數學教案－垂直于弦的直徑
第一課時 垂直于弦的直徑（一）
教學目標 ：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優��；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 垂直于弦的直徑（二）
教學目標 ：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點 ：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）