一元二次不等式的解法（精選5篇）

一元二次不等式的解法 篇1

　　教學目標 

　　（1）掌握；

　　（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；

　　（3）了解簡單的分式不等式的解法；

　　（4）能利用二次函數與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們三者之間的內在聯系；

　　（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；

　　（6）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（7）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀.

　　教學重點：；

　　教學難點 ：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系.

　　教與學過程設計

　　第一課時

　　Ⅰ.設置情境

　　問題：

　　①解方程

　　②作函數 的圖像

　　③解不等式

　　【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？

　　【回答】函數圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式 的解集為函數圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。

　　通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

　　在這里我們發現一元一次方程，一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系。利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖像上！）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？

　　Ⅱ.探索與研究

　　我們現在就結合不等式 的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

　　【答】方程 的解集為

　　不等式 的解集為

　　【置疑】哪位同學還能寫出 的解法？（請一程度差的同學回答）

　　【答】不等式 的解集為

　　我們通過二次函數 的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。

　　下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見，暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題：

　　如果相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數 的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）

　　【答】二次函數 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。

　　現在請同學們觀察表中的二次函數圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

　　【答】 的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數 的圖像。

　　課本第19頁上的例1.例2.例3.它們均是求解二次項系數 的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀。現在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數圖像。

　　（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）

　　Ⅲ.演練反饋

　　1.解下列不等式：

　　（1）     （2）

　　（3）     （4）

　　2.若代數式 的值恒取非負實數，則實數x的取值范圍是            。

　　3.解不等式

　　（1）     （2）

　　參考答案：

　　1.（1） ；（2） ；（3） ；（4）R

　　2.

　　3.（1）

　　（2）當 或 時， ，當 時，

　　當 或 時， 。

　　Ⅳ.總結提煉

　　這節課我們學習了二次項系數 的，其關鍵是抓住相應二次函數的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。

　　（五）、課時作業 

　　（P20.練習等3、4兩題）

　　（六）、板書設計 

　　第二課時

　　Ⅰ.設置情境

　　（通過講評上一節課課后作業 中出現的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）

　　上節課我們只討論了二次項系數 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數 的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？

　　Ⅱ.探索研究

　　（學生議論紛紛.有的說仍然利用二次函數的圖像，有的說將二次項的系數變為正數后再求解，…….教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解.）

　　生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據可得的圖像便可求得二次項系數 的一元二次不等式的解集.

　　生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數變為正數后直接運用上節課所學的方法求解就可以了.

　　師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的.不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論.這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤.而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4.

　　（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍.）

　　[知識運用與解題研究]

　　由此例可知，對于二次項系數的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節課所學過的方法。我們就能求

　　解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式.（調兩位程度中等的學生演板）

　　（1）     （2）

　　（分別為課本P21習題1.5中1大題（2）、（4）兩小題.教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題.）

　　訓練二  可化為一元一次不等式組來求解的不等式.

　　目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩.故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式時則根據（有理數）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解.現在清同學們閱讀課本P20上關于不等式 求解的內容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題.）

　　【答】因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集.

　　這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關系，故它們必相等，現在請同學們求解以下各不等式.（調三位程度各異的學生演板.教師巡視，重點關注程度較差的學生）.

　　（1）     ［P20練習中第1大題］

　　（2）     ［P20練習中第1大題］

　　（3）     ［P20練習中第2大題］

　　（老師扼要講評三位同學的解答.尤其要注意糾正表述方面存在的問題.然后講解P21例5）.

　　例5  解不等式

　　因為（有理數）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解 （或 ）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。

　　解：（略）

　　現在請同學們完成課本P21練習中第3、4兩大題。

　　（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）

　　[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。

　　（通過多媒體或其他載體給出下列各題）

　　1.不等式 與 的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]

　　2.解下列不等式：

　　（1）               ［課本P22第8大題（2）小題］

　　（2）             ［補充］

　　（3）     ［課本P43第4大題（1）小題］

　　（4）         ［課本P43第5大題（1）小題］

　　（5）           ［補充］

　　（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）

　　參考答案：

　　1.不對。同 時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。

　　2.（1）

　　（2）原不等式可化為： ，即

　　解集為 。

　　（3）原不等式可化為

　　解集為

　　（4）原不等式可化為 或

　　解集為

　　（5）原不等式可化為： 或 解集為

　　Ⅲ.總結提煉

　　這節課我們重點講解了利用（有理數）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。

　　（五）布置作業 

　　（P22.2（2）、（4）；4；5；6。）

　　（六）板書設計 

一元二次不等式的解法 篇2

　　教學目標 

　　（1）掌握；

　　（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；

　　（3）了解簡單的分式不等式的解法；

　　（4）能利用二次函數與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們三者之間的內在聯系；

　　（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；

　　（6）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（7）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀.

