人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性判斷》教案
概念反思：
1.數(shù)學(xué)是一種工具：通過(guò)它可以很好的分析和解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)總是在不斷的發(fā)明創(chuàng)造中去解決所遇到的問(wèn)題。
2.為了研究自然界中量與量之間的變化關(guān)系發(fā)明了函數(shù) …….同樣為了進(jìn)一步研究函數(shù)值的增減變化情況發(fā)明了單調(diào)性的概念……導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)明使我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的了解在單調(diào)性的基礎(chǔ)上又更深入一步……增減變化的快慢.(圖像的陡峭程度問(wèn)題被數(shù)量化)
概念回顧:
函數(shù)單調(diào)性的定義
方法梳理:
1.函數(shù)單調(diào)性的判斷及運(yùn)用：
① 觀察法： 同增異減.
② 導(dǎo)數(shù)法：在某個(gè)區(qū)間 內(nèi)，如果 ，那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果 ，那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
③ 圖像法：變換
④ 用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.
對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)x1，x2∈i，且當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間i上的增函數(shù).
對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)x1，x2∈i，且當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間i上的減函數(shù).
在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.
體驗(yàn)回顧:
1.下列說(shuō)法正確的是 .
1）定義在r上的函數(shù) 滿足 ，則 為r上的單調(diào)增函數(shù)
2）定義在r上的函數(shù) 在 上是單調(diào)增函數(shù)，在 上是單調(diào)增函數(shù)，則 為r上的單調(diào)增函數(shù)
3）定義在r上的函數(shù) 在 上是單調(diào)減函數(shù)，在 上是單調(diào)減函數(shù)，則為r上的單調(diào)減函數(shù)
4）定義在r上的函數(shù) 滿足 ，則 為r上不是單調(diào)減函數(shù)
2. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .
①. ； ②.
3. 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 .
4.函數(shù) ，單調(diào)區(qū)間 .
5.函數(shù) 的最小值是 .
經(jīng)典探究:
例: 已知函數(shù) ,對(duì)于 上的任意 ,有如下條件：① ；② ；③ .其中是 的充分條件是 (將充分條件的序號(hào)都填上) ___________. . ②,③
變式：已知函數(shù) 與 的定義域都是 ,值域分別是 與 ,在 上 是增函數(shù)而 是減函數(shù),求證 分: 在 上為減函數(shù).
變式：函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào) 函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
解：設(shè) 且 ，則
而 在 上是單調(diào)函數(shù)， 在 上恒正或恒負(fù)。
又 ，由 知只 有 符合題意，
時(shí)， 在 上單減
變式：若函數(shù)f(x)＝4xx2＋1在區(qū)間(m,2m＋1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則m∈__________.
解析 ∵f′(x)＝4(1－x2)(x2＋1)2，令f′(x)>0，得－1<x<1,
∴f(x)的增區(qū)間為(－1,1).
又∵f(x)在(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，
∴m≥－1，2m＋1≤1， ∴－1≤m≤0.
∵區(qū)間(m,2m＋1)中2m＋1>m，∴m>－1.