圓
1、教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn):①點(diǎn)和的三種位置關(guān)系,的有關(guān)概念,因?yàn)樗鼈兪茄芯康幕A(chǔ);②五種常見(jiàn)的點(diǎn)的軌跡,一是對(duì)幾何圖形的深刻理解,二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.
難點(diǎn):① 的集合定義,學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個(gè)條件,內(nèi)容本身屬于難點(diǎn);②點(diǎn)的軌跡,由于學(xué)生形象思維較強(qiáng),抽象思維弱,而這部分知識(shí)比較抽象和難懂.
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要4課時(shí)
第一課時(shí):的定義和點(diǎn)和的位置關(guān)系
(1)讓學(xué)生自己畫(huà),自己給下定義,進(jìn)行交流,歸納、概括,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)的參與教學(xué)活動(dòng);對(duì)于高層次的學(xué)生可以直接通過(guò)點(diǎn)的集合來(lái)研究,給下定義(參看教案(一));
(2)點(diǎn)和的位置關(guān)系,讓學(xué)生自己觀察、分類、探究,在“數(shù)形”的過(guò)程中,學(xué)習(xí)新知識(shí).
第二課時(shí):的有關(guān)概念
(1)對(duì)(A)層學(xué)生放開(kāi)自學(xué),對(duì)(B)層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué),要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,特別是概念較多而沒(méi)有很多發(fā)揮的內(nèi)容,老師沒(méi)必要去講;
(2)課堂活動(dòng)要抓。河伞皵(shù)”想“形”,由“形”思“數(shù)”,的主線.
第三、四課時(shí):點(diǎn)的軌跡
條件較好的學(xué)校可以利用電腦動(dòng)畫(huà)來(lái)加深和幫助學(xué)生對(duì)點(diǎn)的軌跡的理解,一般學(xué)?勺寣W(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖,使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、觀察、思考、理解的過(guò)程中,逐步從形象思維較強(qiáng)向抽象思維過(guò)度.但我的觀點(diǎn)是不管怎樣組織教學(xué),都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.
第一課時(shí):(一)
教學(xué)目標(biāo) :
1、理解的描述性定義,了解用集合的觀點(diǎn)對(duì)的定義;
2、理解點(diǎn)和的位置關(guān)系和確定的條件;
3、培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力;
4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學(xué)思想方法.
教學(xué)重點(diǎn):點(diǎn)和的關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn) :以點(diǎn)的集合定義所具備的兩個(gè)條件
教學(xué)方法:自主探討式
教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì)(總框架):
一、 創(chuàng)設(shè)情境,開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)
1、讓學(xué)生畫(huà)、描述、交流,得出的第一定義:
定義1:在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做.固定的端點(diǎn)O叫做心,線段OA叫做半徑.記作⊙O,讀作“O”.
2、讓學(xué)生觀察、思考、交流,并在老師的指導(dǎo)下,得出的第二定義.
從舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題
觀察:
共性:這些點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等
想一想:在平面內(nèi)還有到O點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎?它們構(gòu)成什么圖形?
(1) 上各點(diǎn)到定點(diǎn)(心O)的距離都等于定長(zhǎng)(半徑的長(zhǎng)r);
(2) 到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在上.
定義2:是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
3、點(diǎn)和的位置關(guān)系
問(wèn)題三:點(diǎn)和的位置關(guān)系怎樣?(學(xué)生自主完成得出結(jié)論)
如果的半徑為r,點(diǎn)到心的距離為d,則:
點(diǎn)在上d=r;
點(diǎn)在內(nèi)d<r;
點(diǎn)在外d>r.
“數(shù)”“形”
二、 例題分析,變式練習(xí)
練習(xí): 已知⊙O的半徑為5cm,A為線段OP的中點(diǎn),當(dāng)OP=6cm時(shí),點(diǎn)A在⊙O________;當(dāng)OP=10cm時(shí),點(diǎn)A在⊙O________;當(dāng)OP=18cm時(shí),點(diǎn)A在⊙O___________.
例1 求證:矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為心的同一個(gè)上.
已知(略)
求證(略)
分析:四邊形ABCD是矩形
A=OC,OB=OD;AC=BD
OA=OC=OB=OD
要證A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心的上
證明:∵ 四邊形ABCD是矩形
∴ OA=OC,OB=OD;AC=BD
∴ OA=OC=OB=OD
∴ A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心,OA為半徑的上.
符號(hào)的應(yīng)用(要求學(xué)生了解)
證明:四邊形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為心,OA為半徑的上.
小結(jié):要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)上,可以證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等.
問(wèn)題拓展研究:我們所研究過(guò)的基本圖形中(平行四邊形,菱形,,正方形,等腰梯形)哪些圖形的頂點(diǎn)在同一個(gè)上.(讓學(xué)生探討)
練習(xí)1 求證:菱形各邊的中點(diǎn)在同一個(gè)上.
