正弦和余弦

教學建議

1.知識結構：本小節主要學習正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關系，以及應用上述知識解決一些簡單問題（包括引言中的問題）等.

2.重點、難點分析

（1） 正弦、余弦函數的定義是本節的重點，因為它是全章乃至整個三角學的預備知識.有了正弦、余弦函數的定義，再學習正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數便都有了基礎.

（2） 正弦、余弦的概念隱含著角度與數值之間有一一對應關系的函數思想，并且用含有幾個字母的符號組sinA，cosA來表示，學生過去未接觸過，所以正弦、余弦的概念是難點.

3.理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函數的核心.

銳角的正弦、余弦值是這樣規定的：當一個銳角確定了，那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個，但它們都是彼此相似的.如上圖，當 確定時，包含 的直角三角形有無窮多個，但它們彼此相似：

∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的對應邊成比例，所以這些三角形的對應邊的比都是相等的.

這就是說，每當一個銳角確定了，包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對應關系.為了簡單地表達這些對應關系，我們引入了正（余）弦的說法，創造了sin 和cos這樣的符號.

應當注意：單獨寫出三角函數的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義；另一方面，這些符號和角寫在一起時（如 ），它表示的就不再是角，而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了（如 ）.真正理解并掌握這些，才真正掌握了這些符號的含義，才能正確地運用它們.

4. 我們應當學會認識任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.

我們不僅應當熟練掌握如圖那樣的標準位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式，而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如， 如圖所示，若 ，則有

有的直角三角形隱藏在更復雜的圖形中，我們也應能正確地寫出所需要的三角函數表達式，如圖中，ABCD是梯形， ，作 ， 我們應正確地寫出如下的三角函數關系式：

很顯然，這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數量關系.

5.特殊角的正弦、余弦值既容易導出，也便于記憶，應當熟悉掌握它們.

利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比；如圖（1）和圖（2）所示.

根據定義，有

另一方面，可以想像，當 時，邊 與AC重合（即 ），所以

當 時，邊AB與CB重合（即AB=CB），AC的長縮小為0，于是，有

把以上結果可以集中列出下面的表：

6.教法建議：

（1）聯系實際，提出問題

通過修建揚水站時，要沿斜坡鋪設水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題，第一步把這問題歸結于直角三角形中，第二步，再把這個問題歸于直角三角形中，已知一個銳角和斜邊的長，求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題.同時指出在這種情況下，用已學過的勾股定理是解決不了的.激發學生的學習興趣，調動學生探索新途徑，迫切需要學習新知識的積極性.在這章的第一節課，應抓住這個具有教育性，富于啟發性的有利開端，為引進本章的重要內容：銳角三角函數作了十分必要的準備.

(2) 動手度量、總結規律、給出定義以含 的三角板為例讓學生對大小不同的三角板進行度量，并引導學生得出規律： ，再進一步對含 的三角板進行度量，在探索同樣的內容時，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會得到 ,這時，應當即給出 的正弦的定義及符號，即 ，再對照圖形，分別用a、b、c表示 、 、 的對邊，得出 及 ， 就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數的第一個定義，應充分利用課本中這種簡練的處理手段，使學生建立起銳角三角函數的概念.

(3)加強數形結合思想的教學

“解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾何特點，但這只是從知識的系統性方面講的，使它與幾何前后知識可關系更緊密，便于學生理解和掌握，并沒有改變它形數結合的本質，因此教學中要充分利用這部分教材，幫助學生掌握用代數方法解決幾何問題的方法，提高在幾何問題中注意運用代數知識的能力.

第一課時

一、教學目標 

1. 使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實。

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。

3.引導學生探索、發現，以培養學生獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣。

二、學法引導

1.教學方法：引導發現和探索研究相結合，嘗試成功教法。

2.學生學法：在教師的指導下，積極思維，相互討論，動手感知，探索新知。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點：使學生知道當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實。

2.難點：學生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實，關鍵在于教師引導學生比較、分析，得出結論。

3.疑點：無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。

4.解決辦法：教師引導學生比較、分析、討論，解決重難點和疑點。

四、教具準備

自制投影片，一副三角板

五、教學步驟 

（一）明確目標

1.如圖，長5米的梯子架在高為3米的墻上，則 、 間距離為多少米？

2.長5米的梯子以傾斜角 為30°靠在墻上，則 、 間的距離為多少？

3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則 、 間距離為多少？

4.若長5米的梯子靠在墻上，使 、 間距離為2米，則傾斜角為多少度？

前兩個問題學生很容易回答，這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶，并使學生意識到，本章要用到這些知識，但后兩個問題的設計卻使學生感到疑惑，這對初三年級這些好奇、好勝的學生來說，起到激起學生的學習興趣的作用，同時使學生對本章所要學習的內容的特點有一個初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的，解決這類問題，關鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個未知銳角，只要做到這一點，有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來。

通過四個例子引出課題。

（二）整體感知

1.請每一位同學拿出自己的三角板，分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值。

學生很快便會回答結果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的值，程度較好的學生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可求出其他未知邊的長。

2.請同學畫一個含40°角的直角三角形，并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值，學生又高興地發現，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分學生可能會想到，當銳角取其他固定值時，其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？

