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二次根式的乘法

二次根式的乘法

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu):

重點(diǎn)難點(diǎn)分析:

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的中心內(nèi)容,化簡(jiǎn)和運(yùn)算都是圍繞其進(jìn)行的,而運(yùn)用此性質(zhì)計(jì)算化簡(jiǎn)又是二次根式的化簡(jiǎn)和混合運(yùn)算的基礎(chǔ).二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)通常與如勾股定理等幾何方面的知識(shí)綜合在一起.

本節(jié)難點(diǎn)是與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.積的算術(shù)平方根在應(yīng)用時(shí)既要強(qiáng)調(diào)這部分題目中的字母為正數(shù),但又要注意防止學(xué)生產(chǎn)生字母只表示正數(shù)的片面認(rèn)識(shí).要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到積的算術(shù)平方根性質(zhì)與根式的乘法公式是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。綜合應(yīng)用性質(zhì)或乘法公式時(shí)要注意題目中的條件一定要滿足.

教法建議:

1. 由于性質(zhì)、法則和關(guān)系式較集中,在二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)和應(yīng)用中又相互交錯(cuò),綜合運(yùn)用,因此要使學(xué)生在認(rèn)識(shí)過(guò)程中脈絡(luò)清楚,條理分明,在教學(xué)時(shí)就一定要逐步有序的展開(kāi).在講解時(shí)可以結(jié)合積的算術(shù)平方根的性質(zhì),讓學(xué)生把握兩者的關(guān)系。

2. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和 ( )及比較大小等內(nèi)容都可以通過(guò)從特殊到一般的歸納方法,讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算一組具體的式子,引導(dǎo)他們做出一般的結(jié)論。由于歸納是通過(guò)對(duì)一些個(gè)別的、特殊的例子的研究,從表象到本質(zhì),進(jìn)而猜想出一般的結(jié)論,這種思維過(guò)程對(duì)于初中學(xué)生認(rèn)識(shí)、研究和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律有著重要的作用,所以在教學(xué)中對(duì)于培養(yǎng)的思維品質(zhì)有著重要的作用。

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.

2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

3.使學(xué)生能聯(lián)系幾何課中學(xué)習(xí)的勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.

4.使學(xué)生了解比較二次根式的大小的方法.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.重點(diǎn):會(huì)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

2.難點(diǎn):與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.

三、教學(xué)方法

從特殊到一般總結(jié)歸納的方法,類(lèi)比的方法,講授與練習(xí)結(jié)合法.

四、教學(xué)手段

利用投影儀.

五、教學(xué)過(guò)程

(一)引入新課

觀察下面的例子:

于是可得到:

又如:

類(lèi)似地可以得到:

 (二)新課

積的算術(shù)平方根.

由前面所舉特殊的例子,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出:一般地,有 (a≥0,b≥0).

積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要注意a≥0、b≥0的條件,因?yàn)橹挥衋、b都是非負(fù)數(shù)公式才能成立,這里要啟發(fā)學(xué)生為什么必須a≥0、b≥0.在本章中,如果沒(méi)有特別說(shuō)明,所有字母都表示正數(shù),下面啟發(fā)學(xué)生從運(yùn)算順序看,等號(hào)左邊是將非負(fù)數(shù)a、b先做乘法求積,再開(kāi)方求積的算術(shù)平方根,等號(hào)右邊是先分別求a、b的兩因數(shù)的算術(shù)平方根,然后再求兩個(gè)算術(shù)平方根的積.

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行恒等變形,或?qū)⒂械囊蚴竭m當(dāng)改變移到根號(hào)外邊,或?qū)⒏?hào)外邊的非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi).

例1 把下面各數(shù)分解因數(shù):

(1)20; (2)42; (3)63; (4)128.

說(shuō)明:通過(guò)本題復(fù)習(xí)分解因數(shù),為利用積的算術(shù)平方根公式化簡(jiǎn)二次根式打下基礎(chǔ).

解:略.

例2 化簡(jiǎn):

(1) (2)

(3) (4)

分析:本題需要用積的算術(shù)平方根公式進(jìn)行化簡(jiǎn),題目中的被開(kāi)方數(shù)都是具體數(shù)字,學(xué)生便于理解,在講完例2后可以總結(jié)化簡(jiǎn)的方法.

解:(1)

(2)

(3)

(4)

說(shuō)明:① (a≥0,b≥0)可以推廣為 (a≥0,b≥0,c≥0).

②這個(gè)小題與本章章頭圖與章序言的內(nèi)容有聯(lián)系,解答了章序言中提出的一個(gè)問(wèn)題.

③ (4)小題要首先用平方差公式分解成積的形式,才可以用積的算術(shù)平方根公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

④通過(guò)例2可以看出,如果一個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)中有的因式(或因數(shù))能開(kāi)得盡方,可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),將這些因式(或因數(shù))開(kāi)出來(lái),從而將二次根式化簡(jiǎn).

通過(guò)例2,我們根據(jù)算術(shù)平方根的定義,可得出: , , 等結(jié)果,于是可以總結(jié)出:一般地,有

(a≥0)

關(guān)于a<0時(shí), ,這種情況將在本章最后一小節(jié)專(zhuān)門(mén)研究.

例3 化簡(jiǎn):

(1) ; (2)

分析:由例3,讓學(xué)生注意,在本章中,未加特別說(shuō)明時(shí),字母一般表示正數(shù),但在實(shí)際問(wèn)題中不一定非是正數(shù)不可,如第(1)小題,a可以是負(fù)數(shù),根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)小組的討論,滲透分類(lèi)討論的思想.

解:(1)

(2)

說(shuō)明:x2+y2這個(gè)式子不能再開(kāi)方了,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)積的算術(shù)平方根公式的特點(diǎn).

例4 如右圖,在△ABC中,∠C=90°,4C=10cm,BC=24cm.求AB.

解:∵  AB2=AC2+BC2

(cm)

答:AB長(zhǎng)26cm.

(三)小結(jié)

1.本節(jié)課講了積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

(a≥0,b≥0).

通過(guò)分式的應(yīng)用,讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié),為什么必須有a≥0、b≥0這個(gè)條件,而沒(méi)有這個(gè)條件上述性質(zhì)不成立.

問(wèn)學(xué)生:當(dāng)a<0,b<0, 也有意義,為什么一定要a≥0、b≥0呢?

引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出:若a<0,b<0, , 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義. 公式顯然不成立.

2.利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),化簡(jiǎn)二次根式的方法.

3.結(jié)合幾何課學(xué)習(xí)的勾股定理,提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

(四)練習(xí)

1.  化簡(jiǎn):

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ;

(7) ; (8)

2.  計(jì)算:

(1) ; (2) ;

(3) ; (4)

3.已知一個(gè)直角三角形的斜邊c=21,一條直角邊b=4,求另一條直角邊a.

六、作業(yè) 

教材P.177習(xí)題11.2; A組1、2、3、4、5.

七、板書(shū)設(shè)計(jì)

 

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