高考第一輪復(fù)習(xí)----動(dòng)量

第四章 動(dòng)量

一.動(dòng)量和沖量

1.動(dòng)量

按定義，物體的質(zhì)量和速度的乘積叫做動(dòng)量：p=mv

⑴動(dòng)量是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)狀態(tài)量，它與時(shí)刻相對(duì)應(yīng)。

⑵動(dòng)量是矢量，它的方向和速度的方向相同。

2.沖量

按定義，力和力的作用時(shí)間的乘積叫做沖量：I=Ft

⑴沖量是描述力的時(shí)間積累效應(yīng)的物理量，是過(guò)程量，它與時(shí)間相對(duì)應(yīng)。

⑵沖量是矢量，它的方向由力的方向決定（不能說(shuō)和力的方向相同）。如果力的方向在作用時(shí)間內(nèi)保持不變，那么沖量的方向就和力的方向相同。

⑶高中階段只要求會(huì)用I=Ft計(jì)算恒力的沖量。對(duì)于變力的沖量，高中階段只能利用動(dòng)量定理通過(guò)物體的動(dòng)量變化來(lái)求。

⑷要注意的是：沖量和功不同。恒力在一段時(shí)間內(nèi)可能不作功，但一定有沖量。

m

H

例1. 質(zhì)量為m的小球由高為H的光滑斜面頂端無(wú)初速滑到底端過(guò)程中，重力、彈力、合力的沖量各是多大？

解：力的作用時(shí)間都是 ，力的大小依次是mg、

mgcosα和mgsinα，所以它們的沖量依次是： 

特別要注意，該過(guò)程中彈力雖然不做功，但對(duì)物體有沖量。

二、動(dòng)量定理

1.動(dòng)量定理

物體所受合外力的沖量等于物體的動(dòng)量變化。既I=Δp

⑴動(dòng)量定理表明沖量是使物體動(dòng)量發(fā)生變化的原因，沖量是物體動(dòng)量變化的量度。這里所說(shuō)的沖量必須是物體所受的合外力的沖量（或者說(shuō)是物體所受各外力沖量的矢量和）。

⑵動(dòng)量定理給出了沖量（過(guò)程量）和動(dòng)量變化（狀態(tài)量）間的互求關(guān)系。

⑶現(xiàn)代物理學(xué)把力定義為物體動(dòng)量的變化率： （牛頓第二定律的動(dòng)量形式）。

⑷動(dòng)量定理的表達(dá)式是矢量式。在一維的情況下，各個(gè)矢量必須以同一個(gè)規(guī)定的方向?yàn)檎��?o:p>

例2. 以初速度v₀平拋出一個(gè)質(zhì)量為m的物體，拋出后t秒內(nèi)物體的動(dòng)量變化是多少？

解：因?yàn)楹贤饬�就是重力，所�?I style="mso-bidi-font-style:">Δp=Ft=mgt

    有了動(dòng)量定理，不論是求合力的沖量還是求物體動(dòng)量的變化，都有了兩種可供選擇的等價(jià)的方法。本題用沖量求解，比先求末動(dòng)量，再求初、末動(dòng)量的矢量差要方便得多。當(dāng)合外力為恒力時(shí)往往用Ft來(lái)求較為簡(jiǎn)單；當(dāng)合外力為變力時(shí)，在高中階段只能用Δp來(lái)求。

2.利用動(dòng)量定理定性地解釋一些現(xiàn)象

例3. 雞蛋從同一高度自由下落，第一次落在地板上，雞蛋被打破；第二次落在泡沫塑料墊上，沒(méi)有被打破。這是為什么？

解：兩次碰地（或碰塑料墊）瞬間雞蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以兩次碰撞過(guò)程雞蛋的動(dòng)量變化相同。根據(jù)Ft=Δp，第一次與地板作用時(shí)的接觸時(shí)間短，作用力大，所以雞蛋被打破；第二次與泡沫塑料墊作用的接觸時(shí)間長(zhǎng)，作用力小，所以雞蛋沒(méi)有被打破。（再說(shuō)得準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)該指出：雞蛋被打破是因?yàn)槭艿降膲簭?qiáng)大。雞蛋和地板相互作用時(shí)的接觸面積小而作用力大，所以壓強(qiáng)大，雞蛋被打破；雞蛋和泡沫塑料墊相互作用時(shí)的接觸面積大而作用力小，所以壓強(qiáng)小，雞蛋未被打破。）

