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正弦和余弦

正弦和余弦

教學建議

1.知識結構:本小節主要學習正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一個銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關系,以及應用上述知識解決一些簡單問題(包括引言中的問題)等.

2.重點、難點分析

(1) 正弦、余弦函數的定義是本節的重點,因為它是全章乃至整個三角學的預備知識.有了正弦、余弦函數的定義,再學習正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數便都有了基礎.

(2) 正弦、余弦的概念隱含著角度與數值之間有一一對應關系的函數思想,并且用含有幾個字母的符號組sinA,cosA來表示,學生過去未接觸過,所以正弦、余弦的概念是難點.

3.理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函數的核心.

銳角的正弦、余弦值是這樣規定的:當一個銳角確定了,那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個,但它們都是彼此相似的.如上圖,當 確定時,包含 的直角三角形有無窮多個,但它們彼此相似:

∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的對應邊成比例,所以這些三角形的對應邊的比都是相等的.

這就是說,每當一個銳角確定了,包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了,它們有確定不變的對應關系.為了簡單地表達這些對應關系,我們引入了正(余)弦的說法,創造了sin 和cos這樣的符號.

應當注意:單獨寫出三角函數的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義;另一方面,這些符號和角寫在一起時(如 ),它表示的就不再是角,而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了(如 ).真正理解并掌握這些,才真正掌握了這些符號的含義,才能正確地運用它們.

4. 我們應當學會認識任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.

我們不僅應當熟練掌握如圖那樣的標準位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式,而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如, 如圖所示,若 ,則有

有的直角三角形隱藏在更復雜的圖形中,我們也應能正確地寫出所需要的三角函數表達式,如圖中,ABCD是梯形, ,作 , 我們應正確地寫出如下的三角函數關系式:

很顯然,這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數量關系.

5.特殊角的正弦、余弦值既容易導出,也便于記憶,應當熟悉掌握它們.

利用勾股定理,很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比;如圖(1)和圖(2)所示.

根據定義,有

另一方面,可以想像,當 時,邊 與AC重合(即 ),所以

當 時,邊AB與CB重合(即AB=CB),AC的長縮小為0,于是,有

把以上結果可以集中列出下面的表:

 

0

1

1

0

6.教法建議:

(1)聯系實際,提出問題

通過修建揚水站時,要沿斜坡鋪設水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題,第一步把這問題歸結于直角三角形中,第二步,再把這個問題歸于直角三角形中,已知一個銳角和斜邊的長,求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題.同時指出在這種情況下,用已學過的勾股定理是解決不了的.激發學生的學習興趣,調動學生探索新途徑,迫切需要學習新知識的積極性.在這章的第一節課,應抓住這個具有教育性,富于啟發性的有利開端,為引進本章的重要內容:銳角三角函數作了十分必要的準備.

(2) 動手度量、總結規律、給出定義以含 的三角板為例讓學生對大小不同的三角板進行度量,并引導學生得出規律: ,再進一步對含 的三角板進行度量,在探索同樣的內容時,要用到勾股定理,又類似地得到,所有的這種等腰直角三角形中,都會得到 ,這時,應當即給出 的正弦的定義及符號,即 ,再對照圖形,分別用a、b、c表示 、 、 的對邊,得出 及 , 就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數的第一個定義,應充分利用課本中這種簡練的處理手段,使學生建立起銳角三角函數的概念.

(3)加強數形結合思想的教學

“解直角三角形”編在幾何教材中,突出了它的幾何特點,但這只是從知識的系統性方面講的,使它與幾何前后知識可關系更緊密,便于學生理解和掌握,并沒有改變它形數結合的本質,因此教學中要充分利用這部分教材,幫助學生掌握用代數方法解決幾何問題的方法,提高在幾何問題中注意運用代數知識的能力.

