數(shù)學(xué)是什么？
數(shù)學(xué)教師》上撰文說(shuō)：“其實(shí)，含有未知數(shù)的等式叫方程，也并非是方程的嚴(yán)格定義，它僅是一種樸素的描寫，并沒(méi)有明確的外延，是經(jīng)不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必準(zhǔn)確，實(shí)際上應(yīng)是‘條件等式’才對(duì)。因?yàn)楹形粗獢?shù)的恒等式不是我們要研究的方程，例如，x－x=0，對(duì)一切x都對(duì)，何必解呢？反過(guò)來(lái)，把解‘含有未知數(shù)的不等式’，稱之為‘解不等式方程’，也可以說(shuō)得通，無(wú)非是大家約定俗成而已。”看了這段話，我們有何感想？[案例2]“圓周長(zhǎng)的一半等于半圓的周長(zhǎng)”。判斷錯(cuò)誤。可是，究竟什么是半圓呢？如果說(shuō)圓是一條定點(diǎn)到定長(zhǎng)的封閉曲線，那半圓不就是這曲線的一半，這不正好是圓周長(zhǎng)的一半嗎？把直徑納入進(jìn)去形成半圓，不就承認(rèn)圓是一個(gè)塊而不是線了嗎？有一天，我突然醒悟并為此感到興奮，并和老師們交流，老師們也大呼其對(duì)。可是過(guò)幾天，我還是不放心地去翻了《數(shù)學(xué)大辭典》，它明確告訴我“半圓就是半條弧和直徑所組成的圖形”。我空歡喜了一場(chǎng)。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)其實(shí)是次要的，關(guān)鍵是我們花了那么長(zhǎng)時(shí)間，去讓學(xué)生搞懂連自己也不懂的東西，其價(jià)值何在呢？
[案例3]“0”一直是整數(shù)而非自然數(shù)，為這，老師和學(xué)生們都沒(méi)少費(fèi)腦筋，可現(xiàn)在“0”也加入了自然數(shù)的行列；“5個(gè)3是多少？”也可以寫成“5×3”了；“把6個(gè)桃平均分成3份”，操作時(shí)，直接拿2個(gè)放在一個(gè)盤子里，也不說(shuō)你是科學(xué)性錯(cuò)誤了。難道數(shù)學(xué)是可以改變的嗎？
[案例4]9月1日，我去隨班聽(tīng)課。先是聽(tīng)五年級(jí)的數(shù)學(xué)課，內(nèi)容為小數(shù)乘法的意義。老師花了很大力氣去讓學(xué)生搞清：4×5是表示5個(gè)4相加是多少或4的5倍是多少，4×0.5是表示4的十分之五是多少，4×1.5是表示4的1.5倍是多少。有些學(xué)生還是有些糊涂，教師便幫助他們總結(jié)規(guī)律：要看后面的數(shù)是大于1還是小于1。小于1的，就是表示這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾是多少……大于1的，要看是整數(shù)還是小數(shù)，是小數(shù)的，就是幾倍；是整數(shù)的，可以有兩種表示方法……學(xué)生更糊涂了。第二節(jié)課去聽(tīng)六年級(jí)數(shù)學(xué)課，正好是分?jǐn)?shù)乘法的意義。又出現(xiàn)了上述情形，只不過(guò)把小數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。學(xué)生們一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果無(wú)關(guān)大雅的話，把4×0.5說(shuō)成4的0.5倍又何妨呢？！至少可以少難為一點(diǎn)我們這些可愛(ài)的孩子們。
袁振國(guó)教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是人們的一種主觀建構(gòu)，從某種程度上說(shuō)它就是無(wú)中生有。”我們不能動(dòng)搖數(shù)學(xué)的客觀性，但我們也應(yīng)該關(guān)注到數(shù)學(xué)的主觀性。在關(guān)注數(shù)學(xué)事實(shí)的同時(shí)，更應(yīng)該關(guān)注孩子的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。讓數(shù)學(xué)從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，從客觀走向主客觀的結(jié)合……
二、是形式，還是實(shí)質(zhì)？
[案例5]一年級(jí)數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們做課本上的一道題。題目是看圖列式，左邊圖上畫了一棵大樹(shù)，樹(shù)上有5只鳥(niǎo)，樹(shù)的旁邊又畫了3只鳥(niǎo)（頭朝樹(shù)）。學(xué)生當(dāng)即寫出算式：“5＋3=8”，表示“樹(shù)上有5只鳥(niǎo)，又飛來(lái)3只鳥(niǎo)，一共有8只鳥(niǎo)。”右邊圖上也畫了一棵大樹(shù)，樹(shù)上有5只鳥(niǎo)，樹(shù)旁邊有3只鳥(niǎo)，只不過(guò)這3只鳥(niǎo)的頭的方向是遠(yuǎn)離樹(shù)。學(xué)生也當(dāng)即寫出算式：“8－3=5”，表示“樹(shù)上原來(lái)有8只鳥(niǎo)，飛了3只，還剩5只。”在一切進(jìn)行的很順利之時(shí)，一個(gè)小朋友站起來(lái)說(shuō)，他列出的算式也是“5＋3=8”。老師很不高興：“難道你沒(méi)看見(jiàn)小鳥(niǎo)飛的方向嗎？頭朝左邊，就表示加，頭朝右邊就表示減……”
