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圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(一)

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(一)

教學目標 

1.使學生理解圓的旋轉不變性,理解圓心角、弦心距的概念;

2.使學生掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系定理及推論,并初步學會運用這些關系解決有關問題;

3.培養學生觀察、分析、歸納的能力,向學生滲透旋轉變換的思想及由特殊到一般的認識規律.

教學重點和難點

圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是重點;從圓的旋轉不變性出發,推出圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是難點.

教學過程 設計

一、創設情景,引入新課

圓是軸對稱圖形.圓的這一性質,幫助我們解決了圓的許多問題.今天我們再來一起研究一下圓還有哪些特性.

1.動態演示,發現規律

投影出示圖7-47,并動態顯示:平行四邊形繞對角線交點O旋轉180°后.問:


(1)結果怎樣?

學生答:和原來的平行四邊形重合.

(2)這樣的圖形叫做什么圖形?

學生答:中心對稱圖形.

投影出示圖7-48,并動態顯示:⊙O繞圓心O旋轉180°.由學生觀察后,歸納出:圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.


投影繼續演示如圖7-49,讓直徑AB兩個端點A,B繞圓心旋轉30°,45°,

90°,讓學生觀察發現什么結論?


得出:不論繞圓心旋轉多少度,都能夠和原來的圖形重合.

進一步演示,讓圓繞著圓心旋轉任意角度α,你發現什么?

學生答:仍然與原來的圖形重合.

于是由學生歸納總結,得出圓所特有的性質:圓的旋轉不變性.即圓繞圓心旋轉任意一個角度α,都能夠與原來的圖形重合.

2.圓心角,弦心距的概念.

我們在研究圓的旋轉不變性時,⊙O繞圓心O旋轉任意角度α后,出現一個角

∠AOB,請同學們觀察一下,這個角有什么特點?如圖7-50.(如有條件可電腦閃動顯示圖形.)


在學生觀察的基礎上,由學生說出這個角的特點:頂點在圓心上.

在此基礎上,教師給出圓心角的定義,并板書.

頂點在圓心的角叫做圓心角.

再進一步觀察,AB是∠AOB所對的弧,連結AB,弦AB既是圓心角∠AOB也是AB所對的弦.請同學們回憶,在學習垂徑定理時,常作的一條輔助線是什么?

學生答:過圓心O作弦AB的垂線.

在學生回答的基礎上,教師指出:點O到AB的垂直線段OM的長度,即圓心到弦的距離叫做弦心距.如圖7-51.(教師板書定義)最后指出:這節課我們就來研究圓心角之間,以及它們所對的弧、弦、弦的弦心距之間的關系.(引出課題)


二、大膽猜想,發現定理

在圖7-52中,再畫一圓心角∠A′OB′,如果∠AOB=∠A′OB′,(變化顯示兩角相等)再作出它們所對的弦AB,A′B′和弦的弦心距OM,OM′,請大家大膽猜想,其余三組量 與 ,弦AB與A′B′,弦心距OM與OM′的大小關系如何?


學生很容易猜出: =,AB=A′B′,OM=OM′.

教師進一步提問:同學們剛才的發現僅僅是感性認識,猜想是否正確,必須進行證明,怎樣證明呢?

學生最容易想到的是證全等的方法,但得不到 =,怎樣證明弧相等呢?

讓學生思考并啟發學生回憶等弧的定義是什么?

學生:在同圓或等圓中,能夠完全重合的弧叫等弧.

請同學們想一想,你用什么方法讓 和 重合呢?

學生:旋轉.

下面我們就來嘗試利用旋轉變換的思想證明 =.

把∠AOB連同 旋轉,使OA與OA′重合,電腦開始顯示旋轉過程.教師邊演示邊提問.

我們發現射線OB與射線OB′也會重合,為什么?

學生:因為∠AOB=∠A′OB′,

所以射線OB與射線OB′重合.

要證明 與 重合,關鍵在于點A與點A′,點B與點B′是否分別重合.這兩對點分別重合嗎?

學生:重合.

你能說明理由嗎?

學生:因為OA=OA′,OB=OB′,

所以點A與點A′重合,點B與點B′重合.

