《數學歸納法及其應用課堂實錄

一、引入新課 
　　師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對角線？你是怎樣考慮的？
　　[提出問題，讓學生在解答的過程中發現規律.]
　　生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對角線，五條對角線和九條對角線，以六邊形為例，每個頂點可引3條對角線，六個頂點可引18條對角線，但因每條對角線都計算了兩次，所以六邊形實際有9條對角線.
　　師：n邊形(n≥4)有多少條對角線？為什么？
　　[由特例到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認識過程.]
　　生：n邊形有條對角線，因為每個頂點可引n-3條對角線，所以n個頂點可引n(n-3)條，但每條對角線都計算了兩次，故n邊形實際有條對角線.
　　師：這一公式適合四邊形、五邊形、六邊形嗎？
　　[由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學生探索問題的積極性，增強了猜想的信心.]
　　生：適合.
　　師：觀察等差數列的前幾項：
　　a1=a1+0d
　　a2=a1+1d
　　a3=a1+2d
　　a4=a1+3d
　　你發現了什么規律？試用a1，n和d表示an.
　　生：an=a1+(n-1)d
　　師：像這種由一系列特殊事例得到一般結論的推理方法，叫做歸納法，用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發現一般規律，但是，由歸納法得出的一般結論并不一定可靠.例如，一個數列的通項公式是an=(n2-5n+5)2請算出a1，a2，a3，a4你能得到什么結論？
　　生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1
　　師：由an=(n2-5n+5)2計算a5.
　　[由a5=25≠1，否定了學生的猜想，舉出反例是否定命題正確性的簡單而基本的方法.]
　　師：由歸納法得到的一般結論是不一定可靠的.法國數學家費爾馬曾由n=0，1，2，3，4得到+1均為質數而推測：n為非負整數時，+1都是質數，但這一結論是錯誤的.因為數學家歐拉發現，n=5時+1是一個合數：+1=4294967297=641×6700417.
　　[數學史例使學生興趣盎然，學習積極性大為提高，至此，歸納法作為一種發現規律的推理方法的數學已告結束.]
　　師：既然由歸納法得到的結論不一定可靠，那么，就必須想辦法對所得到的結論進行證明，對于由歸納法得到的某些與自然數有關的命題P(n)，能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？
　　生：不能.因為這類命題中所涉及的自然數有無限多個，所以無法一個一個加以驗證.
　　[新問題引導學生思考：既然對于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正確性無法一一驗證，那么如何證明P(n)(n≥n0)的正確性呢？至此，數學歸納法的引入水到渠成.]
　　二、新課
　　師：我們將采用遞推的辦法解決這個問題.同學們在電視中可能看到過“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推到第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下，這種傳遞相推的方法，就是遞推.
　　從一個袋子里第一次摸出的是一個白球，接著，如果我們有這樣的一個保證：“當你第一次摸出的是白球，則下一次摸出的一定也是白球”，能否斷定這個袋子里裝的全是白球？
　　生：能斷定.
　　[為數學歸納法的兩個步驟提供具體生動的模型，幫助學生理解數學歸納法的實質.]
　　師：要研究關于自然數的命題P(n)，我們先來看自然數有什么性質，自然數數列本身具有遞推性質：第一個數是1，如果知道了一個數，就可以知道下一個數.有了這兩條，所有自然數盡管無限多，但我們就可全部知道了.類似地，我們可采用下面的方法來證明有關連續自然數的命題P(n)，先驗證n取第一個值n0時命題正確；再證明如果n=k(k≥n0)時命題正確，則n=k+1時命題正確，只要有了這兩條，就可斷定對從n0開始的所有自然數，命題正確，這就是數學歸納法的基本思想.
　　[先通俗了解數學歸納法的基本思想，對深刻理解數學歸納法的實質至關重要.]
　　師：用數學歸納法證明一個與自然數有關的命題P(n)的步驟是：
　　(1)證明當n取第一個值n0(如n0=1或n0=2等)時結論成立，即驗證P(n0)正確；
　　(2)假設n=k(k∈N，且k≥n0)時結論正確，證明n=k+1時結論正確，即由P(k)正確P(k+1)正確由(1)和(2)，就可斷定命題對于從n0開始的所有自然數n都正確.
　　這兩步實質上是證明P(n)的正確具有遞推性.(1)是遞推的始點(2)是遞推的依據.
　　步驟(1)是一次驗證，步驟(2)是以一次邏輯推理代替了無限次驗證過程.步驟(2)用的是演繹推理.
　　由(1)與(2)可知，遞推的過程是：
　　
　　上述無窮“鏈條”一環扣一環，形象地說明了用數學歸納法證明P(n)正確性的過程.
　　[先明確步驟，然后在運用中加深理解數學歸納法的實質.]
　　師：用數學歸納法證明等差數列通項公式an=a1+(n-1)d對一切n∈N都成立.
　　(證明由學生完成，并得出)
　　師：至此，對等差數列通項公式的“觀察——猜想——證明”的研究結束，觀察特例，歸納一般結論，用數學歸納法證明，這是解答有關連續自然數命題的有效途徑.
　　師：下面，我們來看教材中的例題：證明1+3+5+……+(2n-1)=n2
　　請同學們自己完成，然后將自己的證明與教材中的證明對照，如發現錯誤，找出錯誤的原因.
　　師：用數學歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采用下面的證法，對嗎？