F

例4. 某同學(xué)要把壓在木塊下的紙抽出來(lái)。第一次他將紙迅速抽出，木塊幾乎不動(dòng)；第二次他將紙較慢地抽出，木塊反而被拉動(dòng)了。這是為什么？

解：物體動(dòng)量的改變不是取決于合力的大小，而是取決于合力

沖量的大小。在水平方向上，第一次木塊受到的是滑動(dòng)摩擦力，一般來(lái)說(shuō)大于第二次受到的靜摩擦力；但第一次力的作用時(shí)間極短，摩擦力的沖量小，因此木塊沒(méi)有明顯的動(dòng)量變化，幾乎不動(dòng)。第二次摩擦力雖然較小，但它的作用時(shí)間長(zhǎng)，摩擦力的沖量反而大，因此木塊會(huì)有明顯的動(dòng)量變化。

3.利用動(dòng)量定理進(jìn)行定量計(jì)算

利用動(dòng)量定理解題，必須按照以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

⑴明確研究對(duì)象和研究過(guò)程。研究對(duì)象可以是一個(gè)物體，也可以是幾個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)組。質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各物體可以是保持相對(duì)靜止的，也可以是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。研究過(guò)程既可以是全過(guò)程，也可以是全過(guò)程中的某一階段。

⑵進(jìn)行受力分析。只分析研究對(duì)象以外的物體施給研究對(duì)象的力。所有外力之和為合外力。研究對(duì)象內(nèi)部的相互作用力（內(nèi)力）會(huì)改變系統(tǒng)內(nèi)某一物體的動(dòng)量，但不影響系統(tǒng)的總動(dòng)量，因此不必分析內(nèi)力。如果在所選定的研究過(guò)程中的不同階段中物體的受力情況不同，就要分別計(jì)算它們的沖量，然后求它們的矢量和。

⑶規(guī)定正方向。由于力、沖量、速度、動(dòng)量都是矢量，在一維的情況下，列式前要先規(guī)定一個(gè)正方向，和這個(gè)方向一致的矢量為正，反之為負(fù)。

⑷寫出研究對(duì)象的初、末動(dòng)量和合外力的沖量（或各外力在各個(gè)階段的沖量的矢量和）。

⑸根據(jù)動(dòng)量定理列式求解。

A

B

C

例5. 質(zhì)量為m的小球，從沙坑上方自由下落，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁到達(dá)沙坑表面，又經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂停在沙坑里。求：⑴沙對(duì)小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落過(guò)程所受的總沖量I。

解：設(shè)剛開(kāi)始下落的位置為A，剛好接觸沙的位置為B，在沙中到達(dá)的最低點(diǎn)為C。⑴在下落的全過(guò)程對(duì)小球用動(dòng)量定理：重力作用時(shí)間為t₁+t₂，而阻力作用時(shí)間僅為t₂，以豎直向下為正方向，有：

    mg(t₁+t₂)-Ft₂=0,  解得：

    ⑵仍然在下落的全過(guò)程對(duì)小球用動(dòng)量定理：在t₁時(shí)間內(nèi)只有重力的沖量，在t₂時(shí)間內(nèi)只有總沖量（已包括重力沖量在內(nèi)），以豎直向下為正方向，有：

    mgt₁-I=0,∴I=mgt₁

這種題本身并不難，也不復(fù)雜，但一定要認(rèn)真審題。要根據(jù)題意所要求的沖量將各個(gè)外力靈活組合。若本題目給出小球自由下落的高度，可先把高度轉(zhuǎn)換成時(shí)間后再用動(dòng)量定理。當(dāng)t₁>> t₂時(shí)，F>>mg。

 

m     M

v0

v/

例6. 質(zhì)量為M的汽車帶著質(zhì)量為m的拖車在平直公路上以加速度a勻加速前進(jìn)，當(dāng)速度為v₀時(shí)拖車突然與汽車脫鉤，到拖車停下瞬間司機(jī)才發(fā)現(xiàn)。若汽車的牽引力一直未變，車與路面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，那么拖車剛停下時(shí)，汽車的瞬時(shí)速度是多大？

解：以汽車和拖車系統(tǒng)為研究對(duì)象，全過(guò)程系統(tǒng)受的合外力始終為 ，該過(guò)程經(jīng)歷時(shí)間為v₀/μg，末狀態(tài)拖車的動(dòng)量為零。全過(guò)程對(duì)系統(tǒng)用動(dòng)量定理可得：

