圓
1、教材分析
（1）知識結(jié)構(gòu)
（2）重點、難點分析
重點：①點和的三種位置關(guān)系，的有關(guān)概念，因為它們是研究的基礎(chǔ)；②五種常見的點的軌跡，一是對幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.
難點：① 的集合定義，學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個條件，內(nèi)容本身屬于難點；②點的軌跡，由于學(xué)生形象思維較強，抽象思維弱，而這部分知識比較抽象和難懂.
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要4課時
第一課時：的定義和點和的位置關(guān)系
（1）讓學(xué)生自己畫，自己給下定義，進(jìn)行交流，歸納、概括，調(diào)動學(xué)生積極主動的參與教學(xué)活動；對于高層次的學(xué)生可以直接通過點的集合來研究，給下定義（參看教案（一））；
（2）點和的位置關(guān)系，讓學(xué)生自己觀察、分類、探究，在“數(shù)形”的過程中，學(xué)習(xí)新知識.
第二課時：的有關(guān)概念
（1）對（A）層學(xué)生放開自學(xué)，對（B）層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué)，要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是概念較多而沒有很多發(fā)揮的內(nèi)容，老師沒必要去講；
（2）課堂活動要抓住：由“數(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”，的主線.
第三、四課時：點的軌跡
條件較好的學(xué)校可以利用電腦動畫來加深和幫助學(xué)生對點的軌跡的理解，一般學(xué)校可讓學(xué)生動手畫圖，使學(xué)生在動手、動腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強向抽象思維過度.但我的觀點是不管怎樣組織教學(xué)，都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.
第一課時：（一）
教學(xué)目標(biāo)：
1、理解的描述性定義，了解用集合的觀點對的定義；
2、理解點和的位置關(guān)系和確定的條件；
3、培養(yǎng)學(xué)生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)問題的能力；
4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學(xué)思想方法.
教學(xué)重點：點和的關(guān)系
教學(xué)難點：以點的集合定義所具備的兩個條件
教學(xué)方法：自主探討式
教學(xué)過程設(shè)計(總框架)：
一、 創(chuàng)設(shè)情境，開展學(xué)習(xí)活動
1、讓學(xué)生畫、描述、交流，得出的第一定義：
定義1：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做.固定的端點O叫做心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“O”.
2、讓學(xué)生觀察、思考、交流，并在老師的指導(dǎo)下，得出的第二定義.
從舊知識中發(fā)現(xiàn)新問題
觀察：
共性：這些點到O點的距離相等
想一想：在平面內(nèi)還有到O點的距離相等的點嗎？它們構(gòu)成什么圖形？
（1） 上各點到定點（心O）的距離都等于定長（半徑的長r）；
（2） 到定點距離等于定長的點都在上.
定義2：是到定點距離等于定長的點的集合.
3、點和的位置關(guān)系
問題三：點和的位置關(guān)系怎樣？（學(xué)生自主完成得出結(jié)論）
如果的半徑為r，點到心的距離為d，則：
點在上d=r；
點在內(nèi)d<r；
點在外d>r.
“數(shù)”“形”
二、 例題分析，變式練習(xí)
練習(xí)： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點，當(dāng)OP=6cm時，點A在⊙O________；當(dāng)OP=10cm時，點A在⊙O________；當(dāng)OP=18cm時，點A在⊙O___________.
例1 求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為心的同一個上.
已知（略）
求證（略）
分析：四邊形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BD
OA=OC=OB=OD
要證A、B、C、D 4個點在以O(shè)為心的上
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形
∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD
∴ OA=OC=OB=OD
∴ A、B、C、D 4個點在以O(shè)為心，OA為半徑的上.
符號的應(yīng)用（要求學(xué)生了解）
證明：四邊形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個點在以O(shè)為心，OA為半徑的上.
小結(jié)：要證幾個點在同一個上，可以證明這幾個點與一個定點的距離相等.
問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點在同一個上.（讓學(xué)生探討）
練習(xí)1 求證：菱形各邊的中點在同一個上.
（目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）
練習(xí)2 設(shè)AB=3cm，畫圖說明具有下列性質(zhì)的點的集合是怎樣的圖形.
(1)和點A的距離等于2cm的點的集合；
(2)和點B的距離等于2cm的點的集合；
(3)和點A，B的距離都等于2cm的點的集合；
(4)和點A，B的距離都小于2cm的點的集合；（A層自主完成）
三、 課堂小結(jié)
問：這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意哪些問題？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，強調(diào)：
(1)主要學(xué)習(xí)了的兩種不同的定義方法與的三種位置關(guān)系；
(2)在用點的集合定義時，必須注意應(yīng)具備兩個條件，二者缺一不可；
(3)注重對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
四、作業(yè) 82頁2、3、4.
第二課時：（二）
教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心、等、等孤的概念；初步會運用這些概念判斷真假命題。
2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動手實踐，總結(jié)出新概念的能力；進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)
生觀察、比較、分析、概括知識的能力。
3、通過動手、動腦的全過程，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識。
教學(xué)重點、難點和疑點
1、重點：理解的有關(guān)概念.
2、難點：對“等”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解.
