第二十一章 “二次根式”簡介
課程教材研究所 左懷玲本章內容“二次根式”是《數學課程標準》中“數與代數”領域的重要內容。從《數學課程標準》看，關于數的內容，第三學段主要學習有理數和實數。對于有理數和實數，本套教課書主要分三章編寫，分別是7年級上冊第1章“有理數”，7年級下冊第10章“實數”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基礎上繼續(xù)研究有關實數的內容。在第10章“實數”中，學生學習了一些有關實數的概念和運算，所學概念主要有平方根、算術平方根、立方根以及無理數和實數的概念；關于運算，主要是利用平方運算和立方運算求某些數的平方根和立方根，并對有理數的運算性質和運算法則在實數的運算中仍然成立這一點有所體驗。本章是在第10章的基礎上，進一步研究二次根式的概念和運算。在本章中，學生將學習二次根式的概念、性質、運算法則和化簡的方法，通過對二次根式的概念和性質的學習，學生將對實數的概念有更深刻的認識，通過對二次根式的加、減、乘、除運算的學習，學生將對實數的簡單四則運算有進一步的了解。學習本章的關鍵是理解二次根式的概念和性質，它們是學習二次根式的化簡與運算的依據，重點是二次根式的化簡和運算，難點是正確理解二次根式的性質和運算法則的合理性。 本章內容與已學 “實數”“整式”“勾股定理”等內容聯(lián)系緊密，同時也是以后將要學習的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數”等內容的重要基礎，并為學習高中數學中不等式、函數以及解析幾何等的大部分知識作好準備。本章教學時間約需9課時，具體分配如下（僅供參考）：21.1 二次根式 約2課時21.2 二次根式的乘除 約2課時21.3 二次根式的加減 約3課時數學活動 小結 約2課時一、教科書內容與課程學習目標（一）本章知識結構框圖（二）教科書內容本章內容分為三節(jié)，第一節(jié)主要學習二次根式的概念和性質，本節(jié)既是第10章相關內容的發(fā)展，同時又是后面兩節(jié)內容的基礎，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運算，主要研究二次根式的乘除運算法則和二次根式的化簡；第三節(jié)是二次根式的加減，主要研究二次根式的加減運算法則和進一步完善二次根式的化簡。在第21.1節(jié) “二次根式”中，教科書首先給出四個實際問題，這些實際問題的背景是學生比較熟悉的，其中包含的數學關系也是比較簡單的，前三個是幾何問題，分別是已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊的長、已知正方形的面積求邊長和已知圓的面積求半徑，最后一個實際問題是物理方面的，涉及到的數學關系是，要求用h表示t。解決這四個問題需要利用已學的平方根和算術平方根的知識，這四個問題的答案，在結果的表達式上有共同的特點，即都是用算術平方根的形式表示出來的，這樣教科書就從實際問題出發(fā)，通過分析所得答案的表達式的共同特點引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一點是理解被開方數是非負數的要求，教科書結合例題對此進行了較詳細的分析。接下去，教科書依次探討了關于二次根式的結論：是一個非負數、。對于“是非負數”，教科書是利用算術平方根的概念得到的；對于，教科書則采用由特殊到一般的方法歸納得出的。在研究這個結論時，教科書首先設置“探究”欄目，要求學生利用算術平方根的概念進行幾個具體的計算，并對運算過程和運算結果進行進一步的分析，最后歸納給出這條結論；對于結論，教科書同樣采用了讓學生通過具體計算，分析運算過程和運算結果，最后歸納得出一般結論的方法進行研究。第一節(jié)的內容是學習后兩節(jié)內容的直接基礎。