垂直于弦的直徑（通用11篇）
垂直于弦的直徑 篇1
第一課時 （一）
教學目標 ：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， = ， = .
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， = ， = .從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， = ， = .
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 = ，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點 ：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）
垂直于弦的直徑 篇2
------垂徑定理
【教學內容】 垂徑定理
【教學目標】
1.知識目標：①通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；
②掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題；
③掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。
2.能力目標：①通過定理探究，培養學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；
②向學生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3.情感目標：①結合本課教學特點，向學生進行愛國主義教育和美育滲透；
②激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望。
【教學重點】垂徑定理及其應用。
【教學難點】垂徑定理的證明。
【教學方法】探究發現法。
【教具準備】自制的教具、自制課件、實物投影儀、電腦、三角板、圓規。
【教學設計】
一復習提問
1 放映幻燈片，請同學們觀察幾幅圖片，看他們有什么共同特點？
2那么圓具有這樣的特點嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？
你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流.
3（老師點評）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數多條直徑.
4板書：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.
二、實例導入，激疑引趣
1.實例：同學們都學過《中國石拱橋》這篇課文（初二語文第三冊第一課·茅以升），其中介紹了我國隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽為“華北四寶之一”，它的結構是當時世界橋梁界的首創，這充分顯示了我國古代勞動人民的創造智慧。
2.導入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米拱高（弧的中點到弦ab的距離，
也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少？
通過本節課的學習，我們將能很容易解決這一問題。 （圖1幻燈片放映）
三、嘗試誘導，發現定理
（一）學生活動
1讓學生將準備好的一張圓形紙片按下列條件操作；教師用電腦演示重疊的過程。
如圖，ab是⊙o的一條弦，做直徑cd，使cd⊥ab，垂足為e.
2教師用電腦演示重疊的過程。
提問：（1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？
（2）你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.
⌒
⌒
⌒
⌒
（老師點評）（1）是軸對稱圖形，其對稱軸是cd.
（2）ae=be，ad=bd ac=bc
（二）引導探究，證明定理
1.引導證明：
引導學生從以下兩方面尋找證明思路。
①證明“ae=be”，可通過連結oa、ob來實現，利用等腰三角形性質證明。
②證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對稱性證明。
2.歸納定理：
根據上面的證明，請學生自己用文字語文進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。
（板書）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
3.鞏固定理：
a
d
在下列圖形能否利用“垂徑定理”得到相等的線段和相等的弧？若不能，說明理由；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向學生強調：(1)定理中的兩個條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。
四、例題示范，變式練習
1.運用定理解決趙州橋的問題。
〖例1〗 導入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米拱高（弧的中點到弦ab的距離，
⌒
⌒
也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少 ？
o
d
a
c
r
⌒
分析：如圖，用ab 表示主橋拱，設 ab 所在圓的圓心為o，半徑為r.經過圓心o 作弦ab 的垂線oc，d為垂足，oc與ab 相交于點d，根據前面的結論，d 是ab 的中點，c是 ab 的中點，cd 就是拱高
在圖中ab=37.4，cd=7.2
b
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即 r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27.9（m）
答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.
e
b
a
例2 如圖，在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
解
答：⊙o的半徑為5cm.
五小結
請大家圍繞以下兩個問題小結本節課
① 學習了一個與圓有關的重要定理，定 理的內容是什么？
② 在圓中解決與弦有關問題時經常做的輔助線是什么？
歸納：
1.垂徑定理相當于說一條直線如果具備
（1）過圓心；
（2）垂直于弦
則它有以下性質
（1）平分弦；
（2）平分弦所對的劣弧；平分弦所對的優弧.
2.在圓中解決有關弦的問題時，經常是過圓心作弦的垂線段，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件.
六作業
1教材88頁練習1，2題
2教材95頁習題24.1 7、8、9；
垂直于弦的直徑 篇3
第一課時 垂直于弦的直徑(一)
教學目標:
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程;能初步應用垂徑定理進行計算和證實;
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;
(3)通過圓的對稱性,培養學生對數學的審美觀,并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點:
重點:①垂徑定理及應用;②從感性到理性的學習能力.
難點:垂徑定理的證實.
