數學教案－二次根式
一、教學目標
1.了解二次根式的意義；
2. 掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值問題；
3. 掌握二次根式的性質 和 ，并能靈活應用；
4.通過二次根式的計算培養學生的邏輯思維能力；
5. 通過二次根式性質 和 的介紹滲透對稱性、規律性的數學美.
二、教學重點和難點
重點：(1)二次根的意義；(2)二次根式中字母的取值范圍.
難點：確定二次根式中字母的取值范圍.
三、教學方法
啟發式、講練結合.
四、教學過程
(一)復習提問
1.什么叫平方根、算術平方根？
2.說出下列各式的意義，并計算：
， ， ， ， ， ， ，
通過練習使學生進一步理解平方根、算術平方根的概念.
觀察上面幾個式子的特點，引導學生總結它們的被平方數都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算術平方根.
(二)引入新課
我們已遇到的 ， ， ，這樣的式子是我們這節課研究的內容，引出：
新課：二次根式
定義： 式子 叫做二次根式.
對于 請同學們討論論應注意的問題，引導學生總結：
（1）式子 只有在條件a≥0時才叫二次根式， 是二次根式嗎？ 呢？
若根式中含有字母必須保證根號下式子大于等于零，因此字母范圍的限制也是根式的一部分.
（2） 是二次根式，而 ，提問學生：2是二次根式嗎？顯然不是，因此二次
根式指的是某種式子的“外在形態”.請學生舉出幾個二次根式的例子，并說明為什么是二次根式.下面例題根據二次根式定義，由學生分析、回答.
例1 當a為實數時，下列各式中哪些是二次根式？
分析： ， ， ， 、 、 、 四個是二次根式. 因為a是實數時，a+10、a2-1不能保證是非負數，即a+10、a2-1可以是負數(如當a＜-10時，a+10＜0；又如當0＜a＜1時，a2-1＜0），因此， 與 不是二次根式.
例2 x是怎樣的實數時，式子 在實數范圍有意義？
解：略.
說明：這個問題實質上是在x是什么數時，x-3是非負數，式子 有意義.
例3 當字母取何值時，下列各式為二次根式：
（1） (2) (3) (4)
分析：由二次根式的定義 ，被開方數必須是非負數，把問題轉化為解不等式.
解：(1)∵a、b為任意實數時，都有a2+b2≥0，∴當a、b為任意實數時， 是二次根式.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0時， 是二次根式.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，當x＞0時， 是二次根式.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.當x＞2時， 是二次根式.
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：這個例題根據二次根式定義，讓學生分析式子中字母應滿足的條件，進一步鞏固二次根式的定義，.即： 只有在條件a≥0時才叫二次根式，本題已知各式都為二次根式，故要求各式中的被開方數都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何實數時都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范圍是全體實數.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有當b=0時，才有b2=0，因此，字母b所滿足的條件是：b=0.
(三)小結(引導學生做出本節課學習內容小結)
1.式子 叫做二次根式，實際上是一個非負的實數a的算術平方根的表達式.
2.式子中，被開方數(式)必須大于等于零.
(四)練習和作業
練習：
1.判斷下列各式是否是二次根式
分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因為x是實數時，x、x+1不能保證是非負數，即x、x+1可以是負數（如x＜0時，又如當x＜-1時＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）無意義.
2.a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
五、作業
教材p.172習題11.1；a組1；b組1.
六、板書設計