數學教案－切線長定理

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

重點：切線長定理及其應用.因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點.

難點：與切線長定理有關的證明和計算問題.如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來.

2、教法建議

本節內容需要一個課時.

（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；

（2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學.

教學目標 

1.理解切線長的概念，掌握切線長定理；

2.通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想.

3.通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度.

教學重點:

切線長定理是教學重點

教學難點 :

切線長定理的靈活運用是教學難點 

教學過程 設計:

（一）觀察、猜想、證明，形成定理

1、切線長的概念.

如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長.

引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

2、觀察

利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系.

3、猜想

引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB. PA＝PB.

4、證明猜想，形成定理.

猜想是否正確。需要證明.

組織學生分析證明方法.關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB.

想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

∠OPA＝∠OPB(如圖)等.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

5、歸納：

把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

6、切線長定理的基本圖形研究

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點.直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

(1)寫出圖中所有的垂直關系；

(2)寫出圖中所有的全等三角形；

(3)寫出圖中所有的相似三角形；

(4)寫出圖中所有的等腰三角形.

說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎.

（二）應用、歸納、反思

例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

A和B是切點，BC是直徑.

求證：AC∥OP.

分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等.于是想到可能作輔助線AB.

從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮.也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法.

證法一.如圖.連結AB.

PA，PB分別切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC為⊙O直徑

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (學生板書)

證法二.連結AB，交OP于D

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO  

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位線

∴AC∥OP

證法三.連結AB，設OP與AB弧交于點E

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴ OP ⊥AB

∴ =

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力.
例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.

（分析和解題略）

反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論.（2）圓內接四邊形的性質：對角互補.

P120練習：

練習1 填空

如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

練習2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F，求AF，AD和CE的長.

分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米.后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果.

（解略）

反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題.通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力.

（三）小結

1、提出問題學生歸納

（1）這節課學習的具體內容；

（2）學習用的數學思想方法；

（3）應注意哪些概念之間的區別?

2、歸納基本圖形的結論

3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法.

（四）作業 

教材P131習題7.4A組1.(1)，2，3，4.B組1題.

探究活動

圖中找錯

你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？

在圖2中，P₁A為⊙O₁和⊙O₃的切線、P₁B為⊙O₁和⊙O₂的切線、P₂C為⊙O₂和⊙O₃的切線.

提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上.

在圖2中，設P₁A=P₁B=a，P₂B=P₂C=b，P₃A＝P₃C＝c，則有

a=P₁A=P₁P₃+P₃A=P₁P₃+ c ①

c=P₃C=P₂P₃+P₃A=P₂P₃+ b ②

a=P₁B=P₁P₂+P₂B=P₁P₂+ b ③

將②代人①式得

a =P₁P₃+（P₂P₃+ b）=P₁P₃+P₂P₃+ b，

∴a-b=P₁P₃+P₂P₃

由③得a-b=P₁P₂得

∴P₁P₂=P₂P₃+ P₁P₃

∴P₁、P ₂ 、P₃應重合，故圖2是錯誤的.