正弦和余弦

教學建議

1.知識結構：本小節主要學習正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關系，以及應用上述知識解決一些簡單問題（包括引言中的問題）等.

2.重點、難點分析

（1） 正弦、余弦函數的定義是本節的重點，因為它是全章乃至整個三角學的預備知識.有了正弦、余弦函數的定義，再學習正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數便都有了基礎.

（2） 正弦、余弦的概念隱含著角度與數值之間有一一對應關系的函數思想，并且用含有幾個字母的符號組sinA，cosA來表示，學生過去未接觸過，所以正弦、余弦的概念是難點.

3.理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函數的核心.

銳角的正弦、余弦值是這樣規定的：當一個銳角確定了，那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個，但它們都是彼此相似的.如上圖，當 確定時，包含 的直角三角形有無窮多個，但它們彼此相似：

∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的對應邊成比例，所以這些三角形的對應邊的比都是相等的.

這就是說，每當一個銳角確定了，包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對應關系.為了簡單地表達這些對應關系，我們引入了正（余）弦的說法，創造了sin 和cos這樣的符號.

應當注意：單獨寫出三角函數的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義；另一方面，這些符號和角寫在一起時（如 ），它表示的就不再是角，而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了（如 ）.真正理解并掌握這些，才真正掌握了這些符號的含義，才能正確地運用它們.

4. 我們應當學會認識任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.

我們不僅應當熟練掌握如圖那樣的標準位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式，而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如， 如圖所示，若 ，則有

有的直角三角形隱藏在更復雜的圖形中，我們也應能正確地寫出所需要的三角函數表達式，如圖中，ABCD是梯形， ，作 ， 我們應正確地寫出如下的三角函數關系式：

很顯然，這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數量關系.

5.特殊角的正弦、余弦值既容易導出，也便于記憶，應當熟悉掌握它們.

利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比；如圖（1）和圖（2）所示.

根據定義，有

另一方面，可以想像，當 時，邊 與AC重合（即 ），所以

當 時，邊AB與CB重合（即AB=CB），AC的長縮小為0，于是，有

把以上結果可以集中列出下面的表：

6.教法建議：

（1）聯系實際，提出問題

通過修建揚水站時，要沿斜坡鋪設水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題，第一步把這問題歸結于直角三角形中，第二步，再把這個問題歸于直角三角形中，已知一個銳角和斜邊的長，求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題.同時指出在這種情況下，用已學過的勾股定理是解決不了的.激發學生的學習興趣，調動學生探索新途徑，迫切需要學習新知識的積極性.在這章的第一節課，應抓住這個具有教育性，富于啟發性的有利開端，為引進本章的重要內容：銳角三角函數作了十分必要的準備.

(2) 動手度量、總結規律、給出定義以含 的三角板為例讓學生對大小不同的三角板進行度量，并引導學生得出規律： ，再進一步對含 的三角板進行度量，在探索同樣的內容時，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會得到 ,這時，應當即給出 的正弦的定義及符號，即 ，再對照圖形，分別用a、b、c表示 、 、 的對邊，得出 及 ， 就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數的第一個定義，應充分利用課本中這種簡練的處理手段，使學生建立起銳角三角函數的概念.

(3)加強數形結合思想的教學

“解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾何特點，但這只是從知識的系統性方面講的，使它與幾何前后知識可關系更緊密，便于學生理解和掌握，并沒有改變它形數結合的本質，因此教學中要充分利用這部分教材，幫助學生掌握用代數方法解決幾何問題的方法，提高在幾何問題中注意運用代數知識的能力.
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