數學教案－切線的判定和性質

切線的判定和性質（一）

教學目標 ：

1、使學生深刻理解切線的判定定理，并能初步運用它解決有關問題；

2、通過判定定理和切線判定方法的學習，培養學生觀察、分析、歸納問題的能力；

3、通過學生自己實踐發現定理，培養學生學習的主動性和積極性.

教學重點：切線的判定定理和切線判定的方法；

教學難點 ：切線判定定理中所闡述的由位置來判定直線是圓的切線的兩大要素：一是經過半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學生開始時掌握不好并極容易忽視.

教學過程 設計

（一）復習、發現問題

1.直線與圓的三種位置關系

在圖中，圖(1)、圖(2)、圖(3)中的直線l和⊙O是什么關系?

2、觀察、提出問題、分析發現（教師引導）

圖(2)中直線l是⊙O的切線，怎樣判定？根據切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時使用定義判定很不方便.我們從另一個側面去觀察，那就是直線和圓的位置怎樣時，直線也是圓的切線呢?

如圖，直線l到圓心O的距離OA等于圓O的半徑，直線l是⊙O的切線.這時我們來觀察直線l與⊙O的位置.

發現：(1)直線l經過半徑OC的外端點C；(2)直線l垂直于半徑0C.這樣我們就得到了從位置上來判定直線是圓的切線的方法——切線的判定定理.

（二）切線的判定定理：

1、切線的判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、對定理的理解：

引導學生理解：①經過半徑外端；②垂直于這條半徑.

請學生思考：定理中的兩個條件缺少一個行不行?定理中的兩個條件缺一不可.

圖(1)中直線了l經過半徑外端，但不與半徑垂直；圖(2)（3）中直線l與半徑垂直，但不經過半徑外端.

從以上兩個反例可以看出，只滿足其中一個條件的直線不是圓的切線.

（三）切線的判定方法

教師組織學生歸納.切線的判定方法有三種：

①直線與圓有唯一公共點；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理.

（四）應用定理，強化訓練

例1已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA＝CB.

求證：直線AB是⊙O的切線.

分析：欲證AB是⊙O的切線.由于AB過圓上點C，若連結OC，則AB過半徑OC的外端，只需證明OC⊥OB。

證明：連結0C

∵0A＝0B，CA＝CB，”

∴0C是等腰三角形0AB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

直線AB經過半徑0C的外端C，并且垂直于半徑0C，所以AB是⊙O的切線.

練習1判斷下列命題是否正確.

(1)經過半徑外端的直線是圓的切線.

(2)垂直于半徑的直線是圓的切線.

(3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.

(4)和圓有一個公共點的直線是圓的切線.

(5)以等腰三角形的頂點為圓心，底邊上的高為半徑的圓與底邊相切.

采取學生搶答的形式進行，并要求說明理由，

練習P106，1、2

目的：使學生初步會應用切線的判定定理，對定理加深理解）

（五）小結

1、知識：切線的判定定理.著重分析了定理成立的條件，在應用定理時，注重兩個條件缺一不可.

2、方法：判定一條直線是圓的切線的三種方法：

(1)根據切線定義判定.即與圓有唯一公共點的直線是圓的切線。

(2)根據圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(3)根據切線的判定定理來判定.

其中(2)和(3)本質相同，只是表達形式不同.解題時，靈活選用其中之一.

3、能力：初步會應用切線的判定定理.

（六）作業 P115中2、4、5；P117中B組1.

切線的判定和性質（二）

教學目標 ：

1、使學生理解切線的性質定理及推論；

2、通過對圓的切線位置關系的觀察，培養學生能從幾何圖形的直觀位置歸納出幾何性質的能力；

教學重點：切線的性質定理和推論1、推論2.

教學難點 ：利用“反證法”來證明切線的性質定理.

教學設計：

（一）基本性質

1、觀察：（組織學生，使學生從感性認識到理性認識）

2、歸納：（引導學生完成）

(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；

猜想：圓的切線垂直于經過切點的半徑.

引導學生應用“反證法”證明.分三步：

(1)假設切線AT不垂直于過切點的半徑OA，

(2)同時作一條AT的垂線OM.通過證明得到矛盾，OM＜OA這條半徑.則有直線和圓的位置關系中的數量關系，得AT和⊙O相交與題設相矛盾.

(3)承認所要的結論AT⊥AO.

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.

指出：定理中題設和結論中涉及到的三個要點：切線、切點、垂直.

引導學生發現：

推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

推論2：經過切點且垂于切線的直線必經過圓心.

引導學生分析性質定理及兩個推論的條件和結論問的關系，總結出如下結論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

(1)垂直于切線；

(2)過切點；

(3)過圓心.

(二)歸納切線的性質

(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）

(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質定理）

(4)經過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）

(5)經過切點垂直于切線的直線必過圓心.（推論2）

（三）應用舉例，強化訓練.

