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圓的標準方程

圓的標準方程

1、教學目標

  (1)知識目標:

  1、在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;

  2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程;

  3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題.

  (2)能力目標:

  1、進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;

  2、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;

  3、增強學生用數學的意識.

  (3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.

  2、教學重點、難點

  (1)教學重點: 圓的標準方程的求法及其應用.

  (2)教學難點:①會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程

②選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題.

  3、教學過程

  (一)創設情境(啟迪思維)

  問題一:

  已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?

  [引導]:畫圖建系

  [學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)

  解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2+y2=16(y≥0)

  將x=2.7代入,得 

  即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。

  (二)深入探究(獲得新知)

  問題二:

  1根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為的圓的方程?

答:x2+y2=r2

2如果圓心在,半徑為時又如何呢?

  [學生活動]:探究圓的方程。

  [教師預設]:方法一:坐標法

  如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

  由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為      ①

  把①式兩邊平方,得(x―a)2+(y―b)2=r2

方法二:圖形變換法

方法三:向量平移法

  (三)應用舉例(鞏固提高)

  i.直接應用(內化新知)

  問題三:1寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)

(1)圓心在原點,半徑為3;

(2)圓心在,半徑為

(3)經過點,圓心在點

2根據圓的方程寫出圓心和半徑

(1)  (2)

  ii.靈活應用(提升能力)

  問題四:1求以為圓心,并且和直線相切的圓的方程.

  [教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.

2求過點,圓心在直線上且與軸相切的圓的方程.

  [教師引導]應用待定系數法尋找圓心和半徑.

3已知圓的方程為,求過圓上一點的切線方程.

  [學生活動]探究方法

  [教師預設] [多媒體課件演示]

方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率—垂直)

方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率—聯立方程)          

方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式)             

方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)

4你能歸納出具有一般性的結論嗎?

已知圓的方程是,經過圓上一點的切線的方程是:

  iii.實際應用(回歸自然)

  問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱的長度(精確到0.01m)。

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