圓的標準方程
1、教學目標(1)知識目標:
1、在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;
2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程;
3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題.
(2)能力目標:
1、進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;
2、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;
3、增強學生用數學的意識.
(3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.
2、教學重點、難點
(1)教學重點: 圓的標準方程的求法及其應用.
(2)教學難點:①會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程
②選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題.
3、教學過程
(一)創設情境(啟迪思維)
問題一:
已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?
[引導]:畫圖建系
[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2+y2=16(y≥0)
將x=2.7代入,得
即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二:
1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為的圓的方程?
答:x2+y2=r2
2、如果圓心在,半徑為時又如何呢?
[學生活動]:探究圓的方程。
[教師預設]:方法一:坐標法
如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}
由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x―a)2+(y―b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應用舉例(鞏固提高)
i.直接應用(內化新知)
問題三:1、寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)
(1)圓心在原點,半徑為3;
(2)圓心在,半徑為
(3)經過點,圓心在點
2、根據圓的方程寫出圓心和半徑
(1) (2)
ii.靈活應用(提升能力)
問題四:1、求以為圓心,并且和直線相切的圓的方程.
[教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.
2、求過點,圓心在直線上且與軸相切的圓的方程.
[教師引導]應用待定系數法尋找圓心和半徑.
3、已知圓的方程為,求過圓上一點的切線方程.
[學生活動]探究方法
[教師預設] [多媒體課件演示]
方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率—垂直)
方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率—聯立方程)
方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式)
方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)
4、你能歸納出具有一般性的結論嗎?
已知圓的方程是,經過圓上一點的切線的方程是:
iii.實際應用(回歸自然)
問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱的長度(精確到0.01m)。