數(shù)學(xué)教案－圓

1、教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）重點、難點分析

重點：①點和圓的三種位置關(guān)系，圓的有關(guān)概念，因為它們是研究圓的基礎(chǔ)；②五種常見的點的軌跡，一是對幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.

難點：① 圓的集合定義，學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個條件，內(nèi)容本身屬于難點；②點的軌跡，由于學(xué)生形象思維較強(qiáng)，抽象思維弱，而這部分知識比較抽象和難懂.

2、教法建議

本節(jié)內(nèi)容需要4課時

第一課時：圓的定義和點和圓的位置關(guān)系

（1）讓學(xué)生自己畫圓，自己給圓下定義，進(jìn)行交流，歸納、概括，調(diào)動學(xué)生積極主動的參與教學(xué)活動；對于高層次的學(xué)生可以直接通過點的集合來研究，給圓下定義（參看教案圓（一））；

（2）點和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生自己觀察、分類、探究，在“數(shù)形”的過程中，學(xué)習(xí)新知識.

第二課時：圓的有關(guān)概念

（1）對（A）層學(xué)生放開自學(xué)，對（B）層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué)，要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是概念較多而沒有很多發(fā)揮的內(nèi)容，老師沒必要去講；

（2）課堂活動要抓住：由“數(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”，的主線.

第三、四課時：點的軌跡

條件較好的學(xué)校可以利用電腦動畫來加深和幫助學(xué)生對點的軌跡的理解，一般學(xué)校可讓學(xué)生動手畫圖，使學(xué)生在動手、動腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強(qiáng)向抽象思維過度.但我的觀點是不管怎樣組織教學(xué)，都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.

第一課時：圓（一）

教學(xué)目標(biāo) ：

1、理解圓的描述性定義，了解用集合的觀點對圓的定義；

2、理解點和圓的位置關(guān)系和確定圓的條件；

3、培養(yǎng)學(xué)生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)問題的能力；

4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)重點：點和圓的關(guān)系

教學(xué)難點 ：以點的集合定義圓所具備的兩個條件

教學(xué)方法：自主探討式

教學(xué)過程 設(shè)計(總框架)：

一、 創(chuàng)設(shè)情境，開展學(xué)習(xí)活動

1、讓學(xué)生畫圓、描述、交流，得出圓的第一定義：

定義1：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓.固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“圓O”.

2、讓學(xué)生觀察、思考、交流，并在老師的指導(dǎo)下，得出圓的第二定義.

從舊知識中發(fā)現(xiàn)新問題

觀察：

共性：這些點到O點的距離相等

想一想：在平面內(nèi)還有到O點的距離相等的點嗎？它們構(gòu)成什么圖形？

（1）   圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑的長r）；

（2）   到定點距離等于定長的點都在圓上.

定義2：圓是到定點距離等于定長的點的集合.

3、點和圓的位置關(guān)系

問題三：點和圓的位置關(guān)系怎樣？（學(xué)生自主完成得出結(jié)論）

如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：

點在圓上d=r；

點在圓內(nèi)d<r；

點在圓外d>r.

“數(shù)”“形”

二、 例題分析，變式練習(xí)

練習(xí)： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點，當(dāng)OP=6cm時，點A在⊙O________；當(dāng)OP=10cm時，點A在⊙O________；當(dāng)OP=18cm時，點A在⊙O___________.

例1 求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.

已知（略）

求證（略）

分析：四邊形ABCD是矩形

A=OC，OB=OD；AC=BD

OA=OC=OB=OD

要證A、B、C、D 4個點在以O(shè)為圓心的圓上

證明：∵ 四邊形ABCD是矩形

∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4個點在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.

符號的應(yīng)用（要求學(xué)生了解）

證明：四邊形ABCD是矩形

    OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4個點在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.

小結(jié)：要證幾個點在同一個圓上，可以證明這幾個點與一個定點的距離相等.

問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點在同一個圓上.（讓學(xué)生探討）

練習(xí)1 求證：菱形各邊的中點在同一個圓上.

（目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）

練習(xí)2 設(shè)AB=3cm，畫圖說明具有下列性質(zhì)的點的集合是怎樣的圖形.

(1)和點A的距離等于2cm的點的集合；

(2)和點B的距離等于2cm的點的集合；

(3)和點A，B的距離都等于2cm的點的集合；

(4)和點A，B的距離都小于2cm的點的集合；（A層自主完成）

三、 課堂小結(jié)

問：這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意哪些問題？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)：

(1)主要學(xué)習(xí)了圓的兩種不同的定義方法與圓的三種位置關(guān)系；

(2)在用點的集合定義圓時，必須注意應(yīng)具備兩個條件，二者缺一不可；

(3)注重對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

四、作業(yè)  82頁2、3、4.