　　教學重點：；

　　教學難點 ：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系.

　　教與學過程設計

　　第一課時

　　Ⅰ.設置情境

　　問題：

　　①解方程

　　②作函數 的圖像

　　③解不等式

　　【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？

　　【回答】函數圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式 的解集為函數圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。

　　通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

　　在這里我們發現一元一次方程，一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系。利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖像上！）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？

　　Ⅱ.探索與研究

　　我們現在就結合不等式 的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

　　【答】方程 的解集為

　　不等式 的解集為

　　【置疑】哪位同學還能寫出 的解法？（請一程度差的同學回答）

　　【答】不等式 的解集為

　　我們通過二次函數 的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。

　　下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見，暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題：

　　如果相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數 的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）

　　【答】二次函數 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。

　　現在請同學們觀察表中的二次函數圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

　　【答】 的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數 的圖像。

　　課本第19頁上的例1.例2.例3.它們均是求解二次項系數 的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀。現在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數圖像。

　　（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）

　　Ⅲ.演練反饋

　　1.解下列不等式：

　　（1）     （2）

　　（3）     （4）

　　2.若代數式 的值恒取非負實數，則實數x的取值范圍是            。

　　3.解不等式

　　（1）     （2）

　　參考答案：

　　1.（1） ；（2） ；（3） ；（4）R

　　2.

　　3.（1）

　　（2）當 或 時， ，當 時，

　　當 或 時， 。

　　Ⅳ.總結提煉

　　這節課我們學習了二次項系數 的，其關鍵是抓住相應二次函數的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。

　　（五）、課時作業 

　　（P20.練習等3、4兩題）

　　（六）、板書設計 

　　第二課時

　　Ⅰ.設置情境

　　（通過講評上一節課課后作業 中出現的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）

　　上節課我們只討論了二次項系數 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數 的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？

　　Ⅱ.探索研究

　　（學生議論紛紛.有的說仍然利用二次函數的圖像，有的說將二次項的系數變為正數后再求解，…….教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解.）

　　生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據可得的圖像便可求得二次項系數 的一元二次不等式的解集.

　　生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數變為正數后直接運用上節課所學的方法求解就可以了.

　　師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的.不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論.這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤.而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4.

　　（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍.）

　　[知識運用與解題研究]

　　由此例可知，對于二次項系數的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節課所學過的方法。我們就能求

　　解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式.（調兩位程度中等的學生演板）

　　（1）     （2）

　　（分別為課本P21習題1.5中1大題（2）、（4）兩小題.教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題.）

　　訓練二  可化為一元一次不等式組來求解的不等式.

　　目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩.故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式時則根據（有理數）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解.現在清同學們閱讀課本P20上關于不等式 求解的內容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題.）

　　【答】因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集.

　　這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關系，故它們必相等，現在請同學們求解以下各不等式.（調三位程度各異的學生演板.教師巡視，重點關注程度較差的學生）.

　　（1）     ［P20練習中第1大題］

　　（2）     ［P20練習中第1大題］

　　（3）     ［P20練習中第2大題］

　　（老師扼要講評三位同學的解答.尤其要注意糾正表述方面存在的問題.然后講解P21例5）.

　　例5  解不等式

　　因為（有理數）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解 （或 ）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。

　　解：（略）

　　現在請同學們完成課本P21練習中第3、4兩大題。

　　（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）

　　[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。

　　（通過多媒體或其他載體給出下列各題）

　　1.不等式 與 的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]

　　2.解下列不等式：

　　（1）               ［課本P22第8大題（2）小題］

　　（2）             ［補充］

　　（3）     ［課本P43第4大題（1）小題］

　　（4）         ［課本P43第5大題（1）小題］

　　（5）           ［補充］

　　（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）

　　參考答案：

　　1.不對。同 時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。

　　2.（1）

　　（2）原不等式可化為： ，即

　　解集為 。

　　（3）原不等式可化為

　　解集為

　　（4）原不等式可化為 或

　　解集為

　　（5）原不等式可化為： 或 解集為

　　Ⅲ.總結提煉

　　這節課我們重點講解了利用（有理數）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。

　　（五）布置作業 

　　（P22.2（2）、（4）；4；5；6。）

　　（六）板書設計 

一元二次不等式的解法 篇3

　　教學目標

　　(1)把握一元二次不等式的解法;

