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函數(shù)的單調(diào)性

發(fā)布時間:2017-04-03

函數(shù)的單調(diào)性

說明:

1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);

2 必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2;當x1<x2時,總有f(x1)<f(x2) .

2.函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間d叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間:

3.已學(xué)函數(shù)的單調(diào)性:

三、單調(diào)性的應(yīng)用:

例1.(教材p29例1)根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.

解:(略)

鞏固練習(xí):課本p38練習(xí)第1、3題

例2.  物理學(xué)中的波利爾定律p= (k是正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當體積v減小,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.

分析 怎樣來證明“體積v減小,壓強p將增大”呢,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,只要證明函數(shù)p= ((k是正常數(shù))是減函數(shù).怎樣證明函數(shù)p= ((k是正常數(shù))是減函數(shù)呢,只要在區(qū)間(0,+∞)(因為體積v>0)任意取兩個大小不相等的值,證明較小的值對應(yīng)的函數(shù)值較大,即

設(shè)v1<v2,去證明p1>p2.也就是只要證明p1-p2>0.

證明 設(shè)v1<v2,v1,v2∈(0,+∞).

p1-p2= - = .

因為k是正常數(shù),v1<v2,所以 >0,p1>p2.

所以,體積v減小,壓強p將增大.

說明:教師把重心放在思路的分析上,而讓學(xué)生進行具體的證明.

鞏固練習(xí):

1 課本p32練習(xí)第4題;

總結(jié):利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性的一般步驟:

        1 任取x1,x2∈d,且x1<x2;

        2 作差f(x1)-f(x2);

3 變形(通常是因式分解和配方);

4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

5 下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).

探究:畫出反比例函數(shù) 的圖象.

    1 這個函數(shù)的定義域是什么?

    2 它在定義域i上的單調(diào)性怎樣?證明你的結(jié)論.

(選講)例3.借助計算機作出函數(shù)y =-x2 +2 | x | + 3的圖象并指出它的的單調(diào)區(qū)間.

解:(略)

意圖:新課程思想強調(diào)應(yīng)用計算機軟件等信息整合手段,本例可利用幾何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象.

四、歸納小結(jié),強化思想

函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷,再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計算機,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域,單調(diào)性的證明一般分五步:

取 值 → 作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結(jié)論

五、作業(yè)布置

1.  書面作業(yè):課本p39習(xí)題1.3(a組) 第1- 5題.

2.  提高作業(yè):設(shè)f(x)是定義在r上的增函數(shù),f(xy)=f(x)+f(y),

1 求f(0)、f(1)的值;

2 若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集.

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