    這種方法只能用在拖車停下之前。因?yàn)橥宪囃Ｏ潞螅�系統(tǒng)受的合外力中少了拖車受到的摩擦力，因此合外力大小不再是 。

例7. 質(zhì)量為m=1kg的小球由高h₁=0.45m處自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度為h₂=0.2m，從小球下落到反跳到最高點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為Δt=0.6s，取g=10m/s²。求：小球撞擊地面過(guò)程中，球?qū)Φ孛娴钠骄鶋毫Φ拇笮?I style="mso-bidi-font-style:">F。

解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，從開(kāi)始下落到反跳到最高點(diǎn)的全過(guò)程動(dòng)量變化為零，根據(jù)下降、上升高度可知其中下落、上升分別用時(shí)t₁=0.3s和t₂=0.2s，因此與地面作用的時(shí)間必為t₃=0.1s。由動(dòng)量定理得：mgΔt-Ft₃=0 ，F=60N

三、動(dòng)量守恒定律

1.動(dòng)量守恒定律

    一個(gè)系統(tǒng)不受外力或者受外力之和為零，這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。

    即：

2.動(dòng)量守恒定律成立的條件

⑴系統(tǒng)不受外力或者所受外力之和為零；

⑵系統(tǒng)受外力，但外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，可以忽略不計(jì)；

⑶系統(tǒng)在某一個(gè)方向上所受的合外力為零，則該方向上動(dòng)量守恒。

⑷全過(guò)程的某一階段系統(tǒng)受的合外力為零，則該階段系統(tǒng)動(dòng)量守恒。

3.動(dòng)量守恒定律的表達(dá)形式

    除了 ，即p₁+p₂=p₁^/+p₂^/外，還有：

    Δp₁+Δp₂=0，Δp₁=-Δp₂ 和

4.動(dòng)量守恒定律的重要意義

從現(xiàn)代物理學(xué)的理論高度來(lái)認(rèn)識(shí)，動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中最基本的普適原理之一。（另一個(gè)最基本的普適原理就是能量守恒定律。）從科學(xué)實(shí)踐的角度來(lái)看，迄今為止，人們尚未發(fā)現(xiàn)動(dòng)量守恒定律有任何例外。相反，每當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中觀察到似乎是違反動(dòng)量守恒定律的現(xiàn)象時(shí)，物理學(xué)家們就會(huì)提出新的假設(shè)來(lái)補(bǔ)救，最后總是以有新的發(fā)現(xiàn)而勝利告終。例如靜止的原子核發(fā)生β衰變放出電子時(shí)，按動(dòng)量守恒，反沖核應(yīng)該沿電子的反方向運(yùn)動(dòng)。但云室照片顯示，兩者徑跡不在一條直線上。為解釋這一反常現(xiàn)象，1930年泡利提出了中微子假說(shuō)。由于中微子既不帶電又幾乎無(wú)質(zhì)量，在實(shí)驗(yàn)中極難測(cè)量，直到1956年人們才首次證明了中微子的存在。（2000年高考綜合題23 ②就是根據(jù)這一歷史事實(shí)設(shè)計(jì)的）。又如人們發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的帶電粒子在電磁相互作用下動(dòng)量似乎也是不守恒的。這時(shí)物理學(xué)家把動(dòng)量的概念推廣到了電磁場(chǎng)，把電磁場(chǎng)的動(dòng)量也考慮進(jìn)去，總動(dòng)量就又守恒了。

四、動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用

1.碰撞

A     A       B    A     B       A       B

v1

v

v1/

v2/

Ⅰ            Ⅱ                Ⅲ

兩個(gè)物體在極短時(shí)間內(nèi)發(fā)生相互作用，這種情況稱為碰撞。由于作用時(shí)間極短，一般都滿足內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，所以可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。碰撞又分彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞三種。

    仔細(xì)分析一下碰撞的全過(guò)程：設(shè)光滑水平面上，質(zhì)量為m₁的物體A以速度v₁向質(zhì)量為m­₂的靜止物體B運(yùn)動(dòng)，B的左端連有輕彈簧。在Ⅰ位置A、B剛好接觸，彈簧開(kāi)始被壓縮，A開(kāi)始減速，B開(kāi)始加速；到Ⅱ位置A、B速度剛好相等（設(shè)為v），彈簧被壓縮到最短；再往后A、B開(kāi)始遠(yuǎn)離，彈簧開(kāi)始恢復(fù)原長(zhǎng)，到Ⅲ位置彈簧剛好為原長(zhǎng)，A、B分開(kāi)，這時(shí)A、B的速度分別為 。全過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量一定是守恒的；而機(jī)械能是否守恒就要看彈簧的彈性如何了。

