）本節的重點是會用兩直線垂直的定義判定兩條直線垂直和點到直線的距離的概念.兩直線垂直的定義中雖然強調“有一個角是直角”，但實際上由對頂角和鄰補角的性質，可以得到其他三個角也都是直角，因此不指定哪一個角是直角，實際上無論哪一個角是直角，都可以判定兩直線垂直.反過來，已知兩直線垂直，那么它們的四個交角中無論哪一個角都是直角.對于點到直線的距離，一定要給學生強調距離是垂線段的長度，是一個數量，而不能誤認為是垂線段本身.

（2）本節的難點是空間直線與平面、平面與平面的垂直關系.因為初一學生的空間想象能力比較差，想象不出什么情況下直線與平面、平面與平面垂直.教科書是學生在對長方體已有認識的基礎上，通過進一步的觀察分析，得出結論，對于這些結論，只要求學生有感性認識，不要求學生掌握，所以老師不要深挖.

3.教法建議

（1）本節仍用上節用過的相交線模型作演示（也可用我們提供的課件），在讓學生觀察模型時，不要只讓學生看熱鬧，而要讓他們帶著問題去看，可以提出如下兩個問題：（1）轉動木條b時，它和不動木條a互相垂直的位置有幾個？（認識垂線的唯一性）；（2）當a、b相交有一個角是直角時，其他三個角也都是直角嗎？然后找學生回答，以此來增加學生對兩直線垂直的感性認識.

（2）對于空間里直線與平面、平面與平面垂直的知識是要求學生了解的內容，不是重點但是難點，因為此時學生的空間想象力差，不容易想象它們垂直的情形，為了突破這個難點，

我們做了一個課件，這個課件把直線與平面、平面與平面垂直的情況，更直觀的展現了學生，幫助學生對此知識的理解.

教學設計示例

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.使學生掌握垂線的概念。

2.會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。

3.使學生理解并掌握垂線的第一個性質。

（二）能力訓練點

1.通過對垂線定義做正、反兩方面的推理，培養學生的邏輯推理能力。

2.通過垂線的畫法，進一步培養學生的實際動手操作能力。

（三）德育滲透點

使學生初步樹立辯證唯物主義觀點。

（四）通過垂線，使學生進一步體會到幾何圖形的對稱美。

二、學法引導

1.教師教法：活動投影片演示直觀教學法，引導發現法.

2.學生學法：在教師的指導下，自主式學習.

三、重點、疑點及解決辦法

（一）重點

垂線概念和性質.

（二）難點

垂線的判斷和性質的理解運用.

（三）疑點

垂線的性質.

（四）解決辦法

通過創設情境，引導學生主動發現性質，并運用練習加以鞏固.

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀、三角尺、量角器、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.通過創設情境，復習基礎知識，引入課題.

2.通過教師引導提問，學生思考、互相敘述和糾正，教師點撥，練習鞏固新課.

3.通過師生互答完成歸納小結.

七、教學步驟 

（一）明明目標

通過畫垂線，使學生既能理解并掌握垂線的概念和第一個性質，又能提高學生的動手操作能力.

（二）整體感知

以情境引入課題，以引導學生討論思考、動手操作和教師點撥相結合完成教學任務，以練習檢測為鞏固檢查手段，強化教學內容.

（三）教學過程 

創設情境，復習引入

提出問題：如右圖，（1）∠AOC的對頂角是哪個角？這兩個角的關系怎樣？

（2）∠AOC的鄰補角有幾個？是哪幾個角？

教師演示：（活動投影片）轉動直線CD的同時，用量角器量直線AB、CD相交所得的角，多變換幾種位置一直轉到使直線CD與AB所成的角有一個角∠AOC＝90°（如右圖）.

學生活動：當∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？為什么？這種位置關系有幾種？直線AB、CD的位置關系怎樣？學生回答完后，引入課題.

【板書】2.2垂線

【教法說明】因為對頂角、鄰補角及對頂角的性質，是建立垂直概念的基礎之上，所以在講新課前要復習鞏固這些內容.

探究新知，講授新課

提出問題：什么樣的兩條直線互相垂直？

學生活動：學生思考上面的問題，同桌相互敘述，互相糾正補充，語句通順后舉手回答.

教師根據學生回答情況，適當加以引導點撥，然后板書：

【板書】 1.垂直定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的里線，它們的支點叫做垂足.

