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數學 - 函數的對稱性與周期性

數學 - 函數的對稱性與周期性

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對稱性:函數圖象存在的一種對稱關系,包括點對稱和線對稱。

周期性:設函數 的定義域是 ,若存在非零常數 ,使得對任何 ,都有 且 ,則函數 為周期函數, 為 的一個周期。

對稱性和周期性是函數的兩大重要性質,他們之間是否存在著內在的聯系呢?本文就來研究一下它們之間的內在聯系,有不足之處望大家批評指正。

一、一個函數關于兩個點對稱。

命題1:如果函數 的圖象關于點 和點 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

證明:∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

又∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

從而

∴ 即:

∴ 是周期函數, 為函數 的一個周期。

特例:當 時, 為奇函數,即奇函數 如果又關于點 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

命題 :如果函數 的圖象關于兩點 和 對稱,那么:

當 , 時, 是周期函數, 為函數 的一個周期。

當 , 時, 不是周期函數。

證明:∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

又∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

從而

當 , 時

即:

∴當 , 時, 是周期函數, 為函數 的一個周期。

當 , 時

∴當 , 時, 不是周期函數。

當 , 時

∴ (與條件矛盾,舍去)

綜合得原命題成立。

二、一個函數如果關于一個點和一條線對稱。

命題2:如果函數 的圖象關于點 和直線 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

證明:∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

又∵函數 的圖象關于直線 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

從而

∴ 即:

即:

∴ 是周期函數, 為函數 的一個周期。

特例:當 時, 為奇函數,即奇函數 如果又關于直線 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

命題 :如果函數 的圖象關于點 和直線 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

證明:∵函數 的圖象關于點 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

又∵函數 的圖象關于直線 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

從而

即:

即:

∴ 是周期函數, 為函數 的一個周期。

三、一個函數如果關于兩條線對稱。

命題3:如果函數 的圖象關于直線 和直線 對稱,那么函數 是以 為周期的周期函數。

證明:∵函數 的圖象關于直線 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

又∵函數 的圖象關于直線 對稱,

∴ 對定義域內的所有 成立。

從而

∴ 即:

∴ 是以 為周期的周期函數。

特例:當 時, 為偶函數,即偶函數 如果又關于直線 對稱,那么函數 是周期函數, 為函數 的一個周期。

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