這樣做，在培養學生動手能力的同時，也使學生對本節課要研究的知識有了整體感知，喚起學生的求知欲，大膽地探索新知。

（三）教學過程 

1.通過動手實驗，學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”，但是怎樣證明這個命題呢？學生這時的思維很活躍，對于這個問題，部分學生可能能解決它，因此教師此時應讓學生展開討論，獨立完成。

2.學生經過研究，也許能解決這個問題.若不能解決，教師可適當引導：

若一組直角三角形有一個銳角相等，可以把其頂點 ， ， 重合在一起，記作 ，并使直角邊 ， ， ……落在同一條直線上，則斜邊 ， ， ……落在另一條直線上，這樣同學們能解決這個問題嗎？引導學生獨立證明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在這些直角三角形中， 的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個固定值。

通過引導，使學生自己獨立掌握了重點，達到知識教學目標 ，同時培養學生能力，進行了德育滲透。

而前面導課中動手實驗的設計，實際上為突破難點而設計。這一設計同時起到培養學生思維能力的作用。

3.練習：教科書P3練習。此題為 作了孕伏，同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來。

（四）總結、擴展

1.引導學生作知識總結：本節課在復習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上，通過動手實驗、證明，我們發現，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。

教師可適當補充：本節課經過同學們自己動手實驗，大膽猜測和積極思考，我們發現了一個新的結論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發揚這種創新精神，變被動學知識為主動發現問題，培養自己的創新意識。

2.擴展：當銳角為30°時，它的對邊與斜邊比值我們知道，今天我們又發現，銳角任意時，它的對邊與斜邊的比值也是固定的，如果知道這個比值，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了，看來這個比值很重要，下節課我們就著重研究這個“比值”，有興趣的同學可以提前預習一下，通過這種擴展，不僅對下、余弦概念有了初步印象，同時又激發了學生的興趣。

六、布置作業 

本節課內容較少，而且是為正、余弦概念打基礎的，因此課后應要求學生預習正余弦概念。

七、板書設計 

 
第二課時

一、教學目標 

1.使學生初步了解正弦、余弦概念；能夠較正確地用 、 表示直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根據這些值說出對應的銳角度數.

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

3.滲透教學內容中普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點.

二、學法引導

1.教學方法：指導發現探索法.

2.學生學法：自主、合作、探究式學習.

三、重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點：使學生了解正弦、余弦概念.

2.教學難點 ：用含有幾個字母的符號組 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.

3.疑點：銳角的正弦、余弦值的范圍.

4.解決辦法：通過舊知創設情境，采用從特殊到一般的方法，引導學生進行探究式學習，從而解決重難點及疑點.

四、教具準備

三角板一副

五、教學步驟 

（一）明確目標

1.引導學生回憶“直角三角形銳角固定時，它的對與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”

2.明確目標：這節課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值—.

（二）整體感知

當直角三角形有一銳角為30°時，它的對邊與斜邊的比值為 ，只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知.

而上節課我們發現，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定，這樣只要能求出這個比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學生自然產生想學習的欲望，產生濃厚的學習興趣，同時對以下要研究的內容有了大體印象.

（三）教學過程 

正弦、余弦的要領是全章知識的基礎，對學生今后的學習與工作都十分重要，因此確定它為本課重點，同時正、余弦概念隱含角度與數之間具有一一對應的函數思想，又用含幾個字母的符號組來表示，因此概念也是難點.

在上節課研究的基礎上，引入正、余弦，“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖

請學生結合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養學生概括能力及語言表達能力，教師板書：在 中， 為直角，我們把銳角 的對邊與余邊的比叫做 的正弦，記作 ，銳角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦，記作 .

.

若把 的對邊 記作 ，鄰邊 記作 ，斜邊 記作 ，則 ， .

引導學生思考：當 為銳角時， 、 的值會在什么范圍內？得結論 ， （ 為銳角），這個問題對于較差學生來說有些難度，應給學生充分思考時間，同時這個問題也使學生將數與形結合起來.

教材例1的設置是為了鞏固正弦概念，通過教師示范，使學生會求正弦，這里不妨增問“ 、 ”，經過反復強化，使全體學生都達到目標，更加突出重點.

【例1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值.

解：（1）∵斜邊 ，

∴ ， .

， .

（2） ， .

，

∴ ， .

學生練習教材P6～7中1、2、3題.

讓每個學生畫含30°、45°的直角三角形，分別求 、 、 和 、 、 .這一練習既用到以前的知識，又鞏固正弦、余弦的概念，經過學習親自動筆計算后，對特殊角三角函數值印象很深刻.

， ， .

， ， .

【例2】求下列各式的值：

（1） ；（2） .

解：（1） .

（2） .

這了使學生熟練掌握特殊角三角函數值，這里還應安排六個小題：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） .

（5）若 ，則銳角 .

（6）若 ，則銳角 .

在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數值后，引導學生思考，“請大家觀察特殊角的值，猜測一下， 大概在什么范圍內， 呢？”這樣的引導不僅培養學生的觀察力、注意力，而且培養學生勇于思考、大膽創新的精神，還可以進一步請成績較好的同學用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

（四）總結、擴展

首先請學生作小結，教師適當補充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值，知道任意銳角A的正、余弦值都在0～1之間，即

， （ 為銳角）.

還發現 的兩銳角 、 ， ， ，正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

六、布置作業 

教材P10中2，3.

預習下一課內容.

補充：（1）若 ，則銳角 .

（2）若 ，則銳角 .

七、板書設計