《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課堂實(shí)錄
(1)n=1時(shí)，通過驗(yàn)證，等式成立.
(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+……+(2k-1)=k2
則
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立，由(1)和(2)，可知對(duì)任何n∈N等式都成立.
生甲：證明是對(duì)的.
生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，未用到歸納假設(shè).
[指出錯(cuò)誤，并分析出錯(cuò)原因，是澄清學(xué)生模糊認(rèn)識(shí)的有效方法.]
師：從形式上看這種證法，用的是數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上不是，因?yàn)樽C明n=k+1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，而用的是等差數(shù)列求和公式.數(shù)學(xué)歸納法的核心是在驗(yàn)證n取第一值n0正確的基礎(chǔ)上，由P(k)正確證明P(k+1)正確，也就是說核心是證明命題的正確具有遞推性.因此，今后用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第二步必須由歸納假設(shè)P(k)的正確性來推導(dǎo)出P(k+1)的正確性，簡(jiǎn)記作.可見，正確使用歸納假設(shè)，是用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵.
[教師的概括與強(qiáng)調(diào)，能使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的思路進(jìn)一步清晰和明確，不再機(jī)械地套用兩個(gè)步驟，而且能深入理解實(shí)質(zhì)及兩個(gè)步驟之間的內(nèi)在聯(lián)系.]
師：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟中，僅有第一步驟驗(yàn)證而沒有第二步驟遞推性的證明是不行的，那么，沒有第一步行嗎？
[新的問題引起學(xué)生新的思索.]
生甲：第一步僅是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確.其實(shí)，這是顯然的，可以省略.
生乙：第一步是第二步遞推的基礎(chǔ)，沒有第一步是不行的.
師：讓我們舉一個(gè)例子來看一下：試問等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立嗎？
設(shè)n=k時(shí)成立，即2+4+6+……+2k=k2+k+1
則2+4+6+……+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1
這就是說，n=k+1時(shí)等式也成立，若僅由這一步就得出等式對(duì)任何n∈N都成立的結(jié)論，那就錯(cuò)了.事實(shí)上，當(dāng)n=1時(shí)左邊=2，右邊=3，左邊≠右邊，可能有的同學(xué)已經(jīng)看出，該式左邊總是偶數(shù)，而右邊總是奇數(shù)，因此對(duì)任何n∈N該式都是不成立的.因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù).缺了第一步，遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去.
三、練習(xí)
用數(shù)學(xué)歸納法證明：n邊形的對(duì)角線的條數(shù)是(n≥4)
四、小結(jié)
師：本節(jié)課主要講了數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，應(yīng)掌握下列幾個(gè)要點(diǎn)：
(1)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：
①驗(yàn)證P(n0)成立.
②假設(shè)P(k)成立(k∈N且k≥n0)，推證P(k+1)成立.
(2)數(shù)學(xué)歸納法的核心，是在驗(yàn)證P(n0)正確的基礎(chǔ)上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥n0).第一步是遞推的基礎(chǔ)或起點(diǎn)，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵.
(3)數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題.
(4)歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想.
五、布置作業(yè)(略)
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課練中有講，講中有練，講與練結(jié)合.在講與練的相互作用下，使學(xué)生的思維逐步深化，教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己解答，然后教師分析與概括，在教師講解新課中，又不斷提出問題讓學(xué)生解答和練習(xí)，以求在練習(xí)中加深理解.