集合的概念與運算技巧
【命題趨向】1.高考試題通過選擇題和填空題,以及大題的解集,全面考查集合與簡易邏輯的知識,題型新,分值穩定.一般占5---10分.
2.簡易邏輯一部分的內容在近兩年的高考試題有所出現,應引起注意.
【考點透視】
1.理解集合、子集、補集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意義.
3.了解屬于、包含、相等關系的意義.掌握有關的術語和符號,并會用它們正確表示一些簡單的集合.
4.解答集合問題,首先要正確理解集合有關概念,特別是集合中元素的三要素;對于用描述法給出的集合{x|x∈p},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質p;要重視發揮圖示法的作用,通過數形結合直觀地解決問題.
5.注意空集 的特殊性,在解題中,若未能指明集合非空時,要考慮到空集的可能性,如a b,則有a= 或a≠ 兩種可能,此時應分類討論.
【例題解析】
題型1. 正確理解和運用集合概念
理解集合的概念,正確應用集合的性質是解此類題目的關鍵.
例1.已知集合m={y|y=x2 1,x∈r},n={y|y=x 1,x∈r},則m∩n=( )
a.(0,1),(1,2) b.{(0,1),(1,2)}c.{y|y=1,或y=2} d.{y|y≥1}
思路啟迪:集合m、n是用描述法表示的,元素是實數y而不是實數對(x,y),因此m、n分別表示函數y=x2 1(x∈r),y=x 1(x∈r)的值域,求m∩n即求兩函數值域的交集.
解:m={y|y=x2 1,x∈r}={y|y≥1}, n={y|y=x 1,x∈r}={y|y∈r}.
∴m∩n={y|y≥1}∩{y|y∈r}={y|y≥1},∴應選d.
點評:①本題求m∩n,經常發生解方程組
從而選b的錯誤,這是由于在集合概念的理解上,僅注意了構成集合元素的共同屬性,而忽視了集合的元素是什么.事實上m、n的元素是數而不是點,因此m、n是數集而不是點集.②集合是由元素構成的,認識集合要從認識元素開始,要注意區分{x|y=x2 1}、{y|y=x2 1,x∈r}、{(x,y)|y=x2 1,x∈r},這三個集合是不同的.
例2.若p={y|y=x2,x∈r},q={y|y=x2 1,x∈r},則p∩q等于( )
a.p b.q c. d.不知道
思路啟迪:類似上題知p集合是y=x2(x∈r)的值域集合,同樣q集合是y= x2 1(x∈r)的值域集合,這樣p∩q意義就明確了.
解:事實上,p、q中的代表元素都是y,它們分別表示函數y=x2,y= x2 1的值域,由p={y|y≥0},q={y|y≥1},知q p,即p∩q=q.∴應選b.
例3. 若p={y|y=x2,x∈r},q={(x,y)|y=x2,x∈r},則必有( )
a.p∩q= b.p q c.p=q d.p q
思路啟迪:有的同學一接觸此題馬上得到結論p=q,這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈r相同,而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的,p集合是函數值域集合,q集合是y=x2,x∈r上的點的集合,代表元素根本不是同一類事物.
解:正確解法應為: p表示函數y=x2的值域,q表示拋物線y=x2上的點組成的點集,因此p∩q= .∴應選a.
例4(XX年安徽卷文)若 ,則 = ( )
a.{3} b.{1} c. d.{-1}
思路啟迪:
解:應選d.
點評:解此類題應先確定已知集合.
題型2.集合元素的互異性
集合元素的互異性,是集合的重要屬性,教學實踐告訴我們,集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略,從而導致解題的失敗,下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識.