第一課時

一、教學目標 

1. 使學生知道當直角三角形的銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實。

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。

3.引導學生探索、發現,以培養學生獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣。

二、學法引導

1.教學方法:引導發現和探索研究相結合,嘗試成功教法。

2.學生學法:在教師的指導下,積極思維,相互討論,動手感知,探索新知。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:使學生知道當銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實。

2.難點:學生很難想到對任意銳角,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實,關鍵在于教師引導學生比較、分析,得出結論。

3.疑點:無論直角三角形的銳角為何值,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。

4.解決辦法:教師引導學生比較、分析、討論,解決重難點和疑點。

四、教具準備

自制投影片,一副三角板

五、教學步驟 

(一)明確目標

1.如圖,長5米的梯子架在高為3米的墻上,則 、 間距離為多少米?

2.長5米的梯子以傾斜角 為30°靠在墻上,則 、 間的距離為多少?

3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上,則 、 間距離為多少?

4.若長5米的梯子靠在墻上,使 、 間距離為2米,則傾斜角為多少度?

前兩個問題學生很容易回答,這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶,并使學生意識到,本章要用到這些知識,但后兩個問題的設計卻使學生感到疑惑,這對初三年級這些好奇、好勝的學生來說,起到激起學生的學習興趣的作用,同時使學生對本章所要學習的內容的特點有一個初步的了解,有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的,解決這類問題,關鍵在于找到一種新方法,求出一條邊或一個未知銳角,只要做到這一點,有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來。

通過四個例子引出課題。

(二)整體感知

1.請每一位同學拿出自己的三角板,分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值。

學生很快便會回答結果:無論三角尺大小如何,其比值是一個固定的值,程度較好的學生還會想到,以后在這些特殊直角三角形中,只要知道其中一邊長,就可求出其他未知邊的長。

2.請同學畫一個含40°角的直角三角形,并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值,學生又高興地發現,不論三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分學生可能會想到,當銳角取其他固定值時,其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎?

這樣做,在培養學生動手能力的同時,也使學生對本節課要研究的知識有了整體感知,喚起學生的求知欲,大膽地探索新知。

(三)教學過程 

1.通過動手實驗,學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”,但是怎樣證明這個命題呢?學生這時的思維很活躍,對于這個問題,部分學生可能能解決它,因此教師此時應讓學生展開討論,獨立完成。

2.學生經過研究,也許能解決這個問題.若不能解決,教師可適當引導:

若一組直角三角形有一個銳角相等,可以把其頂點 , , 重合在一起,記作 ,并使直角邊 , , ……落在同一條直線上,則斜邊 , , ……落在另一條直線上,這樣同學們能解決這個問題嗎?引導學生獨立證明:易知, ……,∴ ∽ ∽ ∽……,∴ , ,因此,在這些直角三角形中, 的對邊、鄰邊與斜邊的比值,是一個固定值。

通過引導,使學生自己獨立掌握了重點,達到知識教學目標 ,同時培養學生能力,進行了德育滲透。

而前面導課中動手實驗的設計,實際上為突破難點而設計。這一設計同時起到培養學生思維能力的作用。

3.練習:教科書P3練習。此題為 作了孕伏,同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來。

(四)總結、擴展

1.引導學生作知識總結:本節課在復習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上,通過動手實驗、證明,我們發現,只要直角三角形的銳角固定,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。

教師可適當補充:本節課經過同學們自己動手實驗,大膽猜測和積極思考,我們發現了一個新的結論,相信大家的邏輯思維能力又有所提高,希望大家發揚這種創新精神,變被動學知識為主動發現問題,培養自己的創新意識。

2.擴展:當銳角為30°時,它的對邊與斜邊比值我們知道,今天我們又發現,銳角任意時,它的對邊與斜邊的比值也是固定的,如果知道這個比值,已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了,看來這個比值很重要,下節課我們就著重研究這個“比值”,有興趣的同學可以提前預習一下,通過這種擴展,不僅對下、余弦概念有了初步印象,同時又激發了學生的興趣。

六、布置作業 

本節課內容較少,而且是為正、余弦概念打基礎的,因此課后應要求學生預習正余弦概念。

七、板書設計 

 
第二課時

一、教學目標 

1.使學生初步了解正弦、余弦概念;能夠較正確地用 、 表示直角三角形中兩邊的比;熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根據這些值說出對應的銳角度數.

