圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(一)
教學目標
1.使學生理解圓的旋轉不變性，理解圓心角、弦心距的概念；
2.使學生掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系定理及推論，并初步學會運用這些關系解決有關問題；
3.培養學生觀察、分析、歸納的能力，向學生滲透旋轉變換的思想及由特殊到一般的認識規律.
教學重點和難點
圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是重點；從圓的旋轉不變性出發，推出圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系是難點.
教學過程 設計
一、創設情景，引入新課
圓是軸對稱圖形.圓的這一性質，幫助我們解決了圓的許多問題.今天我們再來一起研究一下圓還有哪些特性.
1.動態演示，發現規律
投影出示圖7－47，并動態顯示：平行四邊形繞對角線交點O旋轉180°后.問：
(1)結果怎樣？
學生答：和原來的平行四邊形重合.
(2)這樣的圖形叫做什么圖形？
學生答：中心對稱圖形.
投影出示圖7－48，并動態顯示：⊙O繞圓心O旋轉180°.由學生觀察后，歸納出：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.
投影繼續演示如圖7－49，讓直徑AB兩個端點A，B繞圓心旋轉30°，45°，
90°，讓學生觀察發現什么結論？
得出：不論繞圓心旋轉多少度，都能夠和原來的圖形重合.
進一步演示，讓圓繞著圓心旋轉任意角度α，你發現什么？
學生答：仍然與原來的圖形重合.
于是由學生歸納總結，得出圓所特有的性質：圓的旋轉不變性.即圓繞圓心旋轉任意一個角度α，都能夠與原來的圖形重合.
2.圓心角，弦心距的概念.
我們在研究圓的旋轉不變性時，⊙O繞圓心O旋轉任意角度α后，出現一個角
∠AOB，請同學們觀察一下，這個角有什么特點？如圖7－50.(如有條件可電腦閃動顯示圖形.)
在學生觀察的基礎上，由學生說出這個角的特點：頂點在圓心上.
在此基礎上，教師給出圓心角的定義，并板書.
頂點在圓心的角叫做圓心角.
再進一步觀察，AB是∠AOB所對的弧，連結AB，弦AB既是圓心角∠AOB也是AB所對的弦.請同學們回憶，在學習垂徑定理時，常作的一條輔助線是什么？
學生答：過圓心O作弦AB的垂線.
在學生回答的基礎上，教師指出：點O到AB的垂直線段OM的長度，即圓心到弦的距離叫做弦心距.如圖7－51.(教師板書定義)最后指出：這節課我們就來研究圓心角之間，以及它們所對的弧、弦、弦的弦心距之間的關系.(引出課題)
二、大膽猜想，發現定理
在圖7－52中，再畫一圓心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(變化顯示兩角相等)再作出它們所對的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，請大家大膽猜想，其余三組量 與 ，弦AB與A′B′，弦心距OM與OM′的大小關系如何？
學生很容易猜出： =，AB=A′B′，OM=OM′.
教師進一步提問：同學們剛才的發現僅僅是感性認識，猜想是否正確，必須進行證明，怎樣證明呢？
學生最容易想到的是證全等的方法，但得不到 =，怎樣證明弧相等呢？
讓學生思考并啟發學生回憶等弧的定義是什么？
學生：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫等弧.
請同學們想一想，你用什么方法讓 和 重合呢？
學生：旋轉.
下面我們就來嘗試利用旋轉變換的思想證明 =.
把∠AOB連同 旋轉，使OA與OA′重合，電腦開始顯示旋轉過程.教師邊演示邊提問.
我們發現射線OB與射線OB′也會重合，為什么？
學生：因為∠AOB=∠A′OB′，
所以射線OB與射線OB′重合.
要證明 與 重合，關鍵在于點A與點A′，點B與點B′是否分別重合.這兩對點分別重合嗎？
學生：重合.
你能說明理由嗎？
學生：因為OA=OA′，OB=OB′，
所以點A與點A′重合，點B與點B′重合.
