數學教案－空間里的平行關系

教學建議

一、知識結構

在平行線知識的基礎上，教科書以學生對長方體的直觀認識為基礎，通過觀察長方體的某些棱與面、面與面的不相交，進而把它們想象成空間里的直線與平面、平面與平面的不相交，來建立空間里平行的概念.培養學生的空間觀念.

二、重點、難點分析

能認識空間里直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系既是本節教學重點也是難點.本節知識是線線平行的相關知識的延續，對培養學生的空間觀念，進一步研究空間中的點、線、面、體的關系具有重要的意義.

1.我們知道在同一平面內的兩條直線的位置關系有兩種：相交或平行，由于垂直和平行這兩種關系與人類的生產、生活密切相關，所以這兩種空間位置關系歷來受到人們的關注，前面我們學過在平面內直線與直線垂直的情況，以及在空間里直線與平面，平面與平面的垂直關系.

2.例如：在圖中長方體的棱AA與面ABCD垂直,面AABB與面ABCD互相垂直并且當時我們還從觀察中得出下面兩個結論:

(1)一條棱垂直于一個面內兩條相交的棱,這條棱與這個面就互相垂直.

(2)一個面經過另一個面的一條垂直的棱,這兩個面就互相垂直.

正如上述，在空間里有垂直情況一樣，在空間里也有平行的情況，首先看棱AB與面ABCD的位置關系,把棱AB向兩方延長,面ABCD向各個方向延伸,它們總也不會相交,像這樣的棱和面就是互相平行的,同樣,棱AB與面DDCC是互相平行的,棱AA與面BBCC、與面DDCC也是互相平行的.

再看面ABCD與ABCD,這兩個面無論怎樣延展,它們總也不會相交,像這樣的兩個面是互相平行的,面AABB與DDCC也是互相平行的.

3.直線與平面、平面與平面平行的判定

（1）不在平面內的一條直線，只要與平面內的某一條直線平行，那么，這條直線與這個平面平行。（直線與平面平行的判定）

（2）如果一個平面內兩條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面互相平行。（空間里平面與平面平行的判定）

三、教法建議

1.空間里的平行關系，是高中學習《立體幾何》的重要部分，本節知識在初中階段讓學生積累一些感性的認識.學習這節內容要注意聯系實物（如火柴盒，教室）中的線與線、線與面、面與面的關系就容易得多了.

2.本節在已有的對長方體的直觀認識的基礎上，通過對長方體的棱與面、面與面的不相交的觀察，介紹了空間里的直線與平面、平面與平面平行的關系.目的主要是培養空間思維，但只是一個初步的感性認識，只需基本了解，不需要系統地學習.

3.教學時應該注意的是這里所說的平面一定是無限延伸的.兩面墻平行，是指兩面墻所在的平面平行，不是指墻這一小部分平行.

教學設計示例

一、教學目標 

1.能借助長方體的棱與面、面與面的平行關系，說出空間里直線與平面、平面與平面的平行關系.

2.此外，在教學“空間里的平行關系”中，要培養學生的空間想象力.

3.通過平行關系在生活中的應用，培養學生的應用意識.

二、引導性材料

復習提問：

1.平面里，兩直線的位置關系有哪些？在空間里，兩直線的位置關系又有哪些？

2.試說出兩直線平行的意義.

前面，我們在學習“兩直線互相垂直”時，曾經學習過空間里的垂直關系.（可讓學生以教室為實例，說出一些線與面，面與面的垂直關系.）

前幾節課，又學習了“平行線”的有關知識，在實際生活中常常也說什么與什么“平行”.（教師演示：一根木條或鉛筆與桌面平行.）這種“平行”關系是什么樣的平行關系呢？你也能舉出一些這樣的實例嗎？這節課就研究這些問題.

三、知識產生和發展過程的教學設計

問題1—1：觀察下圖（也可要求學生攜帶一個長方體的包裝紙盒）中的長方體，棱AB與面ABCD的位置關系是什么？如果將棱AB向兩邊無限伸展，同時也將面ABCD向各個方向延展，它們之間有無可能相交？

問題1－2：圖中，你能以棱AB與面ABCD為一個具體例子，用類似于定義“平行線”的方法，給直線與平面平行下一個定義嗎？

（由學生口答，教師幫助完善，得出定義.）

問題1－3：圖中，除了棱AB外，還有與面ABCD平行的棱嗎？有哪幾條？

（由學生分別說出棱BC，CD，AD都與面ABCD平行.）

問題1－4：除了面ABCD外，棱AB還與哪個平面平行？

問題2—1：如下圖的長方體中，面ABCD與面ABCD能否相交？怎樣定義空間里的兩平面平行？

問題2－2：觀察你自己攜帶的長方體紙盒，能說出哪些平面平行嗎？

(可由學生討論后，請一位學生帶上紙盒，給學生邊演示，邊講解.)

四、例題解析

例題：如下圖，在長方體中，棱CD與哪些面平行？面ABCD與哪些棱平行？

答：棱CD與面ABBC、面ABCD平行；

面AADD棱BB、棱BC、棱CC、棱BC平行；

面ABBA與面DCCD平行.

（教師可根據教學的實際情況，對此例進行變式，如提出不同位置的線面.面面平行的問題.也可讓學生自己來提出問題.由學生自己借助長方體紙盒解答這些問題，以增強學生對空間平行關系的感知，發展想象能力.）

五、練習

課本第90頁練習第l、2題.

六、小結

本堂課以長方體（教室或紙盒）為實物模型，通過觀察長方體的棱與面、面與面的位置關系，并把它們想像成空間里的直線與平面、平面與平面，研究了空間里的線與面、面與面平行的關系.

我們生活在空間里，因而要養成用數學的眼光去觀察世界的習慣，并逐步地學會用數學知識去研究問題、解決問題.