例1、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D.

求證：AC平分∠DAB.

引導學生分析：條件CD是⊙O的切線，可得什么結論；由AD⊥CD，又可得什么.

證明：連結OC.

∴AC平分∠DAB.

例2、求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點的線段是直徑。

已知：AB、CD是⊙O的兩條切線，E、F為切點,且AB∥CD

求證：連結E、F的線段是直徑。

證明：連結EO并延長

∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，

∵AB∥CD，∴OE⊥CD.

∵CD是⊙O切線，F為切點，∴OE必過切點F

∴EF為⊙O直徑

強化訓練：P109，1

3、求證：經過直徑兩端點的切線互相平行。

已知：AB為⊙O直徑，MN、CD為⊙O切線，切點為A、B

求證：MN∥CD

證明：∵MN切⊙O于A，AB為⊙O直徑

∴MN⊥AB

∵CD切⊙O于B，B為半徑外端

∴CD⊥AB，

∴MN∥CD.

（四）小結

1、知識：切線的性質：

(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）

(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質定理）

(4)經過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）

(5)經過切點垂直于切線的直線必過圓心.（推論2）

2、能力和方法：

凡是題目中給出切線的切點，往往“連結”過切點的半徑.從而運用切線的性質定理，產生垂直的位置關系.

（五）作業 教材P109練習2；教材P116中7.

切線的判定和性質（三）

教學目標 ：

1、使學生學能靈活運用切線的判定方法和切線的性質證明問題；

2、掌握運用切線的性質和切線的判定的有關問題中輔助線引法的基本規律；

3、通過對切線的綜合型例題分析和論證，激發學生的思維.

教學重點：對切線的判定方法及其性質的準確、熟煉、靈活地運用.

教學難點 ：綜合型例題分析和論證的思維過程.

教學設計：

（一）復習與歸納

1、切線的判定

切線的判定方法有三種：

①直線與圓有唯一公共點；

②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；

③切線的判定定理.即經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、切線的性質：

(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）

(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質定理）

(4)經過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）

(5)經過切點垂直于切線的直線必過圓心.（推論2）

(二)靈活應用

例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD.求證：DC是⊙O的切線.

證明：連結OD.

∵OA=OD，∴∠1=∠2，

∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4

∴∠3=∠4

在△OBC和△ODC中，

OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，

∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.

∴DC是⊙O的切線.

例2（P110例4）、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點E，求證：CD與小圓相切.

證明：連結OE，過O作OF⊥CD，垂足為F.

∵AB與小圓O切于點點E，∴OE⊥AB.

又∵AB=CD，

∴OF=OE，又OF⊥CD，

∴CD與小圓O相切.

學生歸納：（1）證明切線的兩個常見方法（①連半徑證垂直；②作垂直證半徑.）；

（2）“連結”過切點的半徑，產生垂直的位置關系.

例3、已知：AB是半⊙O直徑，CD⊥AB于D，EC是切線，E為切點

求證：CE=CF

證明：連結OE

∵BE=BO∴∠3=∠B

∵CE切⊙O于E

∴OE⊥CE∠2+∠3=90°

∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°

∴∠2=∠4

∵∠1=∠4∴∠1=∠2

∴CE=CF

以上例題讓學生自主分析、論證，教師指導書寫規范，觀察學生推理的嚴密性和學生共同存在的問題，及時解決.

鞏固練習：P111練習1、2.

（三）小結：

1、知識：（指導學生歸納）切線的判定方法和切線的性質

2、能力：①靈活運用切線的判定方法和切線的性質證明問題；②作輔助線的能力和技巧.

（四）作業 ：教材P115，1（1）、2、3.

探究活動

問題：（北京西城區，2002）已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，設切點為C.

(1)當點P在AB延長線上的位置如圖1所示時，連結AC，作∠APC的平分線，交AC于點D，請你測量出∠CDP的度數；

(2)當點P在AB延長線上的位置如圖2和圖3所示時，連結AC，請你分別在這兩個圖中用尺規作∠APC的平分線(不寫做法，保留作固痕跡)，設此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖中分別測量出∠CDP的度數；

猜想：∠CDP的度數是否隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化?請對稱的猜想加以證明.

解：(1) 測量結果：

(2)圖2中的測量結果：

圖3中的測量結果：

猜想：

證明：

解：(1) 測量結果：∠CDP=45°.

(2)圖2中的測量結果：∠CDP=45°.

圖3中的測量結果：∠CDP=45°.

猜想：∠CDP=45°，不隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化.

證明：連結OC.

∵PC切⊙O于點C，

∴PC⊥OC，

∴∠1+∠CPO=90°，

∵PC平分∠APC，

∴∠2=1/2∠CPO.

∵OA=OC

∴∠A=∠3.

∴∠1=∠A+∠3，

∴∠A=1/2∠1.

∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.

∴猜想正確.