圓

1、教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：①點(diǎn)和的三種位置關(guān)系，的有關(guān)概念，因?yàn)樗鼈兪茄芯康幕�礎(chǔ)；②五種常見(jiàn)的點(diǎn)的軌跡，一是對(duì)幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.

難點(diǎn)：① 的集合定義，學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個(gè)條件，內(nèi)容本身屬于難點(diǎn)；②點(diǎn)的軌跡，由于學(xué)生形象思維較強(qiáng)，抽象思維弱，而這部分知識(shí)比較抽象和難懂.

2、教法建議

本節(jié)內(nèi)容需要4課時(shí)

第一課時(shí)：的定義和點(diǎn)和的位置關(guān)系

（1）讓學(xué)生自己畫(huà)，自己給下定義，進(jìn)行交流，歸納、概括，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)的參與教學(xué)活動(dòng)；對(duì)于高層次的學(xué)生可以直接通過(guò)點(diǎn)的集合來(lái)研究，給下定義（參看教案（一））；

（2）點(diǎn)和的位置關(guān)系，讓學(xué)生自己觀察、分類、探究，在“數(shù)形”的過(guò)程中，學(xué)習(xí)新知識(shí).

第二課時(shí)：的有關(guān)概念

（1）對(duì)（A）層學(xué)生放開(kāi)自學(xué)，對(duì)（B）層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué)，要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是概念較多而沒(méi)有很多發(fā)揮的內(nèi)容，老師沒(méi)必要去講；

（2）課堂活動(dòng)要抓�。河伞皵�(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”，的主線.

第三、四課時(shí)：點(diǎn)的軌跡

條件較好的學(xué)校可以利用電腦動(dòng)畫(huà)來(lái)加深和幫助學(xué)生對(duì)點(diǎn)的軌跡的理解，一般學(xué)�？勺寣W(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、觀察、思考、理解的過(guò)程中，逐步從形象思維較強(qiáng)向抽象思維過(guò)度.但我的觀點(diǎn)是不管怎樣組織教學(xué)，都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.

第一課時(shí)：（一）

教學(xué)目標(biāo) ：

1、理解的描述性定義，了解用集合的觀點(diǎn)對(duì)的定義；

2、理解點(diǎn)和的位置關(guān)系和確定的條件；

3、培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力；

4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)和的關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn) ：以點(diǎn)的集合定義所具備的兩個(gè)條件

教學(xué)方法：自主探討式

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì)(總框架)：

一、 創(chuàng)設(shè)情境，開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)

1、讓學(xué)生畫(huà)、描述、交流，得出的第一定義：

定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做.固定的端點(diǎn)O叫做心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“O”.

2、讓學(xué)生觀察、思考、交流，并在老師的指導(dǎo)下，得出的第二定義.

從舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題

觀察：

共性：這些點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等

想一想：在平面內(nèi)還有到O點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？它們構(gòu)成什么圖形？

（1）   上各點(diǎn)到定點(diǎn)（心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑的長(zhǎng)r）；

（2）   到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在上.

定義2：是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

3、點(diǎn)和的位置關(guān)系

問(wèn)題三：點(diǎn)和的位置關(guān)系怎樣？（學(xué)生自主完成得出結(jié)論）

如果的半徑為r，點(diǎn)到心的距離為d，則：

點(diǎn)在上d=r；

點(diǎn)在內(nèi)d<r；

點(diǎn)在外d>r.

“數(shù)”“形”

二、 例題分析，變式練習(xí)

練習(xí)： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP=6cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________；當(dāng)OP=10cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________；當(dāng)OP=18cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O___________.

例1 求證：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為心的同一個(gè)上.

已知（略）

求證（略）

分析：四邊形ABCD是矩形

A=OC，OB=OD；AC=BD

OA=OC=OB=OD

要證A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心的上

證明：∵ 四邊形ABCD是矩形

∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心，OA為半徑的上.

符號(hào)的應(yīng)用（要求學(xué)生了解）

證明：四邊形ABCD是矩形

    OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心，OA為半徑的上.

小結(jié)：要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)上，可以證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等.

