反比例函數(shù)及其圖象

教學(xué)設(shè)計(jì)示例1

教學(xué)目標(biāo) ：

1、理解反比例函數(shù)，并能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

2、會(huì)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

4、體會(huì)數(shù)學(xué)從實(shí)踐中來(lái)又到實(shí)際中去的研究、應(yīng)用過(guò)程；

5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：

結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)難點(diǎn) ：描點(diǎn)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象

教學(xué)用具：直尺

教學(xué)方法：小組合作、探究式

教學(xué)過(guò)程 ：

1、從實(shí)際引出反比例函數(shù)的概念

我們?cè)?STRONG>小學(xué)學(xué)過(guò)反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例

即vt=S（S是常數(shù)）；

當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有兩個(gè)變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫(xiě)成：
（S是常數(shù)）
（S是常數(shù)）
一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時(shí)，時(shí)間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時(shí)，長(zhǎng)a是寬b的反比例函數(shù).

在現(xiàn)實(shí)生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進(jìn)行討論.下面的例子僅供

2、列表、描點(diǎn)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象
例1、畫(huà)出反比例函數(shù) 與 的圖象
解：列表

說(shuō)明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無(wú)法推測(cè)出它的大致圖象.取點(diǎn)的時(shí)候最好多取幾個(gè)，正負(fù)可以對(duì)稱(chēng)著取分別畫(huà)點(diǎn)描圖

一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

前面學(xué)習(xí)了三類(lèi)基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開(kāi)全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識(shí)的學(xué)習(xí).

顯示這兩個(gè)函數(shù)的圖象，提出問(wèn)題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

（1） 的圖象在第一、三象限.可以擴(kuò)展到k >0時(shí)的情形，即k>0時(shí)，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個(gè)結(jié)論：xy=k，即x與y同號(hào)，因此，圖象在第一、三象限.
的討論與此類(lèi)似.
抓住機(jī)會(huì)，說(shuō)明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過(guò)程.
（2）函數(shù) 的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；
從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時(shí)，圖象呈下坡趨勢(shì).從列表中也可以看出這樣的變化趨勢(shì).有理數(shù)除法說(shuō)明了同樣的道理，被除數(shù)一定時(shí)，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越小；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù) 的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.
同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).
（3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來(lái)越大時(shí)，y的值越來(lái)越小，趨近于零；如果x取負(fù)值且越來(lái)越小時(shí)，y的值也越來(lái)越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).
函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類(lèi)似.
4、小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開(kāi)了充分的討論，對(duì)函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個(gè)部分，同時(shí)又隱藏在世界中.

5、布置作業(yè)       習(xí)題13.8   1-4
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

反比例函數(shù)及其圖像

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

2.使學(xué)生能夠根據(jù)問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

4.會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

（三）德育滲透點(diǎn)

1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)；

2.使學(xué)生體會(huì)事物是有規(guī)律地變化著的觀點(diǎn).

（四）美育滲透點(diǎn)

通過(guò)反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識(shí)的能力.

二、學(xué)法引導(dǎo)

教師采用類(lèi)比法、觀察法、練習(xí)法

學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號(hào).

三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn)：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因?yàn)橐�研究反比例函�?shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問(wèn)題.

2.教學(xué)難點(diǎn) ：畫(huà)反比例函數(shù)的圖像.因?yàn)榉幢壤�函�?shù)的圖像有兩個(gè)分支，而且這兩個(gè)分支的變化趨勢(shì)又不同，學(xué)生初次接觸，一定會(huì)感到困難.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無(wú)交點(diǎn)；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說(shuō)在第一、三象限或第二、四象限，而不能說(shuō)經(jīng)過(guò)第幾象限，增減性也要說(shuō)明在第幾象限（或說(shuō)在它的每一個(gè)象限內(nèi)）.

4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.

四、教學(xué)步驟 

（一）教學(xué)過(guò)程 

提問(wèn)：小學(xué)是否學(xué)過(guò)反比例關(guān)系？是如何敘述的？

由學(xué)生先考慮及討論一下.

答：小學(xué)學(xué)過(guò)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

看下面的實(shí)例：（出示幻燈）

1. 當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例；

2.當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例；

它們分別可以寫(xiě)成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫(xiě)在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書(shū)）

一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時(shí)，時(shí)間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說(shuō)：速度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)呢？

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說(shuō)速度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)，因?yàn)?（s是常量）.對(duì)第2個(gè)實(shí)例也一樣.