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

3.滲透教學內容中普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點.

二、學法引導

1.教學方法:指導發現探索法.

2.學生學法:自主、合作、探究式學習.

三、重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點:使學生了解正弦、余弦概念.

2.教學難點 :用含有幾個字母的符號組 、 表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.

3.疑點:銳角的正弦、余弦值的范圍.

4.解決辦法:通過舊知創設情境,采用從特殊到一般的方法,引導學生進行探究式學習,從而解決重難點及疑點.

四、教具準備

三角板一副

五、教學步驟 

(一)明確目標

1.引導學生回憶“直角三角形銳角固定時,它的對與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”

2.明確目標:這節課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值—.

(二)整體感知

當直角三角形有一銳角為30°時,它的對邊與斜邊的比值為 ,只要知道三角形任一邊長,其他兩邊就可知.

而上節課我們發現,只要直角三角形的銳角固定,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定,這樣只要能求出這個比值,那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比,學生自然產生想學習的欲望,產生濃厚的學習興趣,同時對以下要研究的內容有了大體印象.

(三)教學過程 

正弦、余弦的要領是全章知識的基礎,對學生今后的學習與工作都十分重要,因此確定它為本課重點,同時正、余弦概念隱含角度與數之間具有一一對應的函數思想,又用含幾個字母的符號組來表示,因此概念也是難點.

在上節課研究的基礎上,引入正、余弦,“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖

請學生結合圖形敘述正弦、余弦定義,以培養學生概括能力及語言表達能力,教師板書:在 中, 為直角,我們把銳角 的對邊與余邊的比叫做 的正弦,記作 ,銳角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦,記作 .

.

若把 的對邊 記作 ,鄰邊 記作 ,斜邊 記作 ,則 , .

引導學生思考:當 為銳角時, 、 的值會在什么范圍內?得結論 , ( 為銳角),這個問題對于較差學生來說有些難度,應給學生充分思考時間,同時這個問題也使學生將數與形結合起來.

教材例1的設置是為了鞏固正弦概念,通過教師示范,使學生會求正弦,這里不妨增問“ 、 ”,經過反復強化,使全體學生都達到目標,更加突出重點.

【例1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值.

解:(1)∵斜邊 ,

∴ , .

, .

(2) , .

∴ , .

學生練習教材P6~7中1、2、3題.

讓每個學生畫含30°、45°的直角三角形,分別求 、 、 和 、 、 .這一練習既用到以前的知識,又鞏固正弦、余弦的概念,經過學習親自動筆計算后,對特殊角三角函數值印象很深刻.

, , .

, , .

【例2】求下列各式的值:

(1) ;(2) .

解:(1) .

(2) .

這了使學生熟練掌握特殊角三角函數值,這里還應安排六個小題:

(1) ;(2) ;

(3) ;(4) .

(5)若 ,則銳角 .

(6)若 ,則銳角 .

在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數值后,引導學生思考,“請大家觀察特殊角的值,猜測一下, 大概在什么范圍內, 呢?”這樣的引導不僅培養學生的觀察力、注意力,而且培養學生勇于思考、大膽創新的精神,還可以進一步請成績較好的同學用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小”.

(四)總結、擴展

首先請學生作小結,教師適當補充,“主要研究了銳角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值,知道任意銳角A的正、余弦值都在0~1之間,即

, ( 為銳角).

還發現 的兩銳角 、 , , ,正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小”.

六、布置作業 

教材P10中2,3.

預習下一課內容.

補充:(1)若 ,則銳角 .

(2)若 ,則銳角 .

七、板書設計 

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