問(wèn)題拓展研究：我們所研究過(guò)的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點(diǎn)在同一個(gè)上.（讓學(xué)生探討）

練習(xí)1 求證：菱形各邊的中點(diǎn)在同一個(gè)上.

（目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）

練習(xí)2 設(shè)AB=3cm，畫(huà)圖說(shuō)明具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形.

(1)和點(diǎn)A的距離等于2cm的點(diǎn)的集合；

(2)和點(diǎn)B的距離等于2cm的點(diǎn)的集合；

(3)和點(diǎn)A，B的距離都等于2cm的點(diǎn)的集合；

(4)和點(diǎn)A，B的距離都小于2cm的點(diǎn)的集合；（A層自主完成）

三、 課堂小結(jié)

問(wèn)：這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)：

(1)主要學(xué)習(xí)了的兩種不同的定義方法與的三種位置關(guān)系；

(2)在用點(diǎn)的集合定義時(shí)，必須注意應(yīng)具備兩個(gè)條件，二者缺一不可；

(3)注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

四、作業(yè)  82頁(yè)2、3、4.

第二課時(shí)：（二）

教學(xué)目標(biāo) 

1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心、等、等孤的概念；初步會(huì)運(yùn)用這些概念判斷真假命題。

2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動(dòng)手實(shí)踐，總結(jié)出新概念的能力；進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)

生觀察、比較、分析、概括知識(shí)的能力。

3、通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦的全過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1、重點(diǎn)：理解的有關(guān)概念.

2、難點(diǎn)：對(duì)“等”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解.

3、疑點(diǎn)：學(xué)生容易把長(zhǎng)度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對(duì)話交流中排除疑難。

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì)：

（一）閱讀、理解

重點(diǎn)概念：

1、弦：連結(jié)上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

2、直徑：經(jīng)過(guò)心的弦是直徑.

3、�。荷先我鈨牲c(diǎn)間的部分叫做弧.簡(jiǎn)稱弧.

半�。旱娜我庖粭l直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分成兩條弧，每一條弧叫做半；

優(yōu)�。捍笥诎氲幕〗袃�(yōu)��；

劣弧：小于半的弧叫做劣弧.

4、弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.

5、同心：即心相同，半徑不相等的兩個(gè)叫做同心.

6、等：能夠重合的兩個(gè)叫做等.

7、等�。涸谕�或等中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

（二）小組交流、師生對(duì)話

問(wèn)題：

1、一個(gè)有多少條弦？最長(zhǎng)的弦是什么？

2、弧分為哪幾種？怎樣表示？

3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個(gè)中一條弦能得到幾個(gè)弓形？

4、在等、等弧中，“互相重合”是什么含義？

（通過(guò)問(wèn)題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對(duì)概念的理解，排除疑難）

（三）概念辨析：

判斷題目：

（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）

（3）半是�。� ） （4）弧是半（ ）

（5）長(zhǎng)度相等的兩段弧是等�。� ） （6）等弧的長(zhǎng)度相等（ ）

（7）兩個(gè)劣弧之和等于半（） （8）半徑相等的兩個(gè)半是等�。ǎ�

（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半；（3）同心、等指兩個(gè)圖形；（4）等、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用.）

（四）應(yīng)用、練習(xí)

例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫(xiě)出圖中的所有弧.

解：一共有6條弧. 、 、 、 、 、 .

（目的：讓學(xué)生會(huì)表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）

例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑.求證：AD∥BC.

（由學(xué)生分析，學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程，學(xué)生糾正存在問(wèn)題.鍛煉學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手實(shí)踐能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí).）

鞏固練習(xí)：

教材P₆₆練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成).

（五）小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：

1、本節(jié)所學(xué)似的知識(shí)點(diǎn)；

2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半；③同心、等指兩個(gè)圖形；④等和等弧.

3、弧的表示方法.

（六）作業(yè) 

教材P₆₆練習(xí)中3題，P₈₂習(xí)題l(3)、(4).