　　(2)知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組;

　　(3)了解簡單的分式不等式的解法;

　　(4)能利用二次函數與一元二次方程來求解一元二次不等式,理解它們三者之間的內在聯系;

　　(5)能夠進行較簡單的分類討論,借助于數軸的直觀,求解簡單的含字母的一元二次不等式;

　　(6)通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集,培養學生的數形結合的數學思想;

　　(7)通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系,使學生熟悉到事物是相互聯系、相互轉化的,樹立辨證的世界觀.

　　教學重點:一元二次不等式的解法;

　　教學難點:弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系.

　　教與學過程設計

　　第一課時

　　ⅰ.設置情境

　　問題:

　　①解方程

　　②作函數 的圖像

　　③解不等式

　　置疑在解決上述三問題的基礎上分析,一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎?

　　回答函數圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根,不等式 的解集為函數圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。

　　通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集。注重色彩或彩色粉筆的運用

　　在這里我們發現一元一次方程,一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系。利用這種聯系(集中反映在相應一次函數的圖像上!)我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集,類似地,我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢?

　　ⅱ.探索與研究

　　我們現在就結合不等式 的求解來試一試。(師生共同活動用“非凡點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像,然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。)

　　答方程 的解集為

　　不等式 的解集為

　　置疑哪位同學還能寫出 的解法?(請一程度差的同學回答)

　　答不等式 的解集為

　　我們通過二次函數 的圖像,不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第(5)小題 的解集,還求出了 的解集,可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。

　　下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見,暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題:

　　假如相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根,無實根的話,其對應的二次函數 的圖像與x軸的位置關系如何?(提問程度較好的學生)

　　答二次函數 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點,一點及無交點。

　　現在請同學們觀察表中的二次函數圖,并寫出相應一元二次不等式的解集。(通過多媒體或其他載體給出以下表格)

　　答 的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數 的圖像。

　　課本第19頁上的例1.例2.例3.它們均是求解二次項系數 的一元二次不等式,卻都沒有給出相應二次函數的圖像。其解答過程雖很簡練,卻不太直觀。現在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數圖像。

　　(教師巡視,重點關注程度稍差的同學。)

　　ⅲ.演練反饋

　　1.解下列不等式:

　　(1) (2)

　　(3) (4)

　　2.若代數式 的值恒取非負實數,則實數x的取值范圍是 。

　　3.解不等式

　　(1) (2)

　　參考答案:

　　1.(1) ;(2) ;(3) ;(4)r

　　2.

　　3.(1)

　　(2)當 或 時, ,當 時,

　　當 或 時, 。

　　ⅳ.總結提煉

　　這節課我們學習了二次項系數 的一元二次不等式的解法,其關鍵是抓住相應二次函數的圖像與x軸的交點,再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。

　　(五)、課時作業

　　(p20.練習等3、4兩題)

　　(六)、板書設計

　　第二課時

　　ⅰ.設置情境

　　(通過講評上一節課課后作業中出現的問題,復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。)

　　上節課我們只討論了二次項系數 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問,那么二次項系數 的一元二次不等式如何來求解?咱們班上有誰能解答這個疑問呢?

　　ⅱ.探索研究

　　(學生議論紛紛.有的說仍然利用二次函數的圖像,有的說將二次項的系數變為正數后再求解,…….教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解.)

　　生甲:只要將課本第39頁上表中的二次函數圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線,再根據可得的圖像便可求得二次項系數 的一元二次不等式的解集.

　　生乙:我覺得先在不等式兩邊同乘以-1將二次項系數變為正數后直接運用上節課所學的方法求解就可以了.

　　師:首先,這兩種見解都是合乎邏輯和可行的.不過按前一見解來操作的話,同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論.這不但加重了記憶負擔,而且兩表中的結論輕易搞混導致錯誤.而按后一種見解來操作時則不存在這個問題,請同學們閱讀第19頁例4.

　　(待學生閱讀完畢,教師再簡要講解一遍.)