關(guān)鍵的是這種現(xiàn)象并非個(gè)別。在教學(xué)中，我們老師做過(guò)多少次這種人為的規(guī)定啊！“實(shí)線就表示合并，虛線就表示去掉”、“看見(jiàn)總共就加，看見(jiàn)剩下就減”。本來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，變得越來(lái)越復(fù)雜……
[案例6]教過(guò)《三角形認(rèn)識(shí)》的老師都知道，在這節(jié)課上我們第一個(gè)要煞費(fèi)苦心的，就是讓學(xué)生懂得三角形是由三條線段圍成而非組成的圖形。為了“圍成”與“組成”，我們往往要花去很長(zhǎng)的時(shí)間，并常常為此設(shè)計(jì)而津津樂(lè)道。反思一下，如果我們不去區(qū)別“組成”與“圍成”，或者說(shuō)不把“圍成”突出來(lái)講，學(xué)生難道就會(huì)把“沒(méi)有連接在一起的三條線段組成的圖形”看成是三角形嗎？我看百分之百不會(huì)。數(shù)學(xué)課上，我們往往喜歡教語(yǔ)文，喜歡去咬文嚼字，看似深挖實(shí)質(zhì)問(wèn)題，實(shí)際是漸離實(shí)質(zhì)。對(duì)于一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，我們不能只注重它的定義，我們更應(yīng)該重視的是幫助學(xué)生形成豐富與清晰的心象：學(xué)生能畫出多少個(gè)形狀不同的三角形，學(xué)生能自主地在這些三角形中找出相同的特征并把它們歸類嗎？一提到鈍角三角形、等腰三角形，學(xué)生的頭腦中就能浮現(xiàn)出各種表象嗎？
為什么學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“小明身高1.5厘米”等數(shù)學(xué)笑話？因?yàn)槲覀儗?duì)定義的關(guān)注，也許超過(guò)了對(duì)心象與它所代表的實(shí)際意義的關(guān)注，而后者的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者。
三、是封閉，還是開(kāi)放？
[案例7]48×53怎樣計(jì)算？列豎式，先從個(gè)位乘起……我們有一套法則，我們很熟練它，但卻根本不知道還會(huì)有別的算法。其實(shí)，下面的這幾種方法都可以計(jì)算出它的結(jié)果：
48 48
×53 ×53
—— ——
2024 24
12 12
40 40
—— 20
2544 ——
2544
面對(duì)數(shù)學(xué)，我們千萬(wàn)不能認(rèn)為自己的方法就是唯一的。教學(xué)數(shù)學(xué)，我們一定要積極地鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度去思考問(wèn)題。讓數(shù)學(xué)走出封閉，走向開(kāi)放。
[案例8]在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)中，我們通常都是從復(fù)習(xí)平均分開(kāi)始，然后逐漸地引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)餅平均分成2份，表示每一份的分?jǐn)?shù)；把一條線段平均分成3份，表示每一份的分?jǐn)?shù)……步步為營(yíng)，一層一層地引導(dǎo)下來(lái)。如果我們?cè)谡n的一開(kāi)始，就讓同學(xué)們自己隨便寫一個(gè)分?jǐn)?shù)，然后聯(lián)系生活實(shí)際用這個(gè)分?jǐn)?shù)說(shuō)句話，或直接說(shuō)說(shuō)這個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的意義，可以嗎？完全可以，在開(kāi)放的、具有挑戰(zhàn)性的又聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題情景中，學(xué)生的興趣只會(huì)更高，思維更活躍。
我們不能老是讓學(xué)生接觸封閉的數(shù)學(xué)（條件唯一，答案唯一）。數(shù)學(xué)的魅力在哪里？在于數(shù)學(xué)的探索性與想象力。只有充滿著想象的數(shù)學(xué)，才會(huì)深深地吸引著孩子。
某水果店有以下三種蘋果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元錢可以買多少千克蘋果？
某種蘋果每千克2元，用40元錢可以買多少蘋果呢？10