教學學習活動設計:
(一)實驗活動,提出問題:
1、實驗:讓學生用自己的方法探究圓的對稱性,教師引導學生努力發現:圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題:老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
(二)垂徑定理及證實:
已知:在⊙o中,cd是直徑,ab是弦,cd⊥ab,垂足為e.
求證:ae=eb, = , = .
證實:連結oa、ob,則oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,cd兩側的兩個半圓重合,a點和b點重合,ae和be重合, 、 分別和 、 重合.因此,ae=be, = , = .從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論:
cd為⊙o的直徑,cd⊥ab ae=eb, = , = .
為了運用的方便,不易出現錯誤,將原定理敘述為:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,突出重點,分散難點,避免學生記混.
(三)應用和練習
例1、如圖,已知在⊙o中,弦ab的長為8cm,圓心o到ab的距離為3cm,求⊙o的半徑.
分析:要求⊙o的半徑,連結oa,只要求出oa的長就可以了,因為已知條件點o到ab的距離為3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解:連結oa,作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明:①學生獨立完成,老師指導解題步驟;②應用垂徑定理計算:涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2、 已知:如圖,在以o為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.(證實略)
說明:此題為基礎題目,對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1:教材p78中練習1,2兩道題.由學生分析思路,學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納:①構造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法;②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
(四)小節與反思
教師組織學生進行:
知識:(1)圓的軸對稱性;(2)垂徑定理及應用.
方法:(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法,構造直角三角形;(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距;(3)為了更好理解垂徑定理,一條直線只要滿足①過圓心;②垂直于弦;則可得③平分弦;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧.
(五)作業
教材p84中11、12、13.
第二課時 垂直于弦的直徑(二)
教學目標:
(1)使學生把握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用;
(2)通過對推論的探討,逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題,概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
(3)滲透一般到非凡,非凡到一般的辯證關系.
教學重點、難點:
重點:①垂徑定理的兩個推論;②對推論的探究方法.
難點:垂徑定理的推論1.
學習活動設計:
(一)分解定理(對定理的剖析)
1、復習提問:定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析:
(教師指導)
(二)新組合,發現新問題:(a層學生自己組合,小組交流,b層學生老師引導)
, ,……(包括原定理,一共有10種)
(三)探究新問題,歸納新結論:
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對應的兩條弧.
(2)弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦對應的兩條弧.
(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.
(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習:
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
(在推論1(1)中,為什么要附加“不是直徑”這一條件.)
練習2、按圖填空:在⊙o中,
(1)若mn⊥ab,mn為直徑,則________,________,________;
(2)若ac=bc,mn為直徑,ab不是直徑,則則________,________,________;
(3)若mn⊥ab,ac=bc,則________,________,________;
(4)若 = ,mn為直徑,則________,________,________.
(此題目的:鞏固定理和推論)
(五)應用、反思
例、四等分 .
(a層學生自主完成,對于其他層次的學生在老師指導下完成)
教材p80中的第3題圖,是典型的錯誤作.
此題目的:是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法,通過學生自主操作培養學生的動手能力;通過與教材p80中的第3題圖的對比,加深學生對感性知識的熟悉及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
(六)小結:
知識:垂徑定理的兩個推論.
能力:①推論的研究方法;②平分弧的作圖.
(七)作業:教材p84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的:
⑴要求學生把握垂徑定理及其推論,會解決有關的證實,計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力;提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4(趙州橋)對學生進行愛國主義的教育;并向學生滲透數學來源于實踐,又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點:垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點:如何進行輔助線的添加
教學內容:
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1:對于一條直線和一個圓來說,具備下列五個條件中的任何個,那么也具有其他三個:⑴ 直線過圓心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所對的優弧 ;⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為:“知2推3”
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算(這里不管什么層次的學生都要自主研究)
涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
3.常添加的輔助線:(學生歸納)
⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半徑 .構造直角三角形
4.可用于證實:線段相等、弧相等、角相等、垂直關系;同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題:(讓學生分析,交流,解答,老師引導學生歸納)
例1、1300多年前,我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米,拱高(弧中點到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明:①對學生進行愛國主義的教育;②應用題的解題思路:實際問題——(轉化,構造直角三角形)——數學問題.
