矩形的判定教案

20.2矩形的判定

預習導航學案 激活思維 1.請你畫一個矩形，并畫出它們的對角線.觀察圖形，你能說出它有哪些性質嗎?試一試. 2.__________________叫做矩形. 3.矩形的對邊________；四個角都是___________；對角線___________。 4.____________________的平行四邊形是矩形.對角線_____________的平行四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是________________形 信息鼠標 1.(略) 2.有一個內角是直角的平行四邊形 3.相等   直角   相等 4.有一個角是直角   相等   矩

互動研學教練 教材研學 一。、矩形的性質回顧 1.矩形的性質   （1）矩形具有平行四邊形的一切性質；   （2）矩形對角線相等；   （3）矩形的四個角都是直角；   （4）矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.對稱軸有兩條，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩對角線的交點. 2.矩形性質的圖形說明   如圖20—2—1，在矩形abcd中，   從邊上看：   ab∥cd，ab=cd；ad∥bc，ad=bc.   從對角線上看：   ac=bd   且oa=ob=oc=od。   從角上看：   ∠abc＝∠bcd＝∠cda＝∠dab＝90°.老師：根據上面矩形的性質分析可得直角三角形的一個什么性質? 小弘：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.如：在rt△abc中，o是斜邊ac的中點，則ac=2ob.二、矩形的判定如圖20－2－2 1.利用定義判別  平行四邊形 矩形 2.利用對角線判別對角線相等的平行四邊形是矩形；對角線平分且相等的四邊形是矩形.即：①在平行四邊形abcd中，若ac=bd，則平行四邊形abcd是矩形； ②在四邊形abcd中，若ac=bd，且oa＝oc、ob=od， 則四邊形abcd是矩形. 3.利用角判別四個角是直角的四邊形是矩形.即：在四邊形abcd中，若∠a＝∠b＝∠c＝∠d＝90°，則四邊形abcd是矩形.實際證明中，只要證明出三個角為直角即可.三、矩形的應用（1）用以證明線段相等或平分或倍數關系； （2）直角三角形兩銳角互余； （3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（4）直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；（5）證明兩條直線垂直.四、探究活動     如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖20一2—3①，矩形abef即為△abc的“友好矩形”，顯然，當△abc是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個.問題：仿著上述敘述，畫出直角三角形的“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小.               分析：考察直角三角形的每一條邊與矩形重合的情形，當以兩條直角邊為邊作矩形時，這兩個矩形重合，即為一個，所以直角三角形的“友好矩形”有兩個.探究：如圖20一2—3②，若△abc為直角三角形，且∠c=90°，在圖20—2—3②中畫出△abc的所有“友好矩形”，此時共有2個矩形，如圖20—2—4中的bcad、abef；易知，矩形bcad、abef的面積等于△abc面積的2倍， ∴△abc的“友好矩形”的面積相等.結論：直角三角形有兩個“友好矩形”，且這兩個矩形的面積相等.           點石成金 例1.如圖20—2—5所示，在矩形abcd中，對角線ac、bd相交于點o，ae ⊥bd于e，則（1）圖中與∠bae相等的角有__________；（2）若∠aob=60°，則ab：bd＝_________。圖中△doc 是___________三角形（按邊分）.解析：這是一道直接考查矩形特征的例題，在解答時，我們應充分考慮矩形的特征及與之相關的知識，例如在尋找與 ∠bae相等的角時，看清∠bae的形成，即為過a作ae⊥bd所形成，則∠bae+∠ead=90°，而∠adb+∠ead=90°，故∠bae=∠adb.又因為∠adb=∠dbc= ∠dac，由此找與∠bae相等的角就不難了；至于在第（2）問求ab：bd的方法，可根據題目的特殊條件及圖形的特殊性找到結論.答案（1）∠adb，∠dbc，∠acb，∠dac  （2）1：2  等邊名師點金：找角時一定要找全，不能漏掉.例2.如圖20—2—6所示，在矩形abcd中，對角線ac、bd相交于點o，已知ac=6 om，∠boc=120°.求：（1） ∠acb的度數；（2）求ab、bc的長度.分析：本題是對矩形性質的考查（1）要求∠acb的度數，而已知∠boc＝120°， △boc中，由矩形的性質，知ob＝oc，從   而∠obc=∠acb.由此可求出∠acb.（2）在rt△acb中，對角線 ac=6cm，第（1）問已求出∠acb=30°，因此ab即可求出.然后利用勾股定理求出bc的長.解：（1）在矩形abcd中，對角線ac與bd互相平分且相等，于是ob=oc，所以∠obc＝∠acb，故 ∠acb ＝  （180°一120°）＝30°.（2）矩形abcd中，∠abc=90°，又∠acb=30°，因此30°角所對直角邊ab等于斜邊ac的一半，即ab＝ ac＝3cm，bc＝ （cm）名師點金：矩形問題通常通過對角線將其轉化為等腰三角形或直角三角形來解決.例3.已知   abcd的對角線ac，bd相交于o，△abo是等邊三角形，ab＝4 cm，求這個平行四邊形的面積（圖20一2—71.) 分析：（1）先判定   abcd為矩形。（2）求出rt△abc的直角邊bc的長。（3）計算s＝ab·bc 解：∵四邊形abcd是平行四邊形。∴△abo≌△dco 又∵△abo是等邊三角形  ∴△dco也是等邊三角形，即ao＝bo＝co＝do ∴ac＝bd ∴   abcd為矩形。在rt△abc中，∠bac＝60°，∠abc＝90° ∴bc＝ ab，即bc＝4 cm s abcd＝ab·ac＝16 cm2 名師點金：本題首先判定平行四邊形是矩形，再利用矩形的面積公式來計算.例4. (1)利用左欄的探究結論說明什么是三角形的“友好平行四邊形”. (2)若△abc為銳角三角形，且bc< ac<ab，在圖20一2—8中畫出△abc的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.   分析：用類比聯(lián)想的方法先構造出每一種情況下三角形 的“友好矩形”，根據矩形的邊和面積與其三角形的邊和面積之間的關系，尋找其周長與面積.解：(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.  (2)此時共有3個“友好矩形”， 如圖20—2—9中矩形bcde，cafg及abhk，其中矩形abhk 的周長最小.證明如下：     易知，這三個矩形的面積相等，令其為s.設矩形bcde、 cafg及abhk的周長分別為l1、l2、l3，△abc的邊長 bc＝a，ca＝b，ab＝c，則l1＝ ＋2a l2＝ ＋2b，l3＝ ＋2c。 ∴ ＝ ＝2（a－b）而a＞b，∴l(xiāng)1－l2＞0，即l1＞l2。同理可得l2＞l3 ∴l(xiāng)3的周長最小，即矩形abhk的周長最小。名師點金：在閱讀理解的基礎上，先畫出圖形，確定好每一種情形，利于進一步求解。