    ⑴彈簧是完全彈性的。Ⅰ→Ⅱ系統(tǒng)動(dòng)能減少全部轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，Ⅱ狀態(tài)系統(tǒng)動(dòng)能最小而彈性勢(shì)能最大；Ⅱ→Ⅲ彈性勢(shì)能減少全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；因此Ⅰ、Ⅲ狀態(tài)系統(tǒng)動(dòng)能相等。這種碰撞叫做彈性碰撞。由動(dòng)量守恒和能量守恒可以證明A、B的最終速度分別為： 。（這個(gè)結(jié)論最好背下來(lái)，以后經(jīng)常要用到。）

    ⑵彈簧不是完全彈性的。Ⅰ→Ⅱ系統(tǒng)動(dòng)能減少，一部分轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，Ⅱ狀態(tài)系統(tǒng)動(dòng)能仍和⑴相同，彈性勢(shì)能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ彈性勢(shì)能減少，部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；因?yàn)槿�過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)能有損失（一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能）。這種碰撞叫非彈性碰撞。        

v1

    ⑶彈簧完全沒(méi)有彈性。Ⅰ→Ⅱ系統(tǒng)動(dòng)能減少全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，Ⅱ狀態(tài)系統(tǒng)動(dòng)能仍和⑴相同，但沒(méi)有彈性勢(shì)能；由于沒(méi)有彈性，A、B不再分開(kāi)，而是共同運(yùn)動(dòng)，不再有Ⅱ→Ⅲ過(guò)程。這種碰撞叫完全非彈性碰撞。可以證明，A、B最終的共同速度為 。在完全非彈性碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能損失最大，為：

。（這個(gè)結(jié)論最好背下來(lái)，以后經(jīng)常要用到。）

例8. 質(zhì)量為M的楔形物塊上有圓弧軌道，靜止在水平面上。質(zhì)量為m

的小球以速度v₁向物塊運(yùn)動(dòng)。不計(jì)一切摩擦，圓弧小于90°且足夠長(zhǎng)。

求小球能上升到的最大高度H 和物塊的最終速度v。

解：系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，全過(guò)程機(jī)械能也守恒。

在小球上升過(guò)程中，由水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：       解得

全過(guò)程系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，得

    本題和上面分析的彈性碰撞基本相同，唯一的不同點(diǎn)僅在于重力勢(shì)能代替了彈性勢(shì)能。

例9. 動(dòng)量分別為5kgžm/s和6kgžm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一條直線同向運(yùn)動(dòng)，A追上B并發(fā)生碰撞后。若已知碰撞后A的動(dòng)量減小了2kgžm/s，而方向不變，那么A、B質(zhì)量之比的可能范圍是什么？

解：A能追上B，說(shuō)明碰前v_A>v_B,∴ ；碰后A的速度不大于B的速度， ；又因?yàn)榕鲎策^(guò)程系統(tǒng)動(dòng)能不會(huì)增加， ，由以上不等式組解得：

此類碰撞問(wèn)題要考慮三個(gè)因素：①碰撞中系統(tǒng)動(dòng)量守恒；②碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)能不增加；③碰前、碰后兩個(gè)物體的位置關(guān)系（不穿越）和速度大小應(yīng)保證其順序合理。

2.子彈打木塊類問(wèn)題

子彈打木塊實(shí)際上是一種完全非彈性碰撞。作為一個(gè)典型，它的特點(diǎn)是：子彈以水平速度射向原來(lái)靜止的木塊，并留在木塊中跟木塊共同運(yùn)動(dòng)。下面從動(dòng)量、能量和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等多個(gè)角度來(lái)分析這一過(guò)程。

s2       d

s1

v0

v

例10. 設(shè)質(zhì)量為m的子彈以初速度v₀射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的木塊，并留在木塊中不再射出，子彈鉆入木塊深度為d。求木塊對(duì)子彈的平均阻力的大小和該過(guò)程中木塊前進(jìn)的距離。

解：子彈和木塊最后共同運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于完全非彈性碰撞。

從動(dòng)量的角度看，子彈射入木塊過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒： 

      

從能量的角度看，該過(guò)程系統(tǒng)損失的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能。設(shè)平均阻力大小為f，設(shè)子彈、木塊的位移大小分別為s₁、s₂，如圖所示，顯然有s₁-s₂=d