例2、已知:⊙o的半徑為5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab與cd間的距離.(讓學生畫圖)
解:分兩種情況:
(1)當弦ab、cd在圓心o的兩側
過點o作ef⊥ab于e,連結oa、oc,
又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作輔助線是難點,學生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,錯誤的結論)
由ef過圓心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,
在rt△oea中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:of=3
∴ef=oe of=4 3=7.
(2)當弦ab、cd在圓心o的同側
同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
∴.
說明:①此題主要是滲透分類思想,培養學生的嚴密性思維和解題方法:確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題;②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知:如圖,ab是⊙o的弦,半徑oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的長.
解:(略,過o作oe⊥ae于e ,過b作bf⊥oc于f ,連結ob.bc = )
說明:通過添加輔助線,構造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關系.
(三)應用練習:
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示,若油面寬ab=600mm,求油的最大深度.
學生分析,教師適當點撥.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
(四)小結:
1. 垂徑定理及其推論的應用注重指明條件.
2. 應用定理可以證實的問題;注重構造思想,方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業:教材p84中15、16題,p85中b組2、3題.
探究活動
如圖,直線mn與⊙o交于點a、b,cd是⊙o的直徑,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.
(1)線段ae、bf之間存在怎樣的關系?線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數量關系?并說明理由.
(2)當直線cd的兩個端點在mn兩側時,上述關系是否仍能成立?假如不成立,它們之間又有什么關系?并說明理由.
(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=2oh不能成立.ce、df、oh之間應滿足)
垂直于弦的直徑 篇4
教學目標1、使學生掌握垂徑定理的兩個推論；2、會利用推論1作一些簡單的作圖題.3、繼續培養學生觀察、比較、分析、概括問題的能力及動手操作的基本技能；教學重點： 垂徑定理的兩個推論.教學難點：垂徑定理的推論1.教學過程：一、新課引入：同學們，上節課我們學習了圓的重要性質垂徑定理.請兩名中等生回答定理內容，并說出這個定理的題設和結論.這時教師引導學生觀察.若（1）過圓心；（2）垂直于弦；則（3）平分弦；（4）平分這條弦所對的優弧；（5）平分這條弦所對的劣弧.將（2）和（3）對調，得到一個命題，將（1）和（3）對調，得到一個命題；然后將（2）和（4）或（5）對調，又得到一個命題.接著又將直徑cd旋轉到和弦ab平行時，又出現一個新命題.這時教師點題.“9.3垂直于弦的直徑（二）”.剛才得到的四個命題，就是我們本節要學習的垂徑定理的兩個推論.教師這樣做的目的是讓學生明白垂徑定理的兩個推論，就是在原來定理的題設和結論做一小小的調換而得到的，使學生感覺新知識不新，容易產生興趣，減輕學生的心理壓力，使學生充滿著自信投入到教學活動中.二、新課講解：為了使學生真正體驗垂徑定理的重要，在取材處理上，沒有象教科書那樣直接給出推論1、推論2.而是將垂徑定理的題設和結論進行對調，發現新命題，總結新命題，教師概括出推論1.再進一步將垂徑定理的直徑旋轉到和弦ab平行時，又得到一個新命題，也就是推論2.這樣不僅讓學生了解了新知識與舊知識之間的聯系，也體現了知識的連貫性和系統性.這樣既開發了學生的智力，又調動了學生學習的積極性和主動性.同時又增強了學生應用數學的意識.學習提問：請回答垂徑定理內容，并敘述定理的題設和結論.學生回答，教師板書，畫出圖形.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.若①過圓心，②垂直于弦，則③平分弦④平分弦所對的優弧，⑤平分弦所對的劣弧.題 設 結 論將②和③對調，可得新命題為：
由于一個圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的.所以得到上面命題的結論，必須加上“弦不是直徑”這一條件.教師用文字敘述為：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；將①和③對調，又得新命題為：④直線cd平分acb，⑤直線cd平分adb.從而得到：（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弦；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.以上三條是垂徑定理的推論1；請同學繼續觀察，當直徑cd旋轉與弦ab平行時，可得新的命題為：
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.教師引導學生回述證明過程.數學表述成為：ab∥cd = .接著做練習：練習1：“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎？為什么？練習2：按圖7-14填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則______，______，______；（2）若ac=bc，mn為直徑，ab不是直徑，則______，______，______；（3）若mn⊥ab，ac=cb，則______，______，（4）若 = ，mn為直徑，則______，______，______.這兩個練習題學生回答，學生評價.練習題做完后教師接著講例3.例3 平分已知弧 .教師引導學生回答已知，求作.
