數學教案－圓和圓的位置關系

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.

難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.

2、教法建議

本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究圓和圓的位置關系；第二課時相交兩圓的性質.

（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；

（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；

（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程 .

第一課時 圓和圓的位置關系

教學目標 ：

1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；

2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；

3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.

教學重點：

兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.

教學難點 ：

兩圓位置關系及判定.

（一）復習、引出問題

1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?

（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的

2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?

（二）觀察、分類，得出概念

1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))

(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))

(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))

(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例.  (圖(6))

2、歸納：

(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.

(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一

(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).

教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?

結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.

（三）分析、研究

1、相切兩圓的性質.

讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：

如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.

這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明

2、兩圓位置關系的數量特征.

設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）

兩圓外切 d＝R+r；

兩圓內切 d＝R-r (R＞r);

兩圓外離 d＞R+r；

兩圓內含 d＜R-r(R＞r);

兩圓相交 R-r＜d＜R+r.

說明：注重“數形結合”思想的教學.

（四）應用、練習

例1：  如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米

求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?

(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?

解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則

PA=PO-OA

∴PA=3cm.

（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm.

例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.

求證：⊙O與⊙B相外切.

證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，

∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點

∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

∴ ，

∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，

∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.

 練習(P₁₃₈)

（五）小結

知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；

②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；

③兩圓相切時切點在連心線上的性質.

能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.

思想方法：分類思想、數形結合思想.

（六）作業 

教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質

教學目標 

1、掌握相交兩圓的性質定理；

2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；

3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；

4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.

教學重點

相交兩圓的性質及應用.

教學難點 

應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.

教學活動設計

（一）圖形的對稱美

相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?

（二）觀察、猜想、證明

1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.

2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.

3、證明：

對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.

已知：⊙O₁和⊙O₂相交于A，B.

求證：Q₁O₂是AB的垂直平分線.

分析：要證明O₁O₂是AB的垂直平分線，只要證明O₁O₂上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O₁A、O₂A、O₁B、O₂B. 

證明：連結O₁A、O₁B、 O₂A、O₂B，∵O₁A=O₁B，

∴O₁點在AB的垂直平分線上.

又∵O₂A＝O₂B，∴點O₂在AB的垂直平分線上.

因此O₁O₂是AB的垂直平分線.

也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：

∵⊙O_l和⊙O₂，是軸對稱圖形，∴直線O₁O₂是⊙O_l和⊙O₂的對稱軸.

∴⊙O_l和⊙O₂的公共點A關于直線O₁O₂的對稱點即在⊙O_l上又在⊙O₂上.

∴A點關于直線O₁O₂的對稱點只能是B點，

∴連心線O₁O₂是AB的垂直平分線.

定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.

（三）應用、反思

例1、已知兩個等圓⊙O_l和⊙O₂相交于A，B兩點，⊙O_l經O_2。

求∠O_lAB的度數.

分析：由所學定理可知，O₁O₂是AB的垂直平分線，

又⊙O₁與⊙O₂是兩個等圓，因此連結O₁O₂和AO₂，AO₁，△O₁AO₂構成等邊三角形，同時可以推證⊙O _l和⊙O₂構成的圖形不僅是以O₁O₂為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由

∠O_lAO₂＝60°，推得∠O_lAB＝30°.

解：⊙O₁經過O₂，⊙O₁與⊙O₂是兩個等圓

∴O_lA=O₁O₂=AO₂

∴∠O₁A O₂=60°，

又AB⊥O₁O₂

∴∠O_lAB =30°.

例2、已知，如圖，A是⊙O _l、⊙O₂的一個交點，點P是O₁O₂的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O _l、⊙O₂于M、N。

求證：AM=AN.

證明：過點O_l、O₂分別作O_lC⊥MN、O₂D⊥MN，垂足為C、D，則O_lC∥PA∥O₂D，且AC= AM，AD= AN.

∵O_lP=O₂P ，∴AD=AM，∴AM=AN.

例3、已知：如圖，⊙O_l與⊙O₂相交于A、B兩點，C為⊙O_l上一點，AC交⊙O₂于D，過B作直線EF交⊙O_l、⊙O₂于E、F.

求證：EC∥DF

證明：連結AB

∵在⊙O₂中∠F=∠CAB，

在⊙O_l中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF.

反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.

（四）小結

知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.

能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.

（五）作業   教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.

探究活動

問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O₁、O₂、…、O_n在線段AB上，分別以O₁、O₂、…、O_n為圓心作圓，使⊙O₁與⊙O內切，⊙O₂與⊙O₁外切，⊙O₃與⊙O₂外切，…，⊙O_n與⊙O_n-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的周長分別為C₁、C₂、…、C_n.

(1)當n=2時，判斷C_l+C₂與C的大小關系；

(2)當n=3時，判斷C_l+C₂+ C₃與C的大小關系；

(3)當n取大于3的任一自然數時，C_l十C₂十…十C_n與C的大小關系怎樣?證明你的結論.

提示：假設⊙O、⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的半徑分別為r、r_l、r₂、…、r_n，通過周長計算，比較可得（1）C_l+C₂=C；（2）C_l+C₂+ C₃=C；（3）C_l十C₂十…十C_n=C.

問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？

提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.

2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