(目的:培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成)
練習(xí)2 設(shè)AB=3cm,畫(huà)圖說(shuō)明具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形.
(1)和點(diǎn)A的距離等于2cm的點(diǎn)的集合;
(2)和點(diǎn)B的距離等于2cm的點(diǎn)的集合;
(3)和點(diǎn)A,B的距離都等于2cm的點(diǎn)的集合;
(4)和點(diǎn)A,B的距離都小于2cm的點(diǎn)的集合;(A層自主完成)
三、 課堂小結(jié)
問(wèn):這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么?在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,強(qiáng)調(diào):
(1)主要學(xué)習(xí)了的兩種不同的定義方法與的三種位置關(guān)系;
(2)在用點(diǎn)的集合定義時(shí),必須注意應(yīng)具備兩個(gè)條件,二者缺一不可;
(3)注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
四、作業(yè) 82頁(yè)2、3、4. 第二課時(shí):(二) 教學(xué)目標(biāo) 1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心、等、等孤的概念;初步會(huì)運(yùn)用這些概念判斷真假命題。 2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動(dòng)手實(shí)踐,總結(jié)出新概念的能力;進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué) 生觀察、比較、分析、概括知識(shí)的能力。 3、通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦的全過(guò)程,調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性,使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí)。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn) 1、重點(diǎn):理解的有關(guān)概念. 2、難點(diǎn):對(duì)“等”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解. 3、疑點(diǎn):學(xué)生容易把長(zhǎng)度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對(duì)話交流中排除疑難。 教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì): (一)閱讀、理解 重點(diǎn)概念: 1、弦:連結(jié)上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦. 2、直徑:經(jīng)過(guò)心的弦是直徑. 3、。荷先我鈨牲c(diǎn)間的部分叫做弧.簡(jiǎn)稱弧. 半。旱娜我庖粭l直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分成兩條弧,每一條弧叫做半; 優(yōu)。捍笥诎氲幕〗袃(yōu); 劣弧:小于半的弧叫做劣弧. 4、弓形:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形. 5、同心:即心相同,半徑不相等的兩個(gè)叫做同心. 6、等:能夠重合的兩個(gè)叫做等. 7、等。涸谕虻戎,能夠互相重合的弧叫做等弧. (二)小組交流、師生對(duì)話 問(wèn)題: 1、一個(gè)有多少條弦?最長(zhǎng)的弦是什么? 2、弧分為哪幾種?怎樣表示? 3、弓形與弦有什么區(qū)別?在一個(gè)中一條弦能得到幾個(gè)弓形? 4、在等、等弧中,“互相重合”是什么含義? (通過(guò)問(wèn)題,使學(xué)生與學(xué)生,學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí),加深對(duì)概念的理解,排除疑難) (三)概念辨析: 判斷題目: (1)直徑是弦( ) (2)弦是直徑( ) (3)半是。 ) (4)弧是半( ) (5)長(zhǎng)度相等的兩段弧是等。 ) (6)等弧的長(zhǎng)度相等( ) (7)兩個(gè)劣弧之和等于半() (8)半徑相等的兩個(gè)半是等。ǎ (主要理解以下概念:(1)弦與直徑;(2)弧與半;(3)同心、等指兩個(gè)圖形;(4)等、等弧是互相重合得到,等弧的條件作用.) (四)應(yīng)用、練習(xí) 例1、已知:如圖,AB、CB為⊙O的兩條弦,試寫(xiě)出圖中的所有弧. 解:一共有6條弧. 、 、 、 、 、 . (目的:讓學(xué)生會(huì)表示弧,并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念) 例2、已知:如圖,在⊙O中,AB、CD為直徑.求證:AD∥BC. (由學(xué)生分析,學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程,學(xué)生糾正存在問(wèn)題.鍛煉學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手實(shí)踐能力,調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性,使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí).) 鞏固練習(xí): 教材P66練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成). (五)小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié): 1、本節(jié)所學(xué)似的知識(shí)點(diǎn); 2、概念理解:①弦與直徑;②弧與半;③同心、等指兩個(gè)圖形;④等和等弧. 3、弧的表示方法. (六)作業(yè) 教材P66練習(xí)中3題,P82習(xí)題l(3)、(4). 第三、四課時(shí) (三)——點(diǎn)的軌跡 教學(xué)目標(biāo) 1、在了解用集合的觀點(diǎn)定義的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點(diǎn)的軌跡; 2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過(guò)渡; 3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,反過(guò)來(lái)又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、重點(diǎn):對(duì)點(diǎn)的軌跡的認(rèn)識(shí)。 2、難點(diǎn):對(duì)點(diǎn)的軌跡概念的認(rèn)識(shí),因?yàn)檫@個(gè)概念比較抽象。 