已知： .求作： 的中點.分析：要將 兩等分，如何確定 的中點呢？學生在教師的啟發下，想出作圓的方法，這時教師進一步提出問題；連結ab，作ab的垂直平分線交 于點e，為什么可以說e點是 的中點呢？根據什么？作圖由學生自己完成.教師這樣做的目的是引導學生學習平分弧的方法，通過積極思考得到解決辦法，這樣理解深刻，不容易出錯.練習3：p.80中3（由學生完成）略.三、課堂小結：本節課主要學習了垂徑定理的兩個推論.利用推論1舉出平分弧的作圖.四、布置作業p.84中14題.補充作業：1.已知：如圖7-15，ab為⊙o的直徑，cd為弦，ec⊥cd，fd⊥cd，垂足分別為c，d.求證：ae=bf.
2.已知：如圖7-16，ab為⊙o直徑，cd為弦，ae⊥cd，bf⊥cd，垂足分別為e，f.求證：（1）cf=de（2）∠oef=zofe
垂直于弦的直徑 篇5
第一課時 （一）
教學目標 ：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點 ：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）
垂直于弦的直徑 篇6
教學目標： 1、使學生能夠熟練掌握垂徑定理及兩個推論；2、使學生能夠運用垂徑定理及兩個推論進行有關的證明和計算.3、通過例4的教學使學生了解垂徑定理在實際問題中的應用，進一步提高學生用數學的意識；教學重點： 垂徑定理及推論的應用.教學難點：實際問題轉化為數學問題.教學過程：一、新課引入：這節課的主要內容是應用題例4，例4是一個實際問題，它反映了數學與生產實際的聯系，它要求學生用數學的理論、思想、方法建立實際問題的數學模型，以解決實際問題.這對進一步培養學生分析問題和解決問題有很大的幫助.本節課就是引導學生把例4的實際問題轉化成一個數學問題，然后綜合運用垂徑定理、勾股定理來加以解決.為了進一步理解運用垂徑定理解決實際問題，教師有目的地安排兩組復習題，啟發學生進行回答.復習提問：1.垂徑定理內容是什么？2.判斷題：①垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；（ ）②弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧；（ ）③經過弦中點的直徑一定垂直于弦；（ ）④圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦一定平行；（ ）⑤平分弦所對的一條弧的直徑一定垂直平分這條弦.（ ）學生回答的對錯，由學生之間評價，從而得到正確答案.其目的就是為了強化所學過的垂徑定理及推論1、推論2，為本節課做準備工作.二、新課講解：例4 1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4米，拱高（弧中點到弦的距離，也叫弓形的高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米）.
同學們，請看圖7-18上這座石橋，這座橋就是例4中的古代的趙州石拱橋，學生一邊觀察橋的結構，教師一邊講解：“趙州橋又名安濟橋，位于河北省趙縣城南洨河上，是我國現存的著名古代大石橋，是隋代開皇大業年間（590～608）李春創建.橋為單孔，全長50.82米，橋面寬約10米，跨徑約為33米，拱圈矢高約7米，弧形平緩，拱圈由28條并列的石條組成，上設四個小拱，既減輕重量，又節省材料，又便于排水，且增美觀，在世界橋梁史上，其設計與工藝之新為石拱橋的卓越典范，跨度之大在當時亦屬創舉，這反映了我國古代勞動人民的智慧與才能.現在這座橋為全國重點文物保護單位.”教師一席話一方面向學生進行愛祖國的教育；另一方面激發學生的學習動機，點燃學生的思維火花，激起學生思維的熱情，使學生的思維處于最佳狀態.教師為了讓學生了解趙州石拱橋的背景，激發學生的求知欲望，當學生對這座橋產生好奇時，教師啟發學生：“我們如何來求出這座橋的半徑呢”？接著教師分析：“我們知道這是一座石拱橋，我們可以把橋拱抽成一個幾何圖形，就是一個圓弧形”.這時教師畫出圖7-19.
