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正切和余切

正切和余切

第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.使學(xué)生了解正切、余切的概念,能夠正確地用 、 表示直角三角形(其中一個(gè)銳角為 )中兩邊的比,了解 與 成倒數(shù)關(guān)系,熟記30°、45°、60°角的各個(gè)三角函數(shù)值,會(huì)計(jì)算含有這三個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值的式子,會(huì)由一個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角的度數(shù),了解一個(gè)銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關(guān)系。

2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神。

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法:運(yùn)用類比法指導(dǎo)學(xué)生探索研究新知。

2.學(xué)生學(xué)法:運(yùn)用類比法主動(dòng)探索研究新知。

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法

1.重點(diǎn):了解正切、余切的概念,熟記特殊角的正切值和余切值。

2.難點(diǎn):了解的概念。

3.疑點(diǎn):正切與余切概念的混淆.

4.解決辦法:通過類比引出概念和性質(zhì),再通過大量直接應(yīng)用,鞏固概念和性質(zhì)。

四、教具準(zhǔn)備

投影機(jī)、投影片(自制)、三角板

五、教學(xué)步驟 

(一)明確目標(biāo)

1.什么是銳角 的正弦、余弦?(結(jié)合下圖回答)。

2.填表

3.互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系?

4.當(dāng)角度在0°~90°變化時(shí),銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律?

5.我們已經(jīng)掌握一個(gè)銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對(duì)邊(鄰邊)與斜邊的比值,那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢?在銳角三角函數(shù)中,除正、余弦外,還有其他一些三角函數(shù),本節(jié)課我們學(xué)習(xí)

(二)整體感知

正切、余切的概念,也是本間的重點(diǎn)和關(guān)鍵,是全章知識(shí)的基礎(chǔ),對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)或工作都十分重要,教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切,像這樣,把概論、計(jì)算和應(yīng)用分成兩塊,每塊自與一個(gè)整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容,可以有效地克服難點(diǎn),同時(shí)也使學(xué)生通過對(duì)比,便于掌握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。

(三)教學(xué)過程 

1.引入正切、余切概念

①本節(jié)課我們研究?jī)芍苯沁叺谋戎蹬c銳角的關(guān)系,因此同學(xué)們首先應(yīng)思考:當(dāng)銳角固定時(shí),兩直角邊的比值是否也固定?

因?yàn)閷W(xué)生在研究過正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過這類問題,所以大部分學(xué)生能口述證明,并進(jìn)一步猜測(cè)“兩直角邊的比值一定是”。

②給出正切、余切概念。

如圖,在 中,把 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做 的正切,記作 。

即   

并把 的鄰邊與對(duì)邊的比叫做 的余切,記作 ,

                    即    

2. 與 的關(guān)系

請(qǐng)學(xué)生觀察 與 的表達(dá)式,得結(jié)論 (或 , )這個(gè)關(guān)系式既重要又易于掌握,必須讓學(xué)生深刻理解,并與 區(qū)別開.

3.銳角三角函數(shù)

由上圖, , , , ,把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。

銳角三角函數(shù)概念的給出,使學(xué)生茅塞頓開,初步理解本節(jié)題目。

問:銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)?

學(xué)生回答這個(gè)問題很容易。

4.特殊角的三角函數(shù)。

①教師出示幻燈片

請(qǐng)同學(xué)推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下圖)

.

通過學(xué)生計(jì)算完成表格的過程,不僅復(fù)習(xí)鞏固了正切、余切概念,而且使學(xué)生熟記特殊角的正切值與余切值,同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

0°,90°正切值與余切值可引導(dǎo)學(xué)生查“表”,學(xué)生完全能獨(dú)立查出。

5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系,結(jié)合圖形,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關(guān)系。

結(jié)論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

即   , .

練習(xí):1)請(qǐng)學(xué)生回答 與 的值各是多少? 與 ? 與 呢?學(xué)生口答之后,還可以為程度較高的學(xué)生設(shè)置問題: 與 有何關(guān)系?為什么? 與 呢?

2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。

6.例題

【例1】求下列各式的值:

(1) ;

(2) .

解:(1)

   

    ;

(2)

=2.

練習(xí)1.求下列各式的值:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

2.填空:

(1)

(2)若 ,則銳角

(3)若 ,則銳角

學(xué)生的計(jì)算能力可能不很強(qiáng),尤其是分式,二次根式的運(yùn)算,因此這里應(yīng)查缺補(bǔ)漏,以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力。

(四)總結(jié)擴(kuò)展

請(qǐng)學(xué)生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關(guān)系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

結(jié)合 及 ,可擴(kuò)展為 .

六、布置作業(yè) 

1.看教材P12~P14,培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。

2.教材P16中習(xí)題6.2A組2、3、4、5、6.

七、板書設(shè)計(jì) 

 
第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.鞏固正、余切概念,學(xué)會(huì)用正、余切來解決問題.