　　[知識運用與解題研究]

　　由此例可知,對于二次項系數的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的,因此只要把握了上一節課所學過的方法。我們就能求

　　解任意一個一元二次不等式了,請同學們求解以下兩不等式.(調兩位程度中等的學生演板)

　　(1) (2)

　　(分別為課本p21習題1.5中1大題(2)、(4)兩小題.教師講評兩位同學的解答,注重糾正表述方面存在的問題.)

　　練習二 可化為一元一次不等式組來求解的不等式.

　　目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用,但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩.故在求解形如 (或 )的一元二次不等式時則根據(有理數)乘(除)運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解.現在清同學們閱讀課本p20上關于不等式 求解的內容并思考:原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集?(待學生閱讀完畢,請一程度較好,表達能力較強的學生回答該問題.)

　　答因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立,且反過來也是對的,故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集.

　　這個回答說明了原不等式的解集a與兩個一次不等式組解集的并集b是互為子集的關系,故它們必相等,現在請同學們求解以下各不等式.(調三位程度各異的學生演板.教師巡視,重點關注程度較差的學生).

　　(1) [p20練習中第1大題]

　　(2) [p20練習中第1大題]

　　(3) [p20練習中第2大題]

　　(老師扼要講評三位同學的解答.尤其要注重糾正表述方面存在的問題.然后講解p21例5).

　　例5 解不等式

　　因為(有理數)積與商運算的“符號法則”是一致的,故求解此類不等式時,也可像求解 (或 )之類的不等式一樣,將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。

　　解:(略)

　　現在請同學們完成課本p21練習中第3、4兩大題。

　　(等學生完成后教師給出答案,如有學生對不上答案,由其本人追查原因,自行糾正。)

　　[練習三]用“符號法則”解不等式的復式練習。

　　(通過多媒體或其他載體給出下列各題)

　　1.不等式 與 的解集相同此說法對嗎?為什么[補充]

　　2.解下列不等式:

　　(1) [課本p22第8大題(2)小題]

　　(2) [補充]

　　(3) [課本p43第4大題(1)小題]

　　(4) [課本p43第5大題(1)小題]

　　(5) [補充]

　　(每題均先由學生說出解題思路,教師扼要板書求解過程)

　　參考答案:

　　1.不對。同 時前者無意義而后者卻能成立,所以它們的解集是不同的。

　　2.(1)

　　(2)原不等式可化為: ,即

　　解集為 。

　　(3)原不等式可化為

　　解集為

　　(4)原不等式可化為 或

　　解集為

　　(5)原不等式可化為: 或 解集為

　　ⅲ.總結提煉

　　這節課我們重點講解了利用(有理數)乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注重的是,這一方法對符合上述外形的高次不等式也是有效的,同學們應把握好這一方法。

　　(五)布置作業

　　(p22.2(2)、(4);4;5;6。)

　　(六)板書設計

一元二次不等式的解法 篇4

　　教學目標 

　　（1）掌握；

　　（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；

　　（3）了解簡單的分式不等式的解法；

　　（4）能利用二次函數與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們三者之間的內在聯系；

　　（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；

　　（6）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（7）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀.

　　教學重點：；

　　教學難點 ：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系.

　　教與學過程設計

　　第一課時

　　Ⅰ.設置情境

　　問題：

　　①解方程

　　②作函數 的圖像

　　③解不等式

　　【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？

　　【回答】函數圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式 的解集為函數圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。

　　通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

　　在這里我們發現一元一次方程，一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系。利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖像上！）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？

　　Ⅱ.探索與研究

　　我們現在就結合不等式 的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

　　【答】方程 的解集為

　　不等式 的解集為

　　【置疑】哪位同學還能寫出 的解法？（請一程度差的同學回答）

　　【答】不等式 的解集為

　　我們通過二次函數 的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。

　　下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見，暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題：

　　如果相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數 的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）

　　【答】二次函數 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。

　　現在請同學們觀察表中的二次函數圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

　　【答】 的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數 的圖像。

　　課本第19頁上的例1.例2.例3.它們均是求解二次項系數 的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀。現在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數圖像。

　　（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）

　　Ⅲ.演練反饋

　　1.解下列不等式：

　　（1）     （2）

　　（3）     （4）

　　2.若代數式 的值恒取非負實數，則實數x的取值范圍是            。

　　3.解不等式

　　（1）     （2）

　　參考答案：

　　1.（1） ；（2） ；（3） ；（4）R

　　2.