對于一個實際問題求半徑的長，能否轉化成一個數學問題來解決呢？這就需要首先分析已知什么條件和欲求的未知是什么？師生共同分析解題思路.教師板書：解：圓 表示橋拱，設 的圓心為o，半徑為r米.經過圓心o作弦ab的垂線od，d為垂足，與 相交于足c，根據垂徑定理，d是 的中點，c是ab的中點，cd就是拱高.由題設ab=37.4，cd=7.2，od=oc-dc=r-7.2在rt△oad中，由勾股定理，得oa2=ad2+od2，即 r2=18.72+（r-7.2）2解這個方程，得r≈27.9（米）.答：趙州石拱橋的半徑約為27.9米.在例4的處理上，教師采取一邊畫圖，一邊分析，一邊板書.目的讓學生掌握關于求弦、半徑、弦心距及弓形高等問題，屬于典型的數形結合問題，對于解決這種典型的問題就是依據已知和未知設法構造直角三角形，通過這個直角三角形就能把垂徑定理和勾股定理有機地結合起來，就能很快地把未知轉化為已知.從而所求問題得以解決.鞏固練習：p.81中1題.在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬ab=60mm，求油的最大深度.對于這道題主要由學生分析，教師適當點撥.分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.總結解題思路：鞏固練習：教材p.82中2題（略）.三、課堂小結：本節課主要要求學生綜合運用垂徑定理和勾股定理解決圓中線段的長等問題.如圖在⊙o中，設⊙o半徑為r，弦ab=a，弦心距od=d，弓形的高de=h.且oe⊥ab于d.
已知：①r、d，求a、h.②r、h，求a、d.③r、a，求d、h.④d、h，求r、a.………對于在⊙o中在r，a，d，h中，只要已知兩個量就可求出另外的兩個量.所應用的知識點是勾股定理和垂徑定理.本節課主要解題思路：四、布置作業：教材p.84中15、16題.教材p.85中4題（b組）
垂直于弦的直徑 篇7
第一課時 （一）
教學目標：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
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垂直于弦的直徑 篇8
第一課時 （一）
教學目標 ：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， = ， = .
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， = ， = .從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， = ， = .
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 = ，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點 ：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）
垂直于弦的直徑 篇9
教學目標：1、使學生通過觀察實驗理解圓的軸對稱性；2、掌握垂徑定理，理解垂徑定理的推證過程；3、能初步應用垂徑定理進行計算和證明.4、進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.教學重點： 垂徑定理及應用.教學難點：垂徑定理的證明.教學過程：一、新課引入：請同學們回答下列問題：1、如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線的兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做________；那么這條直線叫做________.2、等腰三角形是軸對稱圖形嗎？3、“圓”是不是軸對稱圖形？它的對稱軸是什么？教師利用提問1.，2.的形式，復習軸對稱圖形的概念.提問3.的目的是引出本節課的第一個知識點.在學生回答后，引導學生觀察電腦演示將圓對折的情形.教師講解將圓沿著一條直徑對折，你觀察到了什么情況？這時學生回答，教師板書.圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.接著電腦繼續演示，教師講解：
由圖7-9（1）中cd為⊙o的直徑；變到圖7-9（2）中在⊙o上任意取一點a；再變到圖7-9（3）從點a作直徑cd的垂線交⊙o于另一個交點b.這時我們可以看出圖（3）中的點b與點a是否是對稱點呢？a、b是關于什么對稱.教師進一步提出當直徑cd垂直于弦ab，將能得到什么結論呢？這就是本節學習的內容.“7.3垂直于弦的直徑（一）”.教師這樣引入課題的目的，使學生從認識上初步完成實驗——觀察——感性——理性的認識過程.逐步學會從實踐中引入、從現象中抽象、從事實中概括，從而激發學生的學習動機.二、新課講解：為了使學生進一步通過實驗的觀察，很快地概括出本課的教學內容，由圖7-9（1）可知cd所在直線是⊙o的對稱軸；到圖7-9（2）從⊙o上取一點a，過點a作直徑cd的垂線交⊙o于點b，得到圖7-9（3），這時沿著cd折疊，引導學生觀察重合部分，學生紛紛猜想結論.通過實驗——觀察——猜想獲得感性認識.這個實驗結論是否正確，還需要證明.學生帶著一種好奇心，積極主動參與到證明這個結論中去.學生回答證明過程，教師板書.已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.求證：ae=eb， = ， = .證明：連結oa，ob，則oa=ob.又cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸，又是△o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時，cd兩側的兩個半圓重合，a點和b點重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .從而得到圓的一條重要性質.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條垂徑定理是由演示實驗——觀察——感性——理性的全過程.為了使學生能夠真正理解垂徑定理，引導學生分析垂徑定理的題設和結論，加深對定理的認識并強化用數學表達式表示出來：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.〈2〉 〈1〉〈3〉 〈4〉〈5〉把直徑化分為（1）；把垂直于弦化分為（2）；把平分弦化為（3）；平分優弧化為（4）；平分劣弧化分為（5）.為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所對的優弧；（5）平分弦所對的劣弧.這樣做目的是加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.接著為了鞏固垂徑定理，引導學生完成下面兩道題.例1 如圖7-10，已知在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