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)(在老師與學(xué)生的交流對(duì)話中完成教學(xué)目標(biāo) ) (一)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境 1、對(duì)的形成觀察——理解——引出軌跡的概念 (使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識(shí)到理性知識(shí)) 觀察:是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的的點(diǎn)的集合;(電腦動(dòng)畫(huà)) 理解:上的點(diǎn)具有兩個(gè)性質(zhì): (1)上各點(diǎn)到定點(diǎn)(心O)的距離都等于定長(zhǎng)(半徑的長(zhǎng)r); (2)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的的點(diǎn)都在上;(結(jié)合下圖) 引出軌跡的概念:我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)所組成的圖形,叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思:(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的,就是說(shuō),圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件;(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn),就是說(shuō),符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.(軌跡的概念非常抽象,是教學(xué)的難點(diǎn),這里教師要精講,細(xì)講) 上面左圖符合(1)但不符合(2);中圖不符合(1)但符合(2);只有右圖(1)(2)都符合.因此“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”是. 軌跡1:“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為心,定長(zhǎng)為半徑的”。(研究是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵) (二)類比、研究1 (在老師指導(dǎo)下,通過(guò)電腦動(dòng)畫(huà),學(xué)生歸納、整理、概括、遷移,獲得新知識(shí)) 軌跡2:和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這條線段的垂直平分線; 軌跡3:到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線; (三)鞏固概念 練習(xí):畫(huà)圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡: (1)到定點(diǎn)A的距離等于3cm的點(diǎn)的軌跡; (2)到∠AOC的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡; (3)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B的O,心O的軌跡. (A層學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖,回答滿足這個(gè)條件的軌跡是什么?歸納出每一個(gè)題的點(diǎn)的軌跡屬于哪一個(gè)基本軌跡;B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成) (四)類比、研究2 (這是第二次“類比”,目的:使學(xué)生的知識(shí)和能力螺旋上升.這次通過(guò)電腦動(dòng)畫(huà),使A層學(xué)生自己做,進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力) 軌跡4:到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的點(diǎn)的軌跡,是平行于這條直線,并且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線; 軌跡5:到兩條平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線. (五)鞏固訓(xùn)練 練習(xí)題1:畫(huà)圖說(shuō)明滿足下面條件的點(diǎn)的軌跡: 1.到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡; 2.已知直線AB∥CD,到AB、CD距離相等的點(diǎn)的軌跡. (A層學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖探索;然后回答出點(diǎn)的軌跡是什么,對(duì)B、C層學(xué)生回答有一定的困難,這時(shí)教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生) 練習(xí)題2:判斷題 1、到一條直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的直線.( ) 2、和點(diǎn)B的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡,是到點(diǎn)B的距離等于5cm的.( ) 3、到兩條平行線的距離等于8cm的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線.( ) 4、底邊為a的等腰三角形的頂點(diǎn)軌跡,是底邊a的垂直平分線.( ) (這組練習(xí)題的目的,訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語(yǔ)言表達(dá)的正確性.題目由學(xué)生自主完成、交流、反思) (教材的練習(xí)題、習(xí)題即可,因?yàn)檫@部分知識(shí)屬于選學(xué)內(nèi)容,而軌跡概念又比較抽象,不要對(duì)學(xué)生要求太高,了解就行、理解就高要求) (六)理解、小結(jié) (1)軌跡的定義兩層意思; (2)常見(jiàn)的五種軌跡。 (七)作業(yè) 教材P82習(xí)題2、6. 探究活動(dòng) 愛(ài)爾特希問(wèn)題 在平面上有四個(gè)點(diǎn),任意三點(diǎn)都可以構(gòu)成等腰三角形,你能找到這樣的四點(diǎn)嗎? 分析與解:開(kāi)始自然是嘗試、探索,主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點(diǎn)來(lái)考慮.最容易想到的是,使一個(gè)點(diǎn)到另三個(gè)點(diǎn)等距離,換句話說(shuō),以一個(gè)點(diǎn)為心,作一個(gè),其他三個(gè)點(diǎn)在此上尋找,只要使這上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形即可,于是得到如圖中的上面兩種形式. 其次,取邊長(zhǎng)都相等的四邊形,即為菱形的四個(gè)頂點(diǎn)(見(jiàn)圖中第3個(gè)圖). 最后,取梯形ABCD,其中AB=BC=CD,且AD=BD=AC,但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實(shí)際上,只要將任一周5等分,取其中任意四點(diǎn)即可(見(jiàn)圖中的第4個(gè)圖). 綜上所述,符合題意的四點(diǎn)有且僅有三種構(gòu)形:①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其外接心(即外心);②任意菱形的4個(gè)頂點(diǎn);③任意正五邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn). 上述問(wèn)題是大數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希(P.Erdos)提出的:“在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn),其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形”中n=4的情形. 當(dāng)n=3、4、5、6時(shí),愛(ài)爾特希問(wèn)題都有解.已經(jīng)證明,時(shí),問(wèn)題無(wú)解.