當兩段孤的兩個端點重合后，我們可以得到哪些量重合呢？
學生： 與 重合，弦AB與A′B′重合，OM與OM′重合.
為什么OM也與OM′重合呢？
學生：根據垂線的唯一性.
于是有結論： =，AB=A′B′，OM＝OM′.
以上證明運用了圓的旋轉不變性.得到結論后，教師板書證明過程，并引導學生用簡潔的文字敘述這個真命題.
教師板書定理.
定理：在同圓____中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.
教師引導學生補全定理內容.
投影顯示如圖7－53，⊙O與⊙O′為等圓，∠AOB=∠A′O′B′，OM與
O′M′分別為AB與A′B′的弦心距，請學生回答 與 .AB與A′B′，OM與O′M′還相等嗎？為什么？
在學生回答的基礎上，教師指出：以上三組量仍然相等，因為兩個等圓可以疊合成同圓.(投影顯示疊合過程)
這樣通過疊合，把等圓轉化成了同圓，教師把定理補充完整.
然后，請同學們思考定理的條件和結論分別是什么？并回答：
定理是在同圓或等圓這個大前提下，已知圓心角相等，得出其余三組量相等.請同學們思考，在這個大前提下，把圓心角相等與三個結論中的任何一個交換位置，可以得到三個新命題，這三個命題是真命題嗎？如何證明？
在學生討論的基礎上，簡單地說明證明方法.
最后，教師把這四個真命題概括起來，得到定理的推論.
請學生歸納，教師板書.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
三、鞏固應用、變式練習
例1 判斷題，下列說法正確嗎？為什么？
(1)如圖7－54：因為∠AOB=∠A′OB′，所以AB=.
(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么 =.
分析：(1)、(2)都是不對的.在圖7－54中，因為 和 不在同圓或等圓中，不能用定理.對于(2)也缺少了等圓的條件.可讓學生舉反例說明.
例2 如圖7－55，點P在⊙O上，點O在∠EPF的角平分線上，∠EPF的兩邊交⊙O于點A和B.求證：PA=PB.
讓學生先思考，再敘述思路，教師板書示范.
證明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足為M，N.
把P點當做運動的點，將例2演變如下：
變式1(投影打出)
已知：如圖7－56，點O在∠EPF的平分線上，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點A，B和C，D.
求證：AB=CD.
師生共同分析之后，由學生口述證明過程.
變式2(投影打出)
已知：如圖7－57，⊙O的弦AB，CD相交于點P，∠APO=∠CPO，
求證：AB=CD.
由學生口述證題思路.
說明：這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題，當然，也可利用其它方法來證，只不過前者較為簡便.
練習1 已知：如圖7－58，AD=BC.
求證：AB=CD.
師生共同分析后，學生練習，一學生上黑板板演.
變式練習.已知：如圖7－58， =，求證：AB=CD.
四、師生共同小結
教師提問：
(1)這節課學習了哪些具體內容？
(2)本節的定理和推論是用什么方法證明的？
(3)應注意哪些問題？
在學生回答的基礎上，教師總結.
(1)這節課主要學習了兩部分內容：一是證明了圓是中心對稱圖形.得到圓的特性——圓的旋轉不變性；二是學習了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距之間的關系定理及推論.這些內容是我們今后證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據.
(2)本節通過觀察——猜想——論證的方法，從運動變化中發現規律，得出定理及推論，同時遵循由特殊到一般的思維認識規律，滲透了旋轉變換的思想.
(3)在運用定理及推論解題時，必須注意要有“在同圓或等圓”這一前提條件.
五、布置作業
思考題：已知AB和CD是⊙O的兩條弦，OM和ON分別是AB和 CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么關系？為什么？
板書設計
課堂教學設計說明
這份教案為1課時.
如果內容多，部分練習題可在下節課中處理.
——摘自《初中幾何教案》