教師分析：要求⊙o的半徑，連結oa，只要求出oa的長就可以了，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，學生回答，教師板書計算過程.解：連結oa，作oe⊥ab，垂足為e.∵oe⊥ab，∴ae=eb.∵ab=8cm，∴ae=4cm.又∵oe=3cm，在rt△aoe中，∵⊙o的半徑為5cm.教師強調：從例1可以知道作“弦心距”是很重要的一條輔助線，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所對的弧，它和直徑一樣.求圓的半徑問題，要和弦心距，弦的一半和半徑構造出一個直角三角形，和勾股定理聯系起來.例2 已知：如圖7-11，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.例2由學生分析證明思路，學生板書證明過程.師生共同參與評價.練習1：教材p.78中1題.練習2：教材p.78中2題.練習1，2兩道題教師把題打在幻燈片上，由學生上黑板分析思路，學生之間展開評價.這樣做給學生充分的表現機會，不是老師牽著學生走，而是學生通過積極思維主動獲得知識.
最后找兩名同學上黑板寫出證明過程，其它同學在練習本上完成.每小組派一名學生輔導有問題的學生，使不同層次的學生共同提高.三、課堂小結：小結由學生完成，教師進一步強調.1.本節課學習的知識點（1）圓的軸對稱性；（2）垂徑定理及應用.2.方法上主要學習了（1）垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形.（2）在圓中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距.（3）為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足（1）過圓心；（2）垂直于弦；則可得（3）平分弦；（4）平分弦所對的優弧；（5）平分弦所對的劣弧.四、布置作業教材p.84中11、12、13
垂直于弦的直徑 篇10
第一課時 （一）
教學目標：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 （二）
教學目標：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）
垂直于弦的直徑 篇11
第一課時 垂直于弦的直徑（一）
教學目標 ：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.
難點：垂徑定理的證明.
教學學習活動設計：
（一）實驗活動，提出問題：
1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.
2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.
求證：AE=EB， =， =.
證明：連結OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質.
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.
（三）應用和訓練
例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.
解：連結OA，作OE⊥AB于E.
則AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半徑為5 cm.
說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.（證明略）
說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.
練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.
指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.
（四）小節與反思
教師組織學生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧.
（五）作業
教材P84中11、12、13.
第二課時 垂直于弦的直徑（二）
教學目標 ：
（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；
（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力.促進學生創造思維水平的發展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系.
教學重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
學習活動設計：
(一)分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導）
(二)新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結論：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習：
練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習2、按圖填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；
（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 .
（A層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養學生的思維能力.
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
（七）作業 ：教材P84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的：
⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點 ：如何進行輔助線的添加
教學內容：
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題.
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.
解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC =）
說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.
（三）應用訓練：
P8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
學生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
（四）小結：
1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.
2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.
(五)作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.
探究活動
如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由.
（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）