提出以下問題幫助學生理解定義（投影顯示，投影片1）

【教法說明】用活動投影片演示“兩條直線互相垂直”這個概念的產生過程，使學生形成對概念的感性認識再回過頭來進行定義，并且從演示過程中看到垂直是兩條直線相交的一種特殊情況，認識了事物間的發展變化的辯證關系，提出問題幫助學生理解概念，比教師單純“強調”效果更好.

學生活動：讓學生舉出日常生活和生產中常見的垂直關系的實例.（十字路口的兩條道路；方格本的橫線和豎線；鉛垂線和水平線.）

【教法說明】通過舉例，啟發學生廣泛聯想，一方面讓學生知道兩直線垂直的概念是從實物中抽象出來的；另一方面使理論與實際相聯系.

2.垂直的記法、讀法和判定

學生活動：讓學生自己嘗試學習，閱讀課本第60頁的內容，然后師生間相互交流.

歸納：①直線垂直的記法讀法：直線AB、CD互相垂直，記作“AB⊥CD”域“CD⊥AB”，讀作“AB垂直于CD”，如果垂足為O，記作“AB⊥CD，垂足為O”（如圖右上）.

②垂直判定：∵∠AOC=90°，

∴AB⊥CD（垂直的定義）.

∵AB⊥CD（已知），

∴∠AOC＝90°（垂直的定義）.

學生活動：用∠AOD、∠BOD或∠BOC讓學生重復練習正、反兩步推理.

【教法說明】讓學生自己嘗試學習，可充分發揮學生的積極性、主動性，對垂直定義做正、反兩方面的推理可加深學生對定義的理解，一方面為了滲透符號推理格式，熟悉符號的使用；另一方面可加深學生對定義的理解，定義既可以作判定用，又可以當性質用.

3.垂線的畫法及性質

學生活動：讓學生用三角板或量角器，過直線上一點或者直線外一點畫直線的垂線，回答過直線上（直線外）一點能不能畫這條直線的垂線？能畫幾條？（請一個學生到黑板上去畫）

通過畫圖，得垂線的第一條性質：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

提出問題：

（1）“過一點”包括幾種情況？

（2）“有且只有”是什么意思？（“有”表示存在，“只有”表示惟一.）

【教法說明】垂線的性質放手讓學生自己動手畫圖，自己總結，培養了學生動手，動腦，發現問題和解決問題的能力，達到能力培養的目標.

學生活動：讓學生嘗試畫一條線段或射線的垂線（一個學生板演）.

【教法說明】學生畫圖時，教師巡回指導，發現問題，及時糾正，使學生加深印象，進一步培養學生動手操作能力.

嘗試反饋，鞏固練習

投影顯示（投影片2）

【教法說明】平面內兩條直線互相垂直，是一種非常重要的位置關系，本組練習態在使學生會用定義判斷兩直線垂直，并且應從不同角度去掌握判斷它的方法.

投影顯示（投影片3）

【教法說明】本組填空題主要是通過變式圖形，讓學生判斷兩條直線垂直，防止思維定式.第1題區別垂直相交和外交。第2題通過計算判斷兩條直線垂直，第3題是鞏固兩條直線垂直的性質.

投影顯示（投影片4）

【教法說明】在前邊練習的基礎上，學生自己解決并不難，教師要完全放手，開闊學生思路，學生可能出現多種解法，口算、算術解法、列方程等，找一個用方程解決的學生板演，因為這種方法更具有一般性，并通俗易懂，學生易于接受.解這類綜合性的題，要求學生能結合圖形，發現幾何對象在數量上的明顯關系及隱含關系并會用代數手段進行計算，另外對幾何對象的位置關系要會緊扣定義判斷.

投影顯示（投影片5）

【教法說明】讓學生在理解概念的基礎上，多動手練習畫垂線，進一步體會垂線的惟一性，同時培養學生的動手操作能力。

（四）總結、擴展

投影顯示（投影片6）

【教法說明】通過小結，幫助學生全面地理解掌握所學知識，使知識成為“體系”從而形成新的認知結構。

八、布置作業 

（一）必做題

課本第70頁習題2.1A組第5題。

（二）選做題

課本第72頁B組第5題。

【教法說明】讓學有余力的學生進一步做B組練習，目的是調動學生的學習和積極性，提高學生思維廣度，培養學生良好的學習習慣和思維方式。

作業 答案

九、板書設計