當兩段孤的兩個端點重合后,我們可以得到哪些量重合呢?

學生: 與 重合,弦AB與A′B′重合,OM與OM′重合.

為什么OM也與OM′重合呢?

學生:根據垂線的唯一性.

于是有結論: =,AB=A′B′,OM=OM′.

以上證明運用了圓的旋轉不變性.得到結論后,教師板書證明過程,并引導學生用簡潔的文字敘述這個真命題.

教師板書定理.

定理:在同圓____中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等.

教師引導學生補全定理內容.

投影顯示如圖7-53,⊙O與⊙O′為等圓,∠AOB=∠A′O′B′,OM與

O′M′分別為AB與A′B′的弦心距,請學生回答 與 .AB與A′B′,OM與O′M′還相等嗎?為什么?


在學生回答的基礎上,教師指出:以上三組量仍然相等,因為兩個等圓可以疊合成同圓.(投影顯示疊合過程)

這樣通過疊合,把等圓轉化成了同圓,教師把定理補充完整.

然后,請同學們思考定理的條件和結論分別是什么?并回答:


定理是在同圓或等圓這個大前提下,已知圓心角相等,得出其余三組量相等.請同學們思考,在這個大前提下,把圓心角相等與三個結論中的任何一個交換位置,可以得到三個新命題,這三個命題是真命題嗎?如何證明?

在學生討論的基礎上,簡單地說明證明方法.

最后,教師把這四個真命題概括起來,得到定理的推論.

請學生歸納,教師板書.

推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

三、鞏固應用、變式練習

例1 判斷題,下列說法正確嗎?為什么?

(1)如圖7-54:因為∠AOB=∠A′OB′,所以AB=.


(2)在⊙O和⊙O′中,如果弦AB=A′B′,那么 =.

分析:(1)、(2)都是不對的.在圖7-54中,因為 和 不在同圓或等圓中,不能用定理.對于(2)也缺少了等圓的條件.可讓學生舉反例說明.

例2 如圖7-55,點P在⊙O上,點O在∠EPF的角平分線上,∠EPF的兩邊交⊙O于點A和B.求證:PA=PB.


讓學生先思考,再敘述思路,教師板書示范.

證明:作OM⊥PA,ON⊥PB,垂足為M,N.


把P點當做運動的點,將例2演變如下:

變式1(投影打出)

已知:如圖7-56,點O在∠EPF的平分線上,⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點A,B和C,D.

求證:AB=CD.


師生共同分析之后,由學生口述證明過程.

變式2(投影打出)

已知:如圖7-57,⊙O的弦AB,CD相交于點P,∠APO=∠CPO,

求證:AB=CD.


由學生口述證題思路.

說明:這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題,當然,也可利用其它方法來證,只不過前者較為簡便.

練習1 已知:如圖7-58,AD=BC.

求證:AB=CD.


師生共同分析后,學生練習,一學生上黑板板演.

變式練習.已知:如圖7-58, =,求證:AB=CD.

四、師生共同小結

教師提問:

(1)這節課學習了哪些具體內容?

(2)本節的定理和推論是用什么方法證明的?

(3)應注意哪些問題?

在學生回答的基礎上,教師總結.

(1)這節課主要學習了兩部分內容:一是證明了圓是中心對稱圖形.得到圓的特性——圓的旋轉不變性;二是學習了在同圓或等圓中,圓心角、圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距之間的關系定理及推論.這些內容是我們今后證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據.

(2)本節通過觀察——猜想——論證的方法,從運動變化中發現規律,得出定理及推論,同時遵循由特殊到一般的思維認識規律,滲透了旋轉變換的思想.

(3)在運用定理及推論解題時,必須注意要有“在同圓或等圓”這一前提條件.

五、布置作業 

思考題:已知AB和CD是⊙O的兩條弦,OM和ON分別是AB和 CD的弦心距,如果AB>CD,那么OM和ON有什么關系?為什么?

板書設計 


課堂教學設計說明

這份教案為1課時.

如果內容多,部分練習題可在下節課中處理.

——摘自《初中幾何教案》


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