正弦和余弦

教學建議
    1.知識結構:本小節主要學習正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一個銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關系,以及應用上述知識解決一些簡單問題(包括引言中的問題)等.
    2.重點、難點分析
    (1) 正弦、余弦函數的定義是本節的重點,因為它是全章乃至整個三角學的預備知識.有了正弦、余弦函數的定義,再學習正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數便都有了基礎.
    (2) 正弦、余弦的概念隱含著角度與數值之間有一一對應關系的函數思想,并且用含有幾個字母的符號組sina,cosa來表示,學生過去未接觸過,所以正弦、余弦的概念是難點.
    3.理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函數的核心.
    銳角的正弦、余弦值是這樣規定的:當一個銳角確定了,那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個,但它們都是彼此相似的.如上圖,當 確定時,包含 的直角三角形有無窮多個,但它們彼此相似:
    ∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的對應邊成比例,所以這些三角形的對應邊的比都是相等的.
    這就是說,每當一個銳角確定了,包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了,它們有確定不變的對應關系.為了簡單地表達這些對應關系,我們引入了正(余)弦的說法,創造了sin 和cos這樣的符號.
    應當注重:單獨寫出三角函數的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義;另一方面,這些符號和角寫在一起時(如 ),它表示的就不再是角,而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了(如 ).真正理解并把握這些,才真正把握了這些符號的含義,才能正確地運用它們.
    4. 我們應當學會熟悉任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.
    我們不僅應當熟練把握如圖那樣的標準位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式,而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如, 如圖所示,若 ,則有
    有的直角三角形隱藏在更復雜的圖形中,我們也應能正確地寫出所需要的三角函數表達式,如圖中,abcd是梯形, ,作 , 我們應正確地寫出如下的三角函數關系式:
    很顯然,這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數量關系.
    5.非凡角的正弦、余弦值既輕易導出,也便于記憶,應當熟悉把握它們.
    利用勾股定理,很輕易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比;如圖(1)和圖(2)所示.
    根據定義,有
    另一方面,可以想像,當 時,邊 與ac重合(即 ),所以
    當 時,邊ab與cb重合(即ab=cb),ac的長縮小為0,于是,有
    把以上結果可以集中列出下面的表:
    0
    1
    1
    0
    6.教法建議:
    (1)聯系實際,提出問題
    通過修建揚水站時,要沿斜坡鋪設水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題,第一步把這問題歸結于直角三角形中,第二步,再把這個問題歸于直角三角形中,已知一個銳角和斜邊的長,求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題.同時指出在這種情況下,用已學過的勾股定理是解決不了的.激發學生的學習愛好,調動學生探索新途徑,迫切需要學習新知識的積極性.在這章的第一節課,應抓住這個具有教育性,富于啟發性的有利開端,為引進本章的重要內容:銳角三角函數作了十分必要的預備.