垂直于弦的直徑
第一課時 垂直于弦的直徑(一)教學目標:
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程;能初步應用垂徑定理進行計算和證實;
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;
(3)通過圓的對稱性,培養學生對數學的審美觀,并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點:
重點:①垂徑定理及應用;②從感性到理性的學習能力.
難點:垂徑定理的證實.
教學學習活動設計:
(一)實驗活動,提出問題:
1、實驗:讓學生用自己的方法探究圓的對稱性,教師引導學生努力發現:圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題:老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
(二)垂徑定理及證實:
已知:在⊙o中,cd是直徑,ab是弦,cd⊥ab,垂足為e.
求證:ae=eb, = , = .
證實:連結oa、ob,則oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,cd兩側的兩個半圓重合,a點和b點重合,ae和be重合, 、 分別和 、 重合.因此,ae=be, = , = .從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論:
cd為⊙o的直徑,cd⊥ab ae=eb, = , = .
為了運用的方便,不易出現錯誤,將原定理敘述為:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,突出重點,分散難點,避免學生記混.
(三)應用和練習
例1、如圖,已知在⊙o中,弦ab的長為8cm,圓心o到ab的距離為3cm,求⊙o的半徑.
分析:要求⊙o的半徑,連結oa,只要求出oa的長就可以了,因為已知條件點o到ab的距離為3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解:連結oa,作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明:①學生獨立完成,老師指導解題步驟;②應用垂徑定理計算:涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2、 已知:如圖,在以o為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.(證實略)
說明:此題為基礎題目,對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1:教材p78中練習1,2兩道題.由學生分析思路,學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納:①構造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法;②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.