練習(xí)一：教材P129中1  口答.P130  1

根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

答：圖像和性質(zhì).

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)課本上給出的知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，以后

學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來(lái)研究.

下面，我們就來(lái)看桓隼�题：（出蕛裘灯�?/P>

例1  畫(huà)出反比例函數(shù) 與 的圖像.

提問(wèn)：1.畫(huà)函數(shù)圖像的關(guān)鍵問(wèn)題是什么？

答：合理、正確地選值列表.

2.在選值時(shí)，你認(rèn)為要注意什么問(wèn)題？

答：（1）由于函數(shù)圖像的特點(diǎn)還不清楚，多選幾個(gè)點(diǎn)較好；

（2）不能選 ，因?yàn)?時(shí)函數(shù)無(wú)意義；

（3）選整數(shù)較好計(jì)算和描點(diǎn).

這個(gè)問(wèn)題中最核心的一點(diǎn)是關(guān)于 的問(wèn)題，提醒學(xué)生注意.

3.你能不能自己完成這道題呢？

學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點(diǎn)、連線，教師在黑板上板演，到連線時(shí)可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評(píng)價(jià)、總結(jié)：

注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）這兩條曲線不相交；

（3）這兩條曲線無(wú)限延伸，無(wú)限靠近x軸和y軸，但永不會(huì)與x軸和y軸相交.

關(guān)于注意（3）可問(wèn)學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題既可加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問(wèn)：

1.當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

2.當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

這兩個(gè)問(wèn)題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書(shū)：

對(duì)于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.
3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題使學(xué)生能把學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，便于記憶和應(yīng)用.

練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書(shū)上

上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)不同類(lèi)型的例題：（出示幻燈）

例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時(shí)， ，求 時(shí)，y的值.

用提問(wèn)的方式對(duì)此題加以分析：

（1）y與 成反比例是什么含義？

由學(xué)生討論這一問(wèn)題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說(shuō)明了： .

（2）根據(jù)這個(gè)式子，能否求出當(dāng) 時(shí)，y的值？

（3）要想求出y的值，必須先知道哪個(gè)量呢？

（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

答：用待定系數(shù)法，把 時(shí) 代入 ，求出k的值.

（5）你能否自己完成這道例題：

由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

例3   已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， ，求y與x的解析式.

分析：一定要先寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式 ，

要用x分別把 ， 表示出來(lái)得 ，

要注意 不能寫(xiě)成k，∴

解：設(shè) ，

.

由題意得

∴ .

（二）總結(jié)、擴(kuò)展

教師提問(wèn)，學(xué)生思考回答：

1.什么是反比例函數(shù)？

2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點(diǎn)，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識(shí)、三角知識(shí)等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

五、布置作業(yè) 

1.教材P130中4，5，6

2.選做：P130中B1，2

六、板書(shū)設(shè)計(jì) 

已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D。 。

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；

（3）當(dāng) 的面積等于 時(shí)，試判斷過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能否等于3。如果能，求此時(shí)拋物線的解析式；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作 軸于點(diǎn)H。

在Rt 中，

由勾股定理，得

又 ，

∴  點(diǎn)B（－3，－1）。

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

。

∵  點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，

。

∴  反比例函數(shù)的解析式為 。

（2）設(shè)直線AB的解析式為 。

由點(diǎn)A在第一象限，得 。

又由點(diǎn)A在函數(shù) 的圖像上，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 。

∵  點(diǎn)B（－3，－1），點(diǎn) ，

∴    解關(guān)于 、 的方程組，得

∴  直線AB的解析式為 。

令  。

求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 。

過(guò)點(diǎn)A作 軸于點(diǎn)G

由已知，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，

∴  ，即 。

由此得 

∴  。

即  。

（3）過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)不能等于3。

證明如下：

。

由 ，

得 

解得 。

經(jīng)檢驗(yàn)， 都是這個(gè)方程的根。

，

∴  不合題意，舍去。

∴  點(diǎn)A（1，3）。

設(shè)過(guò)A（1，3）、B（－3，－1）兩點(diǎn)的拋物線的解析式為 。

∴    由此得

即  。

設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 。

則 

令 

則  。

即  。

整理，得  。

，

∴  方程 無(wú)實(shí)數(shù)根。

因此過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)不能等于3。