2.通過例題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力; 通過歸納、概括,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法:指導(dǎo)探索研究法。

2.學(xué)生學(xué)法:主動(dòng)探索研究法。

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法

1.重點(diǎn):用正、余切解直角三角形。

2.難點(diǎn):靈活運(yùn)用正切、余切。

3.疑點(diǎn):學(xué)生可能對(duì)正切、余切概念掌握不牢,導(dǎo)致出現(xiàn) 之類的錯(cuò)誤,教學(xué)中應(yīng)引起重視,使學(xué)生熟能生巧。

4.解決辦法:通過教師精心引導(dǎo),學(xué)生積極思維,主動(dòng)研究發(fā)現(xiàn),及練習(xí)鞏固解決重難點(diǎn)及疑點(diǎn)。

四、教具準(zhǔn)備

投影機(jī)(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板

五、教學(xué)步驟 

(一)明確目標(biāo)

結(jié)合圖,說出什么是 的正切、余切?

請(qǐng)班級(jí)里較差學(xué)生回答,以檢測(cè)其掌握情況.

2. 與 具有什么關(guān)系?

答: (或 或 ).

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?

答: ,

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?

答: ,

4.在0°~90°間,正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么?

通過以上四個(gè)問題,使學(xué)生對(duì)新學(xué)的知識(shí)有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí),便于應(yīng)用.

對(duì)概念的鞏固最好的途徑是配備練習(xí)題.因此,教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)概念后,應(yīng)出示練習(xí)題(投影片).

1.在 中, 為直角, 、 、 所對(duì)的邊分別為 。

①若 , ,則 , , ,

②若 ,則

2.比較大小:

①        ②

③        ④

3.計(jì)算題:

① ;

② .

(二)整體感知

本課安排在本小節(jié)末,運(yùn)用本小節(jié)的知識(shí)去解決一個(gè)簡(jiǎn)單問題,再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準(zhǔn)備.當(dāng)然,這個(gè)問題只用上一小節(jié)學(xué)過的正弦、余弦也可以解決,不過那樣做,就要先求出斜邊 ,解的過程要繁瑣一些。

(三)教學(xué)過程 

1.講授新課

【例】在 中, 為直角, 所對(duì)的邊分別是 ,已知 , ,求 (保留兩位有效數(shù)字).

這個(gè)題是本大節(jié)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查知識(shí)點(diǎn)面面俱到,是檢查全體學(xué)生是否全面達(dá)到教學(xué)目標(biāo) 要求有效途徑,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全體參與,積極地探求各種解法,然后加以比較,優(yōu)選出最佳方法,以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、深刻性,形成良好的思維品質(zhì)。

分析:本題已知 和 ,求 ,觀察圖不難發(fā)現(xiàn),邊 恰好是 的對(duì)邊與鄰邦邊,因此求 可選用以下兩個(gè)關(guān)系式:(1) ,(2) .

請(qǐng)學(xué)生比較一下,哪一個(gè)關(guān)系計(jì)算更簡(jiǎn)便呢?答:若選用 ,由此得 ,用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù),計(jì)算比較麻煩;而選用 ,由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù),計(jì)算相對(duì)方便.

解: ,

解完例題之后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生小結(jié):本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”,其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認(rèn)真分析和利用這種轉(zhuǎn)化,有時(shí)可使計(jì)算簡(jiǎn)便.

2.鞏固練習(xí)

本節(jié)課實(shí)際上是對(duì)前面課的綜合,通過對(duì)前面知識(shí)的綜合運(yùn)用,以培養(yǎng)學(xué)生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應(yīng)安排練習(xí)題如下:

在 中, 為直角, 、 、 所對(duì)的邊分別為 .

(1)已知 , ,求 和 .

(2)已知 , ,求 和 .

(3)已知 , ,求 .

(4)已知 , ,求 .

(5)已知 , ,求 .

(6)已知 , ,求 和 (保留兩位有效數(shù)字).

教法說明:給學(xué)生足夠的時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生討論、研究,篩選出最佳關(guān)系式使計(jì)算簡(jiǎn)便,既培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力,鞏固所學(xué)知識(shí),又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

[參考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .

3.對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,可引導(dǎo)其讀教材P15想一想.使學(xué)生對(duì)正弦、余弦間的關(guān)系,正切、余切間的關(guān)系以及弦、切間的關(guān)系有所了解,保證知識(shí)的完整性,為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教師板書

.

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):1.要認(rèn)真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關(guān)系.2.因?yàn)橥粋(gè)角的可以互相轉(zhuǎn)化,所以在選用關(guān)系時(shí)晝選擇乘法使計(jì)算較簡(jiǎn)便.

六、布置作業(yè) 

1.看教材P1~P17,培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。

2.教材P17習(xí)題A組7、8,學(xué)有余力的學(xué)生可選做B組題。

七、板書設(shè)計(jì) 

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