第三、四課時(shí) （三）——點(diǎn)的軌跡

教學(xué)目標(biāo) 

1、在了解用集合的觀點(diǎn)定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點(diǎn)的軌跡；

2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過(guò)渡；

3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，反過(guò)來(lái)又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)的軌跡的認(rèn)識(shí)。

2、難點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)的軌跡概念的認(rèn)識(shí)，因?yàn)檫@個(gè)概念比較抽象。

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)（在老師與學(xué)生的交流對(duì)話中完成教學(xué)目標(biāo) ）

（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

1、對(duì)的形成觀察——理解——引出軌跡的概念

（使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識(shí)到理性知識(shí)）

觀察：是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的的點(diǎn)的集合；（電腦動(dòng)畫(huà)）

理解：上的點(diǎn)具有兩個(gè)性質(zhì)：

 (1)上各點(diǎn)到定點(diǎn)(心O)的距離都等于定長(zhǎng)(半徑的長(zhǎng)r)；

(2)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的的點(diǎn)都在上；（結(jié)合下圖）

引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.（軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點(diǎn)，這里教師要精講，細(xì)講）

上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合.因此“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”是.

軌跡1：“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為心，定長(zhǎng)為半徑的”。（研究是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵）

（二）類比、研究1

（在老師指導(dǎo)下，通過(guò)電腦動(dòng)畫(huà)，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識(shí)）

軌跡2：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線；

（三）鞏固概念

練習(xí)：畫(huà)圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：

(1)到定點(diǎn)A的距離等于3cm的點(diǎn)的軌跡；

(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡；

(3)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B的O，心O的軌跡.

（A層學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，回答滿足這個(gè)條件的軌跡是什么?歸納出每一個(gè)題的點(diǎn)的軌跡屬于哪一個(gè)基本軌跡；B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成）

（四）類比、研究2

（這是第二次“類比”，目的：使學(xué)生的知識(shí)和能力螺旋上升.這次通過(guò)電腦動(dòng)畫(huà)，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力）

軌跡4：到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；

軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線.

（五）鞏固訓(xùn)練

練習(xí)題1：畫(huà)圖說(shuō)明滿足下面條件的點(diǎn)的軌跡： 

1.到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡；

2.已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點(diǎn)的軌跡.

（A層學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖探索；然后回答出點(diǎn)的軌跡是什么，對(duì)B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時(shí)教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生）

練習(xí)題2：判斷題

1、到一條直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的直線.( )

2、和點(diǎn)B的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡，是到點(diǎn)B的距離等于5cm的.( )

3、到兩條平行線的距離等于8cm的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線.( )

4、底邊為a的等腰三角形的頂點(diǎn)軌跡，是底邊a的垂直平分線.( )

(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語(yǔ)言表達(dá)的正確性.題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)

(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因?yàn)檫@部分知識(shí)屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對(duì)學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)

（六）理解、小結(jié)

（1）軌跡的定義兩層意思；

（2）常見(jiàn)的五種軌跡。

（七）作業(yè) 

教材P₈₂習(xí)題2、6.

探究活動(dòng)

愛(ài)爾特希問(wèn)題

在平面上有四個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點(diǎn)嗎?

分析與解：開(kāi)始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點(diǎn)來(lái)考慮.最容易想到的是，使一個(gè)點(diǎn)到另三個(gè)點(diǎn)等距離，換句話說(shuō)，以一個(gè)點(diǎn)為心，作一個(gè)，其他三個(gè)點(diǎn)在此上尋找，只要使這上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.

其次，取邊長(zhǎng)都相等的四邊形，即為菱形的四個(gè)頂點(diǎn)(見(jiàn)圖中第3個(gè)圖).

最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實(shí)際上，只要將任一周5等分，取其中任意四點(diǎn)即可(見(jiàn)圖中的第4個(gè)圖).

綜上所述，符合題意的四點(diǎn)有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其外接心(即外心)；②任意菱形的4個(gè)頂點(diǎn)；③任意正五邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn).

上述問(wèn)題是大數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希(P.Erdos)提出的：“在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形”中n＝4的情形.

當(dāng)n＝3、4、5、6時(shí)，愛(ài)爾特希問(wèn)題都有解.已經(jīng)證明，時(shí)，問(wèn)題無(wú)解.