第二十四章“圓”簡介
課程教材研究所 李海東與三角形、四邊形等一樣,圓也是基本的平面圖形,也是“空間與圖形”的主要研究對象,是人們生活中常見的圖形。本章將在學生前面學習了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎上,進一步研究一個基本的曲線形──圓,探索圓的有關性質,了解與圓有關的位置關系等,并結合一些圖形性質的證明,進一步發(fā)展學生的邏輯思維能力。本章共安排四個小節(jié)和兩個選學內容,教學時間大約需要17課時,具體安排如下(僅供參考):24.1 圓 5課時24.2 與圓有關的位置關系 6課時24.3 正多邊形和圓 2課時24.4 弧長和扇形的面積 2課時數(shù)學活動小結 2課時一、教科書內容和課程學習目標(一)本章知識結構框圖本章知識結構如下圖所示:(二)教科書內容本章是在學習了直線圖形的有關性質的基礎上,來研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關性質。圓也是常見的幾何圖形之一,不僅日常生活中的許多物體是圓形的,而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關性質,也被廣泛的應用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一,它不僅在幾何中有重要地位,而且是進一步學習數(shù)學以及其他科學的重要的基礎。圓的許多性質,比較集中地反映了事物內部量變與質變的關系、一般與特殊的關系、矛盾的對立統(tǒng)一關系等等。結合圓的有關知識,可以對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學,在初中的學習中也占有重要地位。本章是在小學學過的一些圓的知識的基礎上,系統(tǒng)的研究圓的概念、性質、圓中有關的角、點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關系。本章共分為四個小節(jié),第1小節(jié)是“圓”,主要是圓的有關概念和性質,圓的概念和性質是進一步研究圓與其他圖形位置、數(shù)量關系的主要依據(jù),是全章的基礎。這一節(jié)包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個部分。“24.1.1 圓”的主要內容是圓的定義和圓中的一些相關概念。圓的定義是研究圓的有關性質的基礎。在小學,學生接觸過圓,對它有一定的認識。教科書首先結合生活中一些圓的實際例子,在學生小學學過的畫圓的基礎上,通過設置一個觀察欄目,用“發(fā)生法”給出了圓的定義。進一步的教科書又分析了圓上每一個點與圓心的距離都等于定長,同時到定點的距離等于定長的點都在圓上,這樣實際上從點和集合的角度進一步認識圓,這樣再認識之后,學生對圓的認識就加深了。接下來,是與圓有關的一些概念,如半徑、直徑、弦、弧等,對于這些概念要讓學生結合圖形進行認識,并多進行比較,以搞清他們的異同。在接下來的幾部分,教科書探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質,是圓的軸對稱性的具體化,也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據(jù),同時也為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù);圓周角定理及其推論對于角的計算、證明角相等、弧、弦相等等問題提供了十分簡便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節(jié)的重點,也是本章的重點內容。而垂徑定理及其推論的條件和結論比較復雜,容易混淆,圓周角定理的證明要用到完全歸納法,學生對與分類證明的必要性不易理解,所以這兩部分內容也是本節(jié)的難點。“24.2 與圓有關的位置關系”包括三部分內容,點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系。在“點與圓的位置關系”中,教科書首先結合射擊問題,給出了點與圓的三種不同位置關系,接下來討論了過三點的圓,并結合“過同一直線上的三點不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關系”中,教科書首先討論了直線與圓的三種位置關系,然后重點研究了直線與圓相切的情況,給出了直線與圓相切的判定定理、性質定理、切線長定理,在此基礎上介紹了三角形的內切圓。在“圓與圓的位置關系”中,重點是討論圓與圓的不同位置關系。本小節(jié)中,直線與圓的位置關系是中心內容,切線的判定定理、性質定理、切線長定理等則是研究直線與圓的有關問題時常用的定理,是本節(jié)的重點內容。反證法的思想在前面章節(jié)有所滲透,在這一小節(jié)正式提出,它是一種間接證法,學生接受還是有一定的困難,所以對于反證法的教學是本節(jié)的一個難點;另外切線的判定定理和性質定理的題設和結論容易混淆,證明性質定理又要用到反證法,因此這兩個定理的教學也是本節(jié)的難點,這些也同時是本章的難點。