3、疑點：學(xué)生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難。
教學(xué)過程設(shè)計：
（一）閱讀、理解
重點概念：
1、弦：連結(jié)上任意兩點的線段叫做弦.
2、直徑：經(jīng)過心的弦是直徑.
3、弧：上任意兩點間的部分叫做弧.簡稱弧.
半弧：的任意一條直徑的兩個端點分成兩條弧，每一條弧叫做半；
優(yōu)弧：大于半的弧叫優(yōu)弧；
劣弧：小于半的弧叫做劣弧.
4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.
5、同心：即心相同，半徑不相等的兩個叫做同心.
6、等：能夠重合的兩個叫做等.
7、等弧：在同或等中，能夠互相重合的弧叫做等弧.
（二）小組交流、師生對話
問題：
1、一個有多少條弦？最長的弦是什么？
2、弧分為哪幾種？怎樣表示？
3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個中一條弦能得到幾個弓形？
4、在等、等弧中，“互相重合”是什么含義？
（通過問題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對概念的理解，排除疑難）
（三）概念辨析：
判斷題目：
（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）
（3）半是弧（ ） （4）弧是半（ ）
（5）長度相等的兩段弧是等弧（ ） （6）等弧的長度相等（ ）
（7）兩個劣弧之和等于半（） （8）半徑相等的兩個半是等弧（）
（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半；（3）同心、等指兩個圖形；（4）等、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用.）
（四）應(yīng)用、練習(xí)
例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧.
解：一共有6條弧. 、 、 、 、 、 .
（目的：讓學(xué)生會表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）
例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑.求證：AD∥BC.
（由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題.鍛煉學(xué)生動口、動腦、動手實踐能力，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識.）
鞏固練習(xí)：
教材P66練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成).
（五）小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：
1、本節(jié)所學(xué)似的知識點；
2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半；③同心、等指兩個圖形；④等和等弧.
3、弧的表示方法.
（六）作業(yè)
教材P66練習(xí)中3題，P82習(xí)題l(3)、(4).
第三、四課時 （三）——點的軌跡
教學(xué)目標(biāo)
1、在了解用集合的觀點定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點的軌跡；
2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過渡；
3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來又作用于實踐的辯證唯物主義觀點的認(rèn)識。
重點、難點
1、重點：對點的軌跡的認(rèn)識。
2、難點：對點的軌跡概念的認(rèn)識，因為這個概念比較抽象。
教學(xué)活動設(shè)計（在老師與學(xué)生的交流對話中完成教學(xué)目標(biāo)）
（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境
1、對的形成觀察——理解——引出軌跡的概念
（使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識到理性知識）
觀察：是到定點的距離等于定長的的點的集合；（電腦動畫）
理解：上的點具有兩個性質(zhì)：
(1)上各點到定點(心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；
(2)到定點距離等于定長的的點都在上；（結(jié)合下圖）
引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.（軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點，這里教師要精講，細(xì)講）
上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合.因此“到定點距離等于定長的點的軌跡”是.
軌跡1：“到定點距離等于定長的點的軌跡，是以定點為心，定長為半徑的”。（研究是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵）
（二）類比、研究1
（在老師指導(dǎo)下，通過電腦動畫，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）
軌跡2：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；
軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線；
（三）鞏固概念
練習(xí)：畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：
(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；
(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點的軌跡；
(3)經(jīng)過已知點A、B的O，心O的軌跡.
（A層學(xué)生獨立畫圖，回答滿足這個條件的軌跡是什么?歸納出每一個題的點的軌跡屬于哪一個基本軌跡；B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成）
（四）類比、研究2
（這是第二次“類比”，目的：使學(xué)生的知識和能力螺旋上升.這次通過電腦動畫，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力）
軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；
軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線.
（五）鞏固訓(xùn)練
練習(xí)題1：畫圖說明滿足下面條件的點的軌跡：
1.到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；
2.已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡.
（A層學(xué)生獨立畫圖探索；然后回答出點的軌跡是什么，對B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生）
練習(xí)題2：判斷題
1、到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線.( )
2、和點B的距離等于5cm的點的軌跡，是到點B的距離等于5cm的.( )
3、到兩條平行線的距離等于8cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線.( )
4、底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線.( )
(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語言表達(dá)的正確性.題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)
(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因為這部分知識屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)
（六）理解、小結(jié)
（1）軌跡的定義兩層意思；
（2）常見的五種軌跡。
（七）作業(yè)
教材P82習(xí)題2、6.
探究活動
愛爾特希問題
在平面上有四個點，任意三點都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點嗎?
分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點來考慮.最容易想到的是，使一個點到另三個點等距離，換句話說，以一個點為心，作一個，其他三個點在此上尋找，只要使這上的三點構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.
其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).
最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實際上，只要將任一周5等分，取其中任意四點即可(見圖中的第4個圖).
綜上所述，符合題意的四點有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個頂點及其外接心(即外心)；②任意菱形的4個頂點；③任意正五邊形的其中4個頂點.
上述問題是大數(shù)學(xué)家愛爾特希(P.Erdos)提出的：“在平面內(nèi)有n個點，其中任意三點都能構(gòu)成等腰三角形”中n＝4的情形.
當(dāng)n＝3、4、5、6時，愛爾特希問題都有解.已經(jīng)證明，時，問題無解.