　　3.（1）

　　（2）當 或 時， ，當 時，

　　當 或 時， 。

　　Ⅳ.總結提煉

　　這節課我們學習了二次項系數 的，其關鍵是抓住相應二次函數的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。

　　（五）、課時作業 

　　（P20.練習等3、4兩題）

　　（六）、板書設計 

　　第二課時

　　Ⅰ.設置情境

　　（通過講評上一節課課后作業 中出現的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）

　　上節課我們只討論了二次項系數 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數 的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？

　　Ⅱ.探索研究

　　（學生議論紛紛.有的說仍然利用二次函數的圖像，有的說將二次項的系數變為正數后再求解，…….教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解.）

　　生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據可得的圖像便可求得二次項系數 的一元二次不等式的解集.

　　生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數變為正數后直接運用上節課所學的方法求解就可以了.

　　師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的.不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論.這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤.而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4.

　　（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍.）

　　[知識運用與解題研究]

　　由此例可知，對于二次項系數的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節課所學過的方法。我們就能求

　　解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式.（調兩位程度中等的學生演板）

　　（1）     （2）

　　（分別為課本P21習題1.5中1大題（2）、（4）兩小題.教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題.）

　　訓練二  可化為一元一次不等式組來求解的不等式.

　　目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩.故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式時則根據（有理數）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解.現在清同學們閱讀課本P20上關于不等式 求解的內容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題.）

　　【答】因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集.

　　這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關系，故它們必相等，現在請同學們求解以下各不等式.（調三位程度各異的學生演板.教師巡視，重點關注程度較差的學生）.

　　（1）     ［P20練習中第1大題］

　　（2）     ［P20練習中第1大題］

　　（3）     ［P20練習中第2大題］

　　（老師扼要講評三位同學的解答.尤其要注意糾正表述方面存在的問題.然后講解P21例5）.

　　例5  解不等式

　　因為（有理數）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解 （或 ）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。

　　解：（略）

　　現在請同學們完成課本P21練習中第3、4兩大題。

　　（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）

　　[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。

　　（通過多媒體或其他載體給出下列各題）

　　1.不等式 與 的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]

　　2.解下列不等式：

　　（1）               ［課本P22第8大題（2）小題］

　　（2）             ［補充］

　　（3）     ［課本P43第4大題（1）小題］

　　（4）         ［課本P43第5大題（1）小題］

　　（5）           ［補充］

　　（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）

　　參考答案：

　　1.不對。同 時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。

　　2.（1）

　　（2）原不等式可化為： ，即

　　解集為 。

　　（3）原不等式可化為

　　解集為

　　（4）原不等式可化為 或

　　解集為

　　（5）原不等式可化為： 或 解集為

　　Ⅲ.總結提煉

　　這節課我們重點講解了利用（有理數）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。

　　（五）布置作業 

　　（P22.2（2）、（4）；4；5；6。）

　　（六）板書設計 

一元二次不等式的解法 篇5

　　一、教材內容分析：

　　1.本節課內容在整個教材中的地位和作用。

　　概括地講，本節課內容的地位體現在它的基礎性，作用體現在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續和深化，對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用，也與后面的函數、數列、三角函數、線形規劃、直線與圓錐曲線以及導數等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整個高中數學教學中具有很強的基礎性，體現出很大的工具作用。

　　2.教學目標定位。

　　根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征，我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標：熟練掌握一元二次不等式的兩種解法，正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系。第二層面是能力目標，培養學生運用數形結合與等價轉化等數學思想方法解決問題的能力，提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標，通過對解不等式過程中等與不等對立統一關系的認識，向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標，在教師的啟發引導下，學生自主探究，交流討論，培養學生的合作意識和創新精神。

　　3.教學重點、難點確定。

　　本節課是在復習了一次不等式的解法之后，利用二次函數的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系，并利用其關系解不等式即可。因此，我確定本節課的教學重點為一元二次不等式的解法，關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系。

