函數的單調性

問題3： 當x從小到大變化時，y的值如何變化？

意圖：是對前一個問題（直觀）的再一次概括，一次自然語言描述。而且，既不能說隨著x的增大y增大，也不能說隨著x的增大y減小。學生必須分段回答這個問題，體驗函數的這一特征是函數的局部特征。

問題4: 比較下列各數的大小。

22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。

就x在（0，+∞）從小到大取值時，具體討論函數值的大小變化。這不難得到22＜32＜42＜（4.5）2＜（5.1）2＜（6.3）2。

顯然有：當0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6時，有0＜x ＜x ＜x ＜x ＜x ＜x 時，即0＜y1＜y2＜y3＜y4＜y5＜y6。

意圖：由具體的數字特征逐步向抽象的符號描述過渡。

問題5: 對于函數一個函數f（x），如果－1＜2時，有f（－1）＜f（2），能否說函數f（x）在區間（－1，2）上遞增呢？

問題6: 函數f（x），對于（0，∞）上的無數個自變量的值x1，x2，x3，…，當0＜x1＜x2＜x3＜…時，有0＜y1＜y2＜y3＜…，能否說函數f（x）在（0，∞）上遞增呢？請畫圖說明。

意圖：這兩個問題的目的是，逐步由“靜態”、“有限”向“動態”、“無限”過渡。回答這些問題需要一定的抽象思維。問題6引導學生用反例說明問題，以便抓住問題的正面特征。

問題7: 在函數y＝x2的圖像位于y軸右邊的部分隨便（任意）取兩點，橫坐標分別是x1，x2，即當0＜x1＜x2時，是否總有y1＜y2呢？

意圖：抽象前的鋪墊，以“隨便”替代“任意”容易被接受。

問題8:  在函數y＝x2的圖像位于y軸左邊的部分任意取兩點，橫坐標分別是x1，x2，即當 x1＜x2＜0時，是否總有y1＜y2呢？

意圖：把“隨便”換成“任意”并不突然。任意x1＜x2＜0時，有y1＞y2。而0＜x1＜x2不變。這樣，基本完成難點的突破。

問題9: 在函數y＝x2的圖像上任意取兩點，橫坐標分別是x1，x2，當x1＜x2時，是否總有y1＜y2呢？

意圖：函數遞增、遞減描述需要分段表述。

問題10: 你能否舉出一個具體的函數的例子，使得它在區間（－∞，∞）上，對任意x1＜x2，總有y1＜y2。

意圖：學生為尋找例子，會首先從形象直觀的角度尋找思考，如f（x）＝x。加強幾何直觀與抽象表述之間的聯系。

問題11: 你能否舉出一個具體函數的例子，使得它在區間（0，∞）上，對任意x1＜x2，總有y1＞y2。

意圖：使得學生把當前學習的內容與以前學習過的內容聯系起來，先有函數性質特征再尋找具體函數的例子。從具體到抽象，從抽象到具體，體驗函數的這一特征。

二、提出函數單調性定義

1.增函數

    一般地，設函數y=f(x)的定義域為i，

    如果對于定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間d上是增函數（increasing function）.

思考：仿照增函數的定義說出減函數的定義.（學生活動）

意圖：培養學生數學表達能力。

問題12：函數f（x）在區間（0，∞）上，總有f（x）＞f（0），能否說f（x）在（0，∞）上單調增？請舉例說明。

意圖：概念辨析。學生容易畫出圖形來加以說明。從反面進一步體驗到，函數單調性中“任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”中“任意”二字的意義，體驗到為什么要在區間上任意取大小不同的兩個值。