垂直于弦的直徑

第一課時 （一）

教學(xué)目標(biāo) ：

(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；

(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；

(3)通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.

   難點(diǎn)：垂徑定理的證明.

教學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)：

（一）實(shí)驗(yàn)活動，提出問題：

1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.

2、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.

通過“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.

（二）垂徑定理及證明：

已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E.

求證：AE=EB， =， =.

證明：連結(jié)OA、OB，則OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).

垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：

 CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， =， =.

為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.

（三）應(yīng)用和訓(xùn)練

例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.

分析：要求⊙O的半徑，連結(jié)OA，只要求出OA的長就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.

解：連結(jié)OA，作OE⊥AB于E.

則AE=EB.

∵AB=8cm，∴AE=4cm.

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm).

∴⊙O的半徑為5 cm.

說明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

關(guān)系：r =h+d； r² =d² + (a/2)²

例2、 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證AC=BD.（證明略）

說明：此題為基礎(chǔ)題目，對各個層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.

練習(xí)1：教材P78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評價、交流.

指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.

（四）小節(jié)與反思

教師組織學(xué)生進(jìn)行：

知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.

方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.

（五）作業(yè) 

教材P84中11、12、13.

第二課時 （二）

教學(xué)目標(biāo) ：

（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用；

（2）通過對推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問題，概括問題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高

（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.

難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.

學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)：

(一)分解定理（對定理的剖析）

1、復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.

2、剖析：

（教師指導(dǎo)）

(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問題：（A層學(xué)生自己組合，小組交流，B層學(xué)生老師引導(dǎo)）

， ，……（包括原定理，一共有10種）

(三)探究新問題，歸納新結(jié)論：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.

(四)鞏固練習(xí)：

練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?

（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）

練習(xí)2、按圖填空：在⊙O中，

（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；

（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；

（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；

（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________.

（此題目的：鞏固定理和推論）

（五）應(yīng)用、反思

例、四等分 .

（A層學(xué)生自主完成，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）

教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.

此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學(xué)生對感性知識的認(rèn)識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

（六）小結(jié)：

知識：垂徑定理的兩個推論.

能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.

（七）作業(yè) ：教材P84中14題.

第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用

教學(xué)目的：

⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關(guān)的證明，計(jì)算問題.

⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識.

⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育；并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想

教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn) ：如何進(jìn)行輔助線的添加

教學(xué)內(nèi)容：

(一)復(fù)習(xí)

1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）

涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

關(guān)系：r =h+d   ;  r² =d² + (a/2)²

3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形

4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).

(二)應(yīng)用例題：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）

例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米).

說明：①對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——數(shù)學(xué)問題.

例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學(xué)生畫圖）

解：分兩種情況：

（1）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的兩側(cè)

過點(diǎn)O作EF⊥AB于E，連結(jié)OA、OC，

又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結(jié)論）

由EF過圓心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7.

（2）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)

同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.

∴.

說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.

例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的長.

解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結(jié)OB.BC =）

說明：通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.

（三）應(yīng)用訓(xùn)練：

P8l中1題.

在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.

學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.

（四）小結(jié)：

1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.

2. 應(yīng)用定理可以證明的問題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.

(五)作業(yè) ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題.

探究活動

如圖，直線MN與⊙O交于點(diǎn)A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關(guān)系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（2）當(dāng)直線CD的兩個端點(diǎn)在MN兩側(cè)時，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說明理由.

（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應(yīng)滿足）