　　二、教法學法分析：

　　數學是發展學生思維、培養學生良好意志品質和美好情感的重要學科，在教學中，我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力，還要讓學生在教師的啟發引導下學會學習、樂于學習，感受數學學科的人文思想，使學生在學習中培養堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現課堂教學中“教師為主導，學生為主體”的教學關系和“以人為本，以學定教”的教學理念，在本節課的教學過程中，我將緊緊圍繞教師組織——啟發引導，學生探究——交流發現，組織開展教學活動。我設計了①創設情景——引入新課，②交流探究——發現規律，③啟發引導——形成結論，④練習小結——深化鞏固，⑤思維拓展——提高能力,五個環環相扣、層層深入的教學環節，在教學中注意關注整個過程和全體學生，充分調動學生積極參與教學過程的每個環節。

　　三、教學過程分析：

　　1.創設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”，長期以來，學生對學習數學缺乏興趣，甚至失去信心，一個重要的原因，是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗，教學應該充分考慮學生的情感和需要，想方設法讓學生在學習中樹立信心，感受學習的樂趣。根據教材內容的安排，我以學生熟悉的畫一次函數圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入，設置一個練習題組，一方面讓學生總結復習已有知識，為后面學習二次不等式的解法打下基礎，做好鋪墊，另一方面，使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗，然后以XX年江蘇省的一道高考試題為引子，引入本節課的新授內容。對于本題，引導學生，利用上面解練習題組1的方法，畫出二次函數圖象來解答。二次函數是初中數學的重要內容，本題又給出了函數圖象上許多點，相信學生畫出圖象應該不成問題，只要教師適當點撥，學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課，可以提高學生興趣，抓住學生眼球，吸引學生注意力，還可以讓學生實實在在感受到，高考題就在我們的課本中，就在我們平常的練習中。

　　2.探究交流——發現規律。從特殊到一般是我們發現問題、尋求規律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組(一),交由學生用上面解高考題的方法——圖象法去解，學生由于熟知二次函數圖象，求解應該不會有太大的問題。在這個過程中，教師要啟發引導學生注意對比兩題的異同，組織引導學生展開交流討論，探討第(2)題能不能先把二次項系數化正以后再構造函數畫圖求解。然后達成共識，如果二次項系數為負數時，先做等價轉化，把二次項系數化為正數再解，課本19頁例3、例4作為題組(二)，繼續讓學生用上面的圖象法，由學生自己求解，這時我及時提示學生注意這兩題與題組(一)中兩題的不同(例1、例2對應方程都有兩個不等實根，例3對應方程有兩相等實根，例4對應方程無實根)。兩個題組的練習之后，可以尋求解二次不等式的一般規律。

　　3.啟發引導——形成結論。前面兩個題組的四個小題，基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況，進一步啟發引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結，與學生一起就 △>0,△<0,△=0 的三種情況，總結二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0)的解的情況應該水到渠成。至此，學生可以感受到，解二次不等式只須①將二次項系數化為正數，②求解二次方程 ax2+bx+c=0 的根。③根據①后的二次不等式的符號寫出解集即可，必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。

　　4.訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法，接下來及時組織學生進行課堂練習，完成課本21頁練習1-4題。本環節請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程，之后師生共同糾正問題，規范解題過程的書寫。

　　5.延伸拓寬——提高能力。課堂教學既要面向全體學生，又應關注學生的個體差異。體現分類推進，分層教學的原則。為此，我又設計了一個提高練習題組，共有三道備選題目，以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力，取得更進一步的提高。

　　四、課堂意外預案：

　　新課程理念下的教學更多的關注學生自主探究、關注學生的個性發展，鼓勵學生勇于提出問題，培養學生思維的批評性。在課堂上學生往往會提出讓老師感到“意外”的問題，我在平時的教學中重視對“課堂意外預案”的探索和思考，備課時盡量設想課堂中可能會出現的各種情況，做到有備無患，以免在課堂中學生提出讓自己出乎意料的問題，使自己陷入被動尷尬境地。結合以往經驗，在本節課，我提出兩個“意外預案”。

　　1.學生在做課本練習1(x+2)(x-3)>0 時，可能會問到轉化為不等式組{或{ 求解對不對。學生提出的問題，想法非常好，應給予肯定和鼓勵，這與下節簡單分式不等式和高次不等式的解法有關，是解不等式的另一種解法——等價轉化法，不在本節課之列。

　　2.根據以往的經驗，在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的時候，由于受方程(x+1)(x+2)=0 可轉化為x-1=0或x+2=0求解的影響，有可能會出現將不等式轉化為不等式組{來求解的錯誤做法，教師要關注學生，及時發現問題并給予糾正，指出上面的轉化不是等價轉化。