數(shù)學(xué)教案－分組分解法
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生掌握分組后能運用提公因式和公式法把多項式分解因式；
2.通過因式分解的綜合題的教學(xué)，提高學(xué)生綜合運用知識的能力.
教學(xué)重點和難點
重點：在分組分解法中，提公因式法和分式法的綜合運用.
難點：靈活運用已學(xué)過的因式分解的各種方法.
教學(xué)過程 設(shè)計
一、復(fù)習(xí)
把下列各式分解因式，并說明運用了分組分解法中的什么方法.
(1)a2－ab+3b－3a； (2)x2－6xy+9y2－1；
(3)am－an－m2+n2； (4)2ab－a2－b2+c2.
解 (1) a2－ab+3b－3a
=(a2－ab)－(3a－3b)
=a(a－b)－3(a－b)
=(a－b)(a－3);
(2)x2－6xy+9y2－1
=(x－3y) 2－1
=(x－3y+1)(x－3y－1);
(3)am－an－m2+n2
=(am－an)－(m2－n2)
=a(m－n)－(m+n)(m－n)
=(m－n)(a－m－n);
(4)2ab－a2－b2+c2
=c2－(a2+b2－2ab)
=c2－(a－b) 2
=(c+a－b)(c－a+b).
第(1)題分組后，兩組各提取公因式，兩組之間繼續(xù)提取公因式.
第(2)題把前三項分為一組，利用完全平方公式分解因式，再與第四項運用平方差公式
繼續(xù)分解因式.
第(3)題把前兩項分為一組，提取公因式，后兩項分為一組，用平方差公式分解因式，然后兩組之間再提取公因式.
第(4)題把第一、二、三項分為一組，提出一個“－”號，利用完全平方公式分解因式
，第四項與這一組再運用平方差公式分解因式.
把含有四項的多項式進(jìn)行因式分解時，先根據(jù)所給的多項式的特點恰當(dāng)分解，再運
用提公因式或分式法進(jìn)行因式分解.在添括號時，要注意符號的變化.
這節(jié)課我們就來討論應(yīng)用所學(xué)過的各種因式分解的方法把一個多項式分解因式.
二、新課
例1 把 分解因式.
問：根據(jù)這個多項式的特點怎樣分組才能達(dá)到因式分解的目的?
答：這個多項式共有四項，可以把其中的兩項分為一組，所以有兩種分解因式的方法.
解 方法一
方法二
；
例2 把分解因式.
問：觀察這個多項式有什么特點?是否可以直接運用分組法進(jìn)行因式分解?
答：這個多項式的各項都有公式因ab，可以先提取這個公因式，再設(shè)法運用分組法繼續(xù)分解因式.
解：
=
=
=
=
例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.
分析：這個多項式的各項有公因式5a，先提取公因式，再觀察余下的因式，可以按：一、三”分組原則進(jìn)行分組，然后運用公式法分解因式.
解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)
=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]
=5a[(3m2)－(2x－y) 2]
=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.
分析：如果去掉多項式的括號，再恰當(dāng)分組，就可用分組分解法分解因式了.
解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an
=(2a2－3an)+(4am－6mn)
=a(2a－3n)+2m(2a－3n)
=(2a－3n)(a+2m).
指出：如果給出的多項式中有因式乘積，這時可先進(jìn)行乘法運算，把變形后的多項式按照分組原則，用分組分解法分解因式.
三、課堂練習(xí)
把下列各式分解因式：
(1)a2+2ab+b2－ac－bc； (2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1； (4)ax2+16ay2－a－8axy；
(5)a(a2－a－1)+1； (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；
答案：
(1)(a+b)(a+b－c)； (2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；
(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)； (4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；
(5)(a－1) 2 (a+1)； (6)(bm+an)(am+bn).
四、小結(jié)
1.把一個多項式因式分解時，如果多項式的各項有公因式，就先提出公因式，把原多項式變?yōu)檫@個公因式與另一個因式積的形式.如果另一個因式是四項(或四項以上)的多項式，再考慮用分組分解法因式分解.
2.如果已知多項式中含有因式乘積的項與其他項之和(或差)時(如例3)，先去掉括號，把多項式變形后，再重新分組.
五、作業(yè)
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3； (2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2； (6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)； (8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.
答案：
1.(1)xy(x+y)(x－y)； (2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；
(3)(2x－y)(2x+y+1)； (4)(a+1) 2 (a2－a+1)；
(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)； (6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；
(7)(x－y)(x+y+1)； (8)(ax－by)(bx+ay).
2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)當(dāng)x－2y=－2，b=－4098時，原式的值=0.
課堂教學(xué)設(shè)計說明
1.突出“通法”的作用.
對于含四項的多項式，可以根據(jù)所給的多項式的特點，常采取“二、二”分組或“一、三”分組的方法進(jìn)行因式分解，這是運用分組法把多項式分解因式的通法，是帶有規(guī)律性和程序性的解題思路，學(xué)生應(yīng)切實掌握.安排例1的目的是：引導(dǎo)學(xué)生運用分組的通法把一個含有六項的多項式分解因式，促使學(xué)生能舉一反三，觸類旁通.
2.加強(qiáng)各種方法的縱橫聯(lián)系.
把分組分解法與提公因式法和公式法之間結(jié)合為一體，進(jìn)行縱橫聯(lián)系，綜合運用，考察學(xué)生掌握因式分解的方法和技能的狀況是這節(jié)課教學(xué)設(shè)計的目標(biāo).通過討論例3，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用三種方法把多項式分解因式，以開發(fā)學(xué)生解題思路的變通性和靈性活，對于啟迪學(xué)生的思維和開闊學(xué)生的視野起到重要作用.
3.打通相反的思維過程.
因式分解與整式乘法是相反的變形，也是相反的思維過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)多項式的因式分解時，也應(yīng)當(dāng)適當(dāng)聯(lián)系整式的乘法.安排例4，目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，在把多項式因式分解時，如果給出的多項式出現(xiàn)了有因式乘積的項，但又不能提取公因式，這時就需要進(jìn)行乘法運算，把變形后的多項式重新分組，再分解因式，從而啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，應(yīng)善于對數(shù)學(xué)知識和方法融匯貫通習(xí)慣于正向和逆向思維.
探究活動
系數(shù)為1的 型的二次三項式同學(xué)們已經(jīng)會分解因式了，那么二次項系數(shù)不是1的二次三項式 怎么分解呢？如：
1. ；2. .
有興趣的同學(xué)可以模仿 型式子的因式分解試著把上面兩式分解因式,你能總結(jié)出規(guī)律嗎?
答案:
1. ; 2. .
規(guī)律：二次項系數(shù)不是1的二次三項式 分解因式時，若滿足下列條件，則可將其分解為 ：
可分解為 ， 即
可分解為 ， 即
， ， ， 滿足 ，即
按斜線十字交叉相乘的積之和 若與一次項系數(shù) 相等，則可分解因式，
第一個因式由第一行的兩個數(shù)組成
第二個因式由第二行的兩個數(shù)組成
分解結(jié)果為：