數學 - 函數的對稱性與周期性
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對稱性：函數圖象存在的一種對稱關系，包括點對稱和線對稱。
周期性：設函數 的定義域是 ，若存在非零常數 ，使得對任何 ，都有 且 ，則函數 為周期函數， 為 的一個周期。
對稱性和周期性是函數的兩大重要性質，他們之間是否存在著內在的聯系呢？本文就來研究一下它們之間的內在聯系，有不足之處望大家批評指正。
一、一個函數關于兩個點對稱。
命題1：如果函數 的圖象關于點 和點 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。
證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。
特例：當 時， 為奇函數，即奇函數 如果又關于點 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。
命題 ：如果函數 的圖象關于兩點 和 對稱，那么：
當 ， 時， 是周期函數， 為函數 的一個周期。
當 ， 時， 不是周期函數。
證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
從而
當 ， 時
∴
即：
∴當 ， 時， 是周期函數， 為函數 的一個周期。
當 ， 時
∴
∴
∴當 ， 時， 不是周期函數。
當 ， 時
∴ （與條件矛盾，舍去）
綜合得原命題成立。
二、一個函數如果關于一個點和一條線對稱。
命題2：如果函數 的圖象關于點 和直線 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。
證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關于直線 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴
即：
∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。
特例：當 時， 為奇函數，即奇函數 如果又關于直線 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。
命題 ：如果函數 的圖象關于點 和直線 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。
證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關于直線 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
從而
∴
即：
∴
即：
∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。
三、一個函數如果關于兩條線對稱。
命題3：如果函數 的圖象關于直線 和直線 對稱，那么函數 是以 為周期的周期函數。
證明：∵函數 的圖象關于直線 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關于直線 對稱，
∴ 對定義域內的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴
∴ 是以 為周期的周期函數。
特例：當 時， 為偶函數，即偶函數 如果又關于直線 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。