垂直于弦的直徑
(六)小結:
知識:垂徑定理的兩個推論.
能力:①推論的研究方法;②平分弧的作圖.
(七)作業:教材p84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用
教學目的:
⑴要求學生把握垂徑定理及其推論,會解決有關的證實,計算問題.
⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力;提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.
⑶通過例4(趙州橋)對學生進行愛國主義的教育;并向學生滲透數學來源于實踐,又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想
教學重點:垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學難點:如何進行輔助線的添加
教學內容:
(一)復習
1.垂徑定理及其推論1:對于一條直線和一個圓來說,具備下列五個條件中的任何個,那么也具有其他三個:⑴ 直線過圓心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所對的優弧 ;⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為:“知2推3”
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應用垂徑定理及其推論計算(這里不管什么層次的學生都要自主研究)
涉及四條線段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
3.常添加的輔助線:(學生歸納)
⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半徑 .構造直角三角形
4.可用于證實:線段相等、弧相等、角相等、垂直關系;同時為圓中的計算、作圖提供依據.
(二)應用例題:(讓學生分析,交流,解答,老師引導學生歸納)
例1、1300多年前,我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米,拱高(弧中點到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明:①對學生進行愛國主義的教育;②應用題的解題思路:實際問題——(轉化,構造直角三角形)——數學問題.
例2、已知:⊙o的半徑為5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab與cd間的距離.(讓學生畫圖)
解:分兩種情況:
(1)當弦ab、cd在圓心o的兩側
過點o作ef⊥ab于e,連結oa、oc,
又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作輔助線是難點,學生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,錯誤的結論)
由ef過圓心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,
在rt△oea中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:of=3
∴ef=oe of=4 3=7.
(2)當弦ab、cd在圓心o的同側
同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
∴.
說明:①此題主要是滲透分類思想,培養學生的嚴密性思維和解題方法:確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題;②培養學生作輔助線的方法和能力.