對(duì)子彈用動(dòng)能定理：                ……①

對(duì)木塊用動(dòng)能定理：                    ……②

①、②相減得：  ……③

這個(gè)式子的物理意義是：fžd恰好等于系統(tǒng)動(dòng)能的損失；根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)動(dòng)能的損失應(yīng)該等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加；可見(jiàn) ，即兩物體由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)而摩擦產(chǎn)生的熱（機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能），等于摩擦力大小與兩物體相對(duì)滑動(dòng)的路程的乘積（由于摩擦力是耗散力，摩擦生熱跟路徑有關(guān)，所以這里應(yīng)該用路程，而不是用位移）。

由上式不難求得平均阻力的大小：

至于木塊前進(jìn)的距離s₂，可以由以上②、③相比得出：

從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式出發(fā)，也可以得出同樣的結(jié)論。由于子彈和木塊都在恒力作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)，位移與平均速度成正比：

   

    一般情況下 ，所以s₂<<d。這說(shuō)明，在子彈射入木塊過(guò)程中，木塊的位移很小，可以忽略不計(jì)。這就為分階段處理問(wèn)題提供了依據(jù)。象這種運(yùn)動(dòng)物體與靜止物體相互作用，動(dòng)量守恒，最后共同運(yùn)動(dòng)的類型，全過(guò)程動(dòng)能的損失量可用公式： …④

    當(dāng)子彈速度很大時(shí)，可能射穿木塊，這時(shí)末狀態(tài)子彈和木塊的速度大小不再相等，但穿透過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量仍然守恒，系統(tǒng)動(dòng)能損失仍然是ΔE_K=f žd（這里的d為木塊的厚度），但由于末狀態(tài)子彈和木塊速度不相等，所以不能再用④式計(jì)算ΔE_K的大小。

    做這類題目時(shí)一定要畫好示意圖，把各種數(shù)量關(guān)系和速度符號(hào)標(biāo)在圖上，以免列方程時(shí)帶錯(cuò)數(shù)據(jù)。

3.反沖問(wèn)題

    在某些情況下，原來(lái)系統(tǒng)內(nèi)物體具有相同的速度，發(fā)生相互作用后各部分的末速度不再相同而分開(kāi)。這類問(wèn)題相互作用過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)能增大，有其它能向動(dòng)能轉(zhuǎn)化。可以把這類問(wèn)題統(tǒng)稱為反沖。

l2     l1

例11. 質(zhì)量為m的人站在質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L的靜止小船的右端，小船的左端靠在岸邊。當(dāng)他向左走到船的左端時(shí)，船左端離岸多遠(yuǎn)？

解：先畫出示意圖。人、船系統(tǒng)動(dòng)量守恒，總動(dòng)量始終為零，所以人、船動(dòng)量大小始終相等。從圖中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。設(shè)人、船位移大小分別為l₁、l₂，則：mv₁=Mv₂，兩邊同乘時(shí)間t，ml₁=Ml₂，而l₁+l₂=L，∴

    應(yīng)該注意到：此結(jié)論與人在船上行走的速度大小無(wú)關(guān)。不論是勻速行走還是變速行走，甚至往返行走，只要人最終到達(dá)船的左端，那么結(jié)論都是相同的。

做這類題目，首先要畫好示意圖，要特別注意兩個(gè)物體相對(duì)于地面的移動(dòng)方向和兩個(gè)物體位移大小之間的關(guān)系。

    以上所列舉的人、船模型的前提是系統(tǒng)初動(dòng)量為零。如果發(fā)生相互作用前系統(tǒng)就具有一定的動(dòng)量，那就不能再用m₁v₁=m₂v₂這種形式列方程，而要利用(m₁+m₂)v₀= m₁v₁+ m₂v₂列式。

例12. 總質(zhì)量為M的火箭模型 從飛機(jī)上釋放時(shí)的速度為v₀，速度方向水平。火箭向后以相對(duì)于地面的速率u噴出質(zhì)量為m的燃?xì)夂螅�火箭本身的速度變�(yōu)槎啻螅?/P>

解：火箭噴出燃?xì)馇昂笙到y(tǒng)動(dòng)量守恒。噴出燃?xì)夂蠡鸺�剩余質(zhì)量變?yōu)?I style="mso-bidi-font-style:">M-m，以v₀方向?yàn)檎�方向�?