第二課時：圓（二）

教學(xué)目標(biāo) 

1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會運(yùn)用這些概念判斷真假命題。

2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動手實踐，總結(jié)出新概念的能力；進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)

生觀察、比較、分析、概括知識的能力。

3、通過動手、動腦的全過程，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識。

教學(xué)重點、難點和疑點

1、重點：理解圓的有關(guān)概念.

2、難點：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解.

3、疑點：學(xué)生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難。

教學(xué)過程 設(shè)計：

（一）閱讀、理解

重點概念：

1、弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.

2、直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑.

3、圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧.簡稱弧.

半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫優(yōu)弧；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.

6、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.

7、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

（二）小組交流、師生對話

問題：

1、一個圓有多少條弦？最長的弦是什么？

2、弧分為哪幾種？怎樣表示？

3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個圓中一條弦能得到幾個弓形？

4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？

（通過問題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對概念的理解，排除疑難）

（三）概念辨析：

判斷題目：

（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）

（3）半圓是弧（ ） （4）弧是半圓（ ）

（5）長度相等的兩段弧是等弧（ ） （6）等弧的長度相等（ ）

（7）兩個劣弧之和等于半圓（） （8）半徑相等的兩個半圓是等弧（）

（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用.）

（四）應(yīng)用、練習(xí)

例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧.

解：一共有6條弧. 、 、 、 、 、 .

（目的：讓學(xué)生會表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）

例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑.求證：AD∥BC.

（由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題.鍛煉學(xué)生動口、動腦、動手實踐能力，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識.）

鞏固練習(xí)：

教材P₆₆練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成).

（五）小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：

1、本節(jié)所學(xué)似的知識點；

2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個圖形；④等圓和等弧.

3、弧的表示方法.

（六）作業(yè) 

教材P₆₆練習(xí)中3題，P₈₂習(xí)題l(3)、(4).

第三、四課時 圓（三）——點的軌跡

教學(xué)目標(biāo) 

1、在了解用集合的觀點定義圓的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點的軌跡；

2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過渡；

3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來又作用于實踐的辯證唯物主義觀點的認(rèn)識。

重點、難點

1、重點：對圓點的軌跡的認(rèn)識。

2、難點：對點的軌跡概念的認(rèn)識，因為這個概念比較抽象。

教學(xué)活動設(shè)計（在老師與學(xué)生的交流對話中完成教學(xué)目標(biāo) ）

（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念

（使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識到理性知識）

觀察：圓是到定點的距離等于定長的的點的集合；（電腦動畫）

理解：圓上的點具有兩個性質(zhì)：

 (1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；

(2)到定點距離等于定長的的點都在圓上；（結(jié)合下圖）

引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.（軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點，這里教師要精講，細(xì)講）

上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合.因此“到定點距離等于定長的點的軌跡”是圓.

軌跡1：“到定點距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵）

（二）類比、研究1

（在老師指導(dǎo)下，通過電腦動畫，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）

軌跡2：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線；

（三）鞏固概念

練習(xí)：畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：

(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；

(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點的軌跡；

(3)經(jīng)過已知點A、B的圓O，圓心O的軌跡.

（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖，回答滿足這個條件的軌跡是什么?歸納出每一個題的點的軌跡屬于哪一個基本軌跡；B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成）

（四）類比、研究2

（這是第二次“類比”，目的：使學(xué)生的知識和能力螺旋上升.這次通過電腦動畫，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力）

軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線.

（五）鞏固訓(xùn)練

練習(xí)題1：畫圖說明滿足下面條件的點的軌跡： 

1.到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；

2.已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡.

（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖探索；然后回答出點的軌跡是什么，對B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生）

練習(xí)題2：判斷題

1、到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線.( )

2、和點B的距離等于5cm的點的軌跡，是到點B的距離等于5cm的圓.( )

3、到兩條平行線的距離等于8cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線.( )

4、底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線.( )

(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語言表達(dá)的正確性.題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)

(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因為這部分知識屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)

（六）理解、小結(jié)

（1）軌跡的定義兩層意思；

（2）常見的五種軌跡。

（七）作業(yè) 

教材P₈₂習(xí)題2、6.

探究活動

愛爾特希問題

在平面上有四個點，任意三點都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點嗎?

分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點來考慮.最容易想到的是，使一個點到另三個點等距離，換句話說，以一個點為圓心，作一個圓，其他三個點在此圓上尋找，只要使這圓上的三點構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.

其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).

最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點即可(見圖中的第4個圖).

綜上所述，符合題意的四點有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個頂點及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個頂點；③任意正五邊形的其中4個頂點.

上述問題是大數(shù)學(xué)家愛爾特希(P.Erdos)提出的：“在平面內(nèi)有n個點，其中任意三點都能構(gòu)成等腰三角形”中n＝4的情形.

當(dāng)n＝3、4、5、6時，愛爾特希問題都有解.已經(jīng)證明，時，問題無解.