人教版高一數學《函數最值求法及運用》教案
函數最值求法及運用
一.經驗系統梳理:
1).問題思考的角度: 1. 幾何角度；2. 代數角度
2).問題解決的優化策略:
ⅰ、優化策略代數角度:
1. 消元 2. 換元 3. 代換
4. 放縮 ① 經驗放縮, ② 公式放縮. ③ 條件放縮. (顯在條件、隱含條件)]
ⅱ、幾何角度: 經驗特征策略分析問題的幾何背景 .線性規劃、斜率、距離等
3).核心思想方法: 劃歸轉化思想;等價轉化思想.
若 ，則
二、體驗訓練：
1.線性規劃問題
已知雙曲線方程為 求 的最小值
2.斜率問題
已知函數 的定義域為 ，且 為 的導函數，函數 的圖像如圖所示.若兩正數 滿足 ，則 的取值范圍是 .
3.距離問題
3、由直線 上的一點向圓 引切線，則切線長的最小值為 .
練習1.已知點 是直線 上動點， 、 是圓
的兩條切線， 、 是切點，若四邊形 的最小面積是 ，則 .
練習2.已知實數 滿足不等式組 ，則 的最小值為 ；
4.消元法
已知函數 ，若 且 則 的取值范圍為
練習：設函數 ，若 且 則 的取值范圍為 .
5.換元法
1.求下列函數的最大值或最小值：
（1） ； （2） ；
（3）若函數 的最大值是正整數m，則m=_______ 7
解：（1） ，由 得 ，
∴當 時，函數取最小值 ，當 時函數取最大值 .
（2）令 ，則 ，∴ ，
當 ，即 時取等號，∴函數取最大值 ，無最小值.
2.已知 ,且夾角為 如圖點c在以o為圓心的圓弧上動.若 則求 的最大值.
6.代換法
設 為正實數，滿足 ，則 的最小值是 3
【解析】本小題考查二元基本不等式的運用.由 得 ，代入 得 ，當且僅當 ＝3 時取“＝”.
設正實數 滿足 則 的最大值為 ▲ 1 .
7.公式放縮法
函數 ， 的最小值為：_________ 5
錯解：∵ ∴ ，
又 為定值 故利用基本不等式得
即y的最小值為4
點評：利用基本不等式必須滿足三個條件：即“一正、二定、三等”，而本題只滿足前兩個條件，不滿足第三個條件，即 不成立。
設 為實數，若 則 的最大值是 。
8.放縮法、換元法
已知二次函數 的值域是 .那么 的最小值是 .
9.綜合探討：
滿足條件 的三角形 的面積的最大值
【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想.設bc＝ ，則ac＝ ，
根據面積公式得 = ，根據余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三邊關系有 解得 ，