垂直于弦的直徑
第一課時 （一）
教學目標：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第 1 2 3 頁