正切和余切
第一課時
一、教學目標
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數值說出這個角的度數，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神。
二、學法引導
1.教學方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、教學步驟
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規律？
5.我們已經掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數，本節課我們學習。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的學習或工作都十分重要，教材在繼第一節正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環，第二循環又包含了第一循環的內容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數的有關知識。
（三）教學過程
1.引入正切、余切概念
①本節課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區別開.
3.銳角三角函數
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數。
銳角三角函數概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節題目。
問：銳角三角函數能否為負數？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數。
①教師出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數形結合的數學思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據互為余角的正弦值與余弦值的關系，結合圖形，引導學生發現互為余角的正切值與余切值的關系。
結論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即 ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養學生運算能力。
（四）總結擴展
請學生小結：本節課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數形結合的數學思想.
結合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業
1.看教材P12～P14，培養學生看書習慣。
2.教材P16中習題6.2A組2、3、4、5、6.
七、板書設計
第二課時
一、教學目標
1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學，培養學生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養學生邏輯思維能力。
3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神及良好的學習習慣。
二、學法引導
1.教學方法：指導探索研究法。
2.學生學法：主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：用正、余切解直角三角形。
2.難點：靈活運用正切、余切。
3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現 之類的錯誤，教學中應引起重視，使學生熟能生巧。
4.解決辦法：通過教師精心引導，學生積極思維，主動研究發現，及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具準備
投影機（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、教學步驟
（一）明確目標
結合圖，說出什么是 的正切、余切？
請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.
2. 與 具有什么關系？
答： （或 或 ）.
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規律是什么？
通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統的認識，便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，教師在引導學生復習有關概念后，應出示練習題（投影片）.
1.在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
②若 ，則
2.比較大小：
① ②
③ ④
3.計算題：
① ；
② .
（二）整體感知
本課安排在本小節末，運用本小節的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
（三）教學過程
1.講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數字）.
這個題是本大節知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到教學目標要求有效途徑，教學中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優選出最佳方法，以培養學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發現，邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個關系式：（1） ，（2） .
請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數字的數，計算比較麻煩；而選用 ，由此得 .用 乘以含四位有效數字的數，計算相對方便.
解： ，
∴
解完例題之后，應引導學生小結：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉化”，其中“條件”是 與 互為倒數.認真分析和利用這種轉化，有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 .
（1）已知 ， ，求 和 .
（2）已知 ， ，求 和 .
（3）已知 ， ，求 .
（4）已知 ， ，求 .
（5）已知 ， ，求 .
（6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數字）.
教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養學生的思維能力.
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， .
3.對學有余力的學生，可引導其讀教材P15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數的學習打下基礎.教師板書
.
（四）總結、擴展
引導學生總結：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數關系.2.因為同一個角的可以互相轉化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業
1.看教材P1～P17，培養學生看書習慣。
2.教材P17習題A組7、8，學有余力的學生可選做B組題。
七、板書設計