二次根式的化簡
教學(xué)建議
知識結(jié)構(gòu)
.
重難點分析
本節(jié)的重點是 的化簡.本章自始至終圍繞著與計算進(jìn)行，而 的化簡不但涉及到前面學(xué)習(xí)過的算術(shù)平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質(zhì)，還要牽涉到絕對值以及各種非負(fù)數(shù)、因式分解等知識，在應(yīng)用中常常需要對字母進(jìn)行分類討論.
本節(jié)的難點是正確理解與應(yīng)用公式
.
這個公式的表達(dá)形式對學(xué)生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學(xué)生往往容易出現(xiàn)錯誤.
教法建議
1.性質(zhì)的引入方法很多，以下2種比較常用：
（1）設(shè)計問題引導(dǎo)啟發(fā)：由設(shè)計的問題
1） 、 、 各等于什么？
2） 、 、 各等于什么？
啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生猜想出
（2）從算術(shù)平方根的意義引入.
2.性質(zhì)的鞏固有兩個方面需要注意：
（1）注意與性質(zhì) 進(jìn)行對比，可出幾道類型不同的題進(jìn)行比較；
（2）學(xué)生初次接觸這種形式的表示方式，在教學(xué)時要注意細(xì)分層次加以鞏固，如單個數(shù)字，單個字母，單項式，可進(jìn)行因式分解的多項式，等等.
（第1課時）
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的性質(zhì)
2.能夠利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式
3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法
對比、歸納、總結(jié)
三、重點和難點
1.重點：理解并掌握二次根式的性質(zhì)
2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡有關(guān)的二次根式.
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設(shè)計
復(fù)習(xí)對比，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動為主
七、教學(xué)過程
一、導(dǎo)入 新課
我們知道，式子 （ ）表示非負(fù)數(shù) 的算術(shù)平方根.
問：式子 的意義是什么？被開方數(shù)中的 表示的是什么數(shù)？
答：式子 表示非負(fù)數(shù) 的算術(shù)平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數(shù).
二、新課
計算下列各題，并回答以下問題：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8）
1.各小題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是什么數(shù)？
2.各小題的結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)有什么關(guān)系？
3.用字母 表示被開方數(shù)的冪的底數(shù)，將有怎樣的結(jié)論？并用語言敘述你的結(jié)論.
答：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8） .
1.（1），（2），（3）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是正數(shù)；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是負(fù)數(shù)；（8）題被開方數(shù)的冪的底數(shù)是0.
2.（1），（2），（3），（8）各題的計算結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)分別互為相反數(shù).
3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ），
用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ）.
一個非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根，等于這個非負(fù)數(shù)本身；一個負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根，等于這個負(fù)數(shù)的相反數(shù).
問：請把上述討論結(jié)論，用一個式子表示.（注意表示條件和結(jié)論）
答：
請同學(xué)回憶實數(shù)的絕對值的代數(shù)意義，它和上述二次根式的性質(zhì)有什么聯(lián)系？
答：
填空：
1.當(dāng) _________時， ；
2.當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ；
3.若 ，則 ________；
4.當(dāng) 時， .
答：
1.當(dāng) 時， ；
2.當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ；
3.若 ，則 ；
4.當(dāng) 時， .
例1 化簡 （ ）.
分析：可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)化簡.
解 ，因為 ，所以 ，所以
.
指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據(jù)已知條件中 的取值范圍，確定其結(jié)果.
例2 化簡 （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時， .
解 .
例3 化簡：（1） （ ）； （2） （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時， .
解 （1） .
（2） .
注意：（1）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 .
（2）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 .
這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出.
例4 化簡 .
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有
.
所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進(jìn)行化簡.
解 因為 ， ，所以
， .
所以
.
三、課堂練習(xí)
1.求下列各式的值：
（1） ； （2） .
2.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）.
3.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） （ ）.
答案：
1.（1）0.1； （2） .
2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
3.（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1.
四、小結(jié)
1.二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數(shù).
2.化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據(jù)已知條件中字母 的取值范圍，確定其結(jié)果.
3.在化簡中，注意運用題設(shè)中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件.
五、作業(yè)
1.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）；
（5） ； （6） （ ， ）；
（7） （ ）.
2.化簡：
（1） ；
（2） （ ）；
（3） （ ， ）.
答案：
1.（1）－30； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ； （7） .
2.（1）2； （2）0； （3） .