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垂直于弦的直徑

垂直于弦的直徑

第一課時 (一)

教學(xué)目標(biāo) 

(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程;能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明;

(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;

(3)通過圓的對稱性,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀,并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

重點(diǎn):①垂徑定理及應(yīng)用;②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.

   難點(diǎn):垂徑定理的證明.

教學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì):

(一)實(shí)驗(yàn)活動,提出問題:

1、實(shí)驗(yàn):讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn):圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.

2、提出問題:老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.

通過“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.

(二)垂徑定理及證明:

已知:在⊙O中,CD是直徑,AB是弦,CD⊥AB,垂足為E.

求證:AE=EB, =, =.

證明:連結(jié)OA、OB,則OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸,又是⊙O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時,CD兩側(cè)的兩個半圓重合,A點(diǎn)和B點(diǎn)重合,AE和BE重合, 、 分別和 、 重合.因此,AE=BE, =, =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).

垂徑定理:平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.

組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論:

 CD為⊙O的直徑,CD⊥AB AE=EB, =, =.

為了運(yùn)用的方便,不易出現(xiàn)錯誤,將原定理敘述為:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,突出重點(diǎn),分散難點(diǎn),避免學(xué)生記混.

(三)應(yīng)用和訓(xùn)練

例1、如圖,已知在⊙O中,弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑.

分析:要求⊙O的半徑,連結(jié)OA,只要求出OA的長就可以了,因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)O到AB的距離為3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB= AB=4cm.此時解Rt△AOE即可.

解:連結(jié)OA,作OE⊥AB于E.

則AE=EB.

∵AB=8cm,∴AE=4cm.

又∵OE=3cm,

在Rt△AOE中,

(cm).

∴⊙O的半徑為5 cm.

說明:①學(xué)生獨(dú)立完成,老師指導(dǎo)解題步驟;②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算:涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

關(guān)系:r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知:如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證AC=BD.(證明略)

說明:此題為基礎(chǔ)題目,對各個層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.

練習(xí)1:教材P78中練習(xí)1,2兩道題.由學(xué)生分析思路,學(xué)生之間展開評價、交流.

指導(dǎo)學(xué)生歸納:①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法;②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.

(四)小節(jié)與反思

教師組織學(xué)生進(jìn)行:

知識:(1)圓的軸對稱性;(2)垂徑定理及應(yīng)用.

方法:(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的方法,構(gòu)造直角三角形;(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距;(3)為了更好理解垂徑定理,一條直線只要滿足①過圓心;②垂直于弦;則可得③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.

(五)作業(yè) 

教材P84中11、12、13.

第二課時 (二)

教學(xué)目標(biāo) 

(1)使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用;

(2)通過對推論的探討,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問題,概括問題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高

(3)滲透一般到特殊,特殊到一般的辯證關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):①垂徑定理的兩個推論;②對推論的探究方法.

難點(diǎn):垂徑定理的推論1.

學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì):

(一)分解定理(對定理的剖析)

1、復(fù)習(xí)提問:定理:平分這條弦,并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.

2、剖析:

(教師指導(dǎo))

(二)新組合,發(fā)現(xiàn)新問題:(A層學(xué)生自己組合,小組交流,B層學(xué)生老師引導(dǎo))

, ,……(包括原定理,一共有10種)

(三)探究新問題,歸納新結(jié)論:

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.

(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.

(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.

(四)鞏固練習(xí):

練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?

(在推論1(1)中,為什么要附加“不是直徑”這一條件.)

練習(xí)2、按圖填空:在⊙O中,

(1)若MN⊥AB,MN為直徑,則________,________,________;

(2)若AC=BC,MN為直徑,AB不是直徑,則則________,________,________;

(3)若MN⊥AB,AC=BC,則________,________,________;

(4)若 =,MN為直徑,則________,________,________.

(此題目的:鞏固定理和推論)

(五)應(yīng)用、反思

例、四等分 .

(A層學(xué)生自主完成,對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成)

教材P80中的第3題圖,是典型的錯誤作.

此題目的:是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法,通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力;通過與教材P80中的第3題圖的對比,加深學(xué)生對感性知識的認(rèn)識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

(六)小結(jié):

知識:垂徑定理的兩個推論.

能力:①推論的研究方法;②平分弧的作圖.

(七)作業(yè) :教材P84中14題.


第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用

教學(xué)目的:

⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,會解決有關(guān)的證明,計(jì)算問題.

⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識.

⑶通過例4(趙州橋)對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育;并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,又反過來服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想

教學(xué)重點(diǎn)垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn) 如何進(jìn)行輔助線的添加

教學(xué)內(nèi)容:

(一)復(fù)習(xí)

1.垂徑定理及其推論1:對于一條直線和一個圓來說,具備下列五個條件中的任何個,那么也具有其他三個:⑴ 直線過圓心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ;⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為:“知2推3”

推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算(這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究)

涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

關(guān)系:r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的輔助線:(學(xué)生歸納)

⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形

4.可用于證明:線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系;同時為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).

(二)應(yīng)用例題:(讓學(xué)生分析,交流,解答,老師引導(dǎo)學(xué)生歸納)

例1、1300多年前,我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米,拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米).

說明:①對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育;②應(yīng)用題的解題思路:實(shí)際問題——(轉(zhuǎn)化,構(gòu)造直角三角形)——數(shù)學(xué)問題.

例2、已知:⊙O的半徑為5 ,弦AB∥CD ,AB =6 ,CD =8 .求:AB與CD間的距離.(讓學(xué)生畫圖)

解:分兩種情況:

(1)當(dāng)弦AB、CD在圓心O的兩側(cè)

過點(diǎn)O作EF⊥AB于E,連結(jié)OA、OC,

又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作輔助線是難點(diǎn),學(xué)生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE+OF,錯誤的結(jié)論)

由EF過圓心O,EF⊥AB,AB =6,得AE=3,

在Rt△OEA中,由勾股定理,得

,∴

同理可得:OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7.

(2)當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)

同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.

∴.

說明:①此題主要是滲透分類思想,培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法:確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題;②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.

例3、 已知:如圖,AB是⊙O的弦,半徑OC∥AB ,AB=24 ,OC =15 .求:BC的長.

解:(略,過O作OE⊥AE于E ,過B作BF⊥OC于F ,連結(jié)OB.BC =)

說明:通過添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.

(三)應(yīng)用訓(xùn)練:

P8l中1題.

在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,若油面寬AB=600mm,求油的最大深度.

學(xué)生分析,教師適當(dāng)點(diǎn)撥.

分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.

(四)小結(jié):

1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.

2. 應(yīng)用定理可以證明的問題;注重構(gòu)造思想,方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.

(五)作業(yè) :教材P84中15、16題,P85中B組2、3題.

探究活動

如圖,直線MN與⊙O交于點(diǎn)A、B,CD是⊙O的直徑,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.

(1)線段AE、BF之間存在怎樣的關(guān)系?線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

(2)當(dāng)直線CD的兩個端點(diǎn)在MN兩側(cè)時,上述關(guān)系是否仍能成立?如果不成立,它們之間又有什么關(guān)系?并說明理由.

(答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應(yīng)滿足)

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