函數(shù)的單調(diào)性
說明:
1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);
2 必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2;當x1<x2時,總有f(x1)<f(x2) .
2.函數(shù)的單調(diào)性定義
如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間d叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間:
3.已學(xué)函數(shù)的單調(diào)性:
三、單調(diào)性的應(yīng)用:
例1.(教材p29例1)根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.
解:(略)
鞏固練習(xí):課本p38練習(xí)第1、3題
例2. 物理學(xué)中的波利爾定律p= (k是正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當體積v減小,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.
分析 怎樣來證明“體積v減小,壓強p將增大”呢,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,只要證明函數(shù)p= ((k是正常數(shù))是減函數(shù).怎樣證明函數(shù)p= ((k是正常數(shù))是減函數(shù)呢,只要在區(qū)間(0,+∞)(因為體積v>0)任意取兩個大小不相等的值,證明較小的值對應(yīng)的函數(shù)值較大,即
設(shè)v1<v2,去證明p1>p2.也就是只要證明p1-p2>0.
證明 設(shè)v1<v2,v1,v2∈(0,+∞).
p1-p2= - = .
因為k是正常數(shù),v1<v2,所以 >0,p1>p2.
所以,體積v減小,壓強p將增大.
說明:教師把重心放在思路的分析上,而讓學(xué)生進行具體的證明.
鞏固練習(xí):
1 課本p32練習(xí)第4題;
總結(jié):利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性的一般步驟:
1 任取x1,x2∈d,且x1<x2;
2 作差f(x1)-f(x2);
3 變形(通常是因式分解和配方);
4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
5 下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
探究:畫出反比例函數(shù) 的圖象.
1 這個函數(shù)的定義域是什么?
2 它在定義域i上的單調(diào)性怎樣?證明你的結(jié)論.
(選講)例3.借助計算機作出函數(shù)y =-x2 +2 | x | + 3的圖象并指出它的的單調(diào)區(qū)間.
解:(略)
意圖:新課程思想強調(diào)應(yīng)用計算機軟件等信息整合手段,本例可利用幾何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象.
四、歸納小結(jié),強化思想
函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷,再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計算機,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域,單調(diào)性的證明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結(jié)論
五、作業(yè)布置
1. 書面作業(yè):課本p39習(xí)題1.3(a組) 第1- 5題.
2. 提高作業(yè):設(shè)f(x)是定義在r上的增函數(shù),f(xy)=f(x)+f(y),
1 求f(0)、f(1)的值;
2 若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集.