函數的單調性
問題3: 當x從小到大變化時,y的值如何變化?
意圖:是對前一個問題(直觀)的再一次概括,一次自然語言描述。而且,既不能說隨著x的增大y增大,也不能說隨著x的增大y減小。學生必須分段回答這個問題,體驗函數的這一特征是函數的局部特征。
問題4: 比較下列各數的大小。
22,32,42,(4.5)2,(5.1)2,(6.3)2。
就x在(0,+∞)從小到大取值時,具體討論函數值的大小變化。這不難得到22<32<42<(4.5)2<(5.1)2<(6.3)2。
顯然有:當0<x1<x2<x3<x4<x5<x6時,有0<x <x <x <x <x <x 時,即0<y1<y2<y3<y4<y5<y6。
意圖:由具體的數字特征逐步向抽象的符號描述過渡。
問題5: 對于函數一個函數f(x),如果-1<2時,有f(-1)<f(2),能否說函數f(x)在區間(-1,2)上遞增呢?
問題6: 函數f(x),對于(0,∞)上的無數個自變量的值x1,x2,x3,…,當0<x1<x2<x3<…時,有0<y1<y2<y3<…,能否說函數f(x)在(0,∞)上遞增呢?請畫圖說明。
意圖:這兩個問題的目的是,逐步由“靜態”、“有限”向“動態”、“無限”過渡。回答這些問題需要一定的抽象思維。問題6引導學生用反例說明問題,以便抓住問題的正面特征。
問題7: 在函數y=x2的圖像位于y軸右邊的部分隨便(任意)取兩點,橫坐標分別是x1,x2,即當0<x1<x2時,是否總有y1<y2呢?
意圖:抽象前的鋪墊,以“隨便”替代“任意”容易被接受。
問題8: 在函數y=x2的圖像位于y軸左邊的部分任意取兩點,橫坐標分別是x1,x2,即當 x1<x2<0時,是否總有y1<y2呢?
意圖:把“隨便”換成“任意”并不突然。任意x1<x2<0時,有y1>y2。而0<x1<x2不變。這樣,基本完成難點的突破。
問題9: 在函數y=x2的圖像上任意取兩點,橫坐標分別是x1,x2,當x1<x2時,是否總有y1<y2呢?
意圖:函數遞增、遞減描述需要分段表述。
問題10: 你能否舉出一個具體的函數的例子,使得它在區間(-∞,∞)上,對任意x1<x2,總有y1<y2。
意圖:學生為尋找例子,會首先從形象直觀的角度尋找思考,如f(x)=x。加強幾何直觀與抽象表述之間的聯系。
問題11: 你能否舉出一個具體函數的例子,使得它在區間(0,∞)上,對任意x1<x2,總有y1>y2。
意圖:使得學生把當前學習的內容與以前學習過的內容聯系起來,先有函數性質特征再尋找具體函數的例子。從具體到抽象,從抽象到具體,體驗函數的這一特征。
二、提出函數單調性定義
1.增函數
一般地,設函數y=f(x)的定義域為i,
如果對于定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區間d上是增函數(increasing function).
思考:仿照增函數的定義說出減函數的定義.(學生活動)
意圖:培養學生數學表達能力。
問題12:函數f(x)在區間(0,∞)上,總有f(x)>f(0),能否說f(x)在(0,∞)上單調增?請舉例說明。
意圖:概念辨析。學生容易畫出圖形來加以說明。從反面進一步體驗到,函數單調性中“任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”中“任意”二字的意義,體驗到為什么要在區間上任意取大小不同的兩個值。