數學教案－分式

教學目標 
1.    通過實際操作理解“學習三角形全等的四種判定方法”的必要性.
2.    比較熟練地掌握應用邊角邊公理時尋找非已知條件的方法和證明的分析法,初步培養學生的邏輯推理能力.
3.    初步掌握“利用三角形全等來證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關系等”的方法.
4.    掌握證明三角形全等問題的規范書寫格式.
教學重點和難點
應用三角形的邊角邊公理證明問題的分析方法和書寫格式.
教學過程 設計
一、          實例演示，發現公理
1.        教師出示幾對三角形模板，讓學生觀察有幾對全等三角形，并根據所學過的全等三角形的知識動手操作，加以驗證，同時寫出全等三角形的數學表達式.
2.        在此過程中應啟發學生注意以下幾點：
（1）             可用移動三角形使其重合的方法驗證圖3-49中的三對三角形分別全等，并根據圖中已知的三對對應元素分別相等的條件，可以證明結論成立.如圖3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可將△ABC繞A點轉到B與C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保證AD能與AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D與E重合.因此△BAD可與△CAE重合,說明△BAD≌△CAE.
 
（2）             每次判斷全等，若都根據定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實用的判斷方法——用全等三角形的性質來判定.
（3）             由以上過程可以說明，判定兩個三角形全等，不必判斷三條邊、三個角共六對對應元素均相等，而是可以簡化到特定的三個條件，引導學生歸納出：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.
3.畫圖加以鞏固.
教師照課本上所敘述的過程帶領學生分析畫圖步驟并畫出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法，并加深對結論的印象.
二、          提出公理
1.板書邊角邊公理，指出它可簡記為“邊角邊”或“SAS”，說明記號“SAS’的含義.
2.強調以下兩點：
    （1）使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對應相等.
    （2）使用時記號“SAS”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對應頂點的字母順序寫在對應位置上.
    3.板書定理證明應使用標準圖形、文字及數學表達式，正確書寫證明過程.
    如圖3-50，在△ABC與△A’B’C’中,（指明范圍）
 
      
    三、應用舉例、變式練習
    1.充分發揮一道例題的作用，將條件、結論加以變化，進行變式練習，
    例1已知：如圖 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求證：△ABD≌△CBD.
    分析：將已知條件與邊角邊公理對比可以發現，只需再有一組對應邊相等即可，這可由公共邊相等 BD＝BD得到.
    說明：（1）證明全等缺條件時，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、對頂角相等，等等.
    （2）學習從結論出發分析證明思路的方法（分析法）.
分析：△ABD≌△CBD

因此只能在兩個等角分別所在的三角形中尋找與AB，CB夾兩已知角的公共邊BD.
    （3）可將此題做條種變式練習：
練習1（改變結論）如圖 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求證：AD=CD，BD平分∠ADC.
分析：在證畢全等的基礎上，可繼續利用全等三角形的性質得出對應邊相等，即AD=CD；對應角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.因此，通過證明兩三角形全等可證明兩個三角形中的線段相等或和角相關的結論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等.
練習2(改變條件）如圖 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB.求證: ∠A＝∠C.
    分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有AB＝CB，所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出.這樣，在證明三角形全等之前需做一些準備工作.教師板書完整證明過程如下：
     
 以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.
    （4）將題目中的圖形加以有規律地圖形變換，可得到相關的一組變式練習，使剛才的解題思路得以充分地實施，并加強例題、習題之間的有機聯系，熟悉常見圖形，同時讓學生總結常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.
    練習 3如圖 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2.求證： DB=FE.
    分析：關鍵由∠1＝∠2，利用等量公理證出∠BAD＝∠EAF.
    練習  4如圖  3-52(d)，已知  A為 BC中點，  AE//BD，  AE＝BD.求證： AD//CE.
    分析：由中點定義得出 AB＝AC；由  AE//BD及平行線性質得出∠ABD=∠CAE.
    練習  5已知：如圖  3-52(e）， AE//BD， AE＝DB.求證： AB//DE.
    分析：由 AE//BD及平行線性質得出∠ADB=∠DAE；由公共邊 AD＝DA及已知證明全等.
    練習6已知：如圖3－52（f），AE//BD，AE＝DB.求證：AB//DE，AB＝DE.
    分析：通過添加輔助線——連結AD，構造兩個三角形去證明全等.
    練習 7已知：如圖 3-52（g）， BA＝EF， DF=CA，∠EFD=∠CAB.求證：∠B=∠E.
    分析：由DF＝CA及等量公理得出DA＝CF；由∠EFD＝∠CAB及“等角的補角相等”得出∠BAD＝∠EFC.
    練習8已知：如圖3－52（h），BE和CD交于A，且A為BE中點，EC⊥CD于C,BD⊥CD于 D，  CE＝⊥BD.求證： AC＝AD.
    分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件——對頂角相等轉化為已知兩邊的夾角∠B=∠E，這點利用“等角的余角相等”可以實現.
    練習 9已知如圖 3－52（i），點 C， F， A， D在同一直線上， AC＝FD， CE=DB， EC⊥CD，BD⊥CD，垂足分別為 C和D.求證：EF//AB.
    在下一課時中，可在圖中連結EA及BF，進一步統習證明兩次全等.
    小結：在以上例1及它的九種變式練習中，可讓學生歸納概括出目前常用的證明三角形全等時尋找非已知條件的途徑.
    缺邊時：①圖中隱含公共邊；②中點概念；③等量公理④其它.
缺角時：①圖中隱含公共角；②圖中隱含對頂角；③三角形內角和及推論④角平分線定義；
⑤平行線的性質；⑥同（等）角的補（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.
    例2已知：如圖3－53，△ABE和△ACD均為等邊三角形.求證：BD=EC.
    分析：先選擇BD和EC所在的兩個三角形△ABD與△AEC，已知沒有提供任一證兩個三角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供.
 
四、師生共同歸納小結
    1.證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個？邊角邊公理是哪三個
條件？
    2.在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關系時，最典型的分析問題的思路是怎樣的？你體會這樣做有些什么優點？
3.遇到證明兩個三角形全等而邊、角的直接條件不夠時，可從哪些角度入手尋找非已知條件？
五、練習與作業 
練習：課本第28頁中第1題，第30頁中1，3題.
作業 ：課本第32頁中第6，7，8，9，10題.
課堂教學設計說明
本教學設計需2課時完成.
1.課本第3.5節內容安排3課時，前兩課時學習三角形全等的邊角邊公理，重點練習直接應用公理及證明格式，初步學習尋找證明全等所需的非已知條件的方法，以及利用性質證明邊角的數量關系及直線的位置關系，第3課時加以鞏固并學習解決應用題和兩次全等的問題.
2.本節將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學目標 之一，目的是引起教師和學生的重視，只有學生真正認識到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，并發揮出他們的學習主動性.
3.本節課將“分析法和尋找證明全等三角形時非已知條件的方法”作為教學目標 之一，意在給學生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強化.
4.教材中將“利用證明兩個三角形全等來證明線段或角相等”的方法做為例5出現，為時過晚，達不到訓練的目的，因此教師應提前到第一、二課時，就教給學生分析的方法，并從各種角度加以訓練.
5.教師可將例題1和幾種變式練習制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學效率.教學使用時，重點放在題目的分析上，并體現出題目之間圖形的變化和內在聯系.
6.本節教學內容的兩課時既教會學生分析全等問題的思路——分析法和尋找非已知條件的方法，又要求他們落實證明的規范步驟——準備條件，指明范圍，列齊條件和得出結論，使學生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析，又會正確表達.學生學生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析，又會正確表達。節教學