由一道習題引出的數學思想和方法

看了《中小學數學》(小學版)2008年第3期喬斌老師的《小學數學教學中滲透數學思想方法的探索與思考》一文，感覺如遇知音，“編者語”又給我們指明了方向、筆者也堅持認為：數學思想是對數學知識、方法的本質認識。數學方法表現為一種模式，一種解決問題的途徑和手段，數學思想總是融合在數學知識中，并通過數學方法表現出來數學方法的內核又是數學思想，它是以數學思想為指導，又可升華為數學思想。學習和研究數學思想方法，有利于我們教師深刻的認識數學教學內容，以較高的觀點分析和利用教材，更有利于提高學生的數學素養。
下面我以蘇教版課標教材六年級(上冊)“分數四則混合運算”的一道習題：“操場跑道一圈長2/5千米，小華跑4圈用了2/15小時、平均每小時跑多少千米?”為例，談談教學時可以有哪些數學方法的表現和數學思想的滲透。
一、化歸思想及化歸法
化歸法是指將有待解決的問題通過某種途徑進行轉化，歸結為已解決或易于解決的問題，最終使原問題獲得解決的一種方法。化歸法根據轉化條件的不同，有轉化已知條件，轉化問題和轉化整個題目三種。此題體現為轉化條件+轉化條件：可以把“小華跑4圈用了2/15小時”轉化成“小華跑1圈用了1/30（2/15÷4）小時”，即原題轉化成“操場跑道一圈長2/5千米，小華跑1圈用了1/30小時。平均每小時跑多少千米?”，由原來的兩步轉化成一步，很容易就能解決問題。
二、建模思想
數學模型方法是指針對要解決的問題來構造相應的數學模型、再通過對數學模型的研究去解決實際問題的一種數學方法。數學公式既是反映客觀世界數量關系的符號，又是從現實世界抽象出來的數學模型，它具有典型的意義。此題是一道典型的行程問題，是研究速度、時間和路程相互關系的問題，其數學模型可用公式“路程=速度×時間”來表示。此題求的速度，即“平均每小時跑多少千米?”，只要用“路程÷時間”就能解決問題，也就是傳統意義上的數量關系在教學中的體現。
三、分析法
分析是將被研究對象的整體分解成若干個部分、方面、因素或層次，或從整體中區分出個別特性，個別方面的思維方法。即解答此題時，由問題“平均每小時跑多少千米”出發，想：要求“平均每小時跑多少千米”，需要知道哪兩個條件(路程、時間)，而條件中告訴我們“操場跑道一圈長2/5千米，小華跑4圈用了2/15小時”，也就逐步靠近了需知。由此可以引申出兩種做法：一是用1圈的路程除以1圈的時間，即2/5÷（2/15÷4）；二是用4圈的路程除以4圈的時間，即2/5×4÷2/15。
四、綜合法
綜合是在審題的基礎上，將已有的關于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認識聯結起來，形成一個整體的思維方法。即在解答此題時，從已知條件“操場跑道一圈長2/5千米，小華跑4圈用了2/15小時”出發，想：可以知道什么?并逐步求出未知。由此不但可以得到前兩種做法，還可引申出第三種解法：由“小華跑4圈用了2/15小時”可以知道小華平均每小時跑多少圈，再求出平均每小時跑多少千米。列式為4÷2/15×2/5。
五、假設法
假設法是根據題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后再進行推算，對數量上出現的矛盾適當調整，以求出原問題的答案。常用的假設法有條件假設，問題假設與情景假設，此題中假設法的滲透主要是條件假設和問題假設。
條件假設：可以把2/15小時假設成小華1圈所用的時間，2/5÷2/15求的就是小華的速度，而把4圈的時間假設成l圈的時間，顯然時間擴大了4倍，速度應縮小4倍，所以，還原時應乘4，列式為2/5÷2/15×4。
問題假設：可以把求“平均每小時跑多少千米?”假設成求“2/15小時跑多少千米?”，最后再還原到“l小時行多少千米?”，雖然列式與前面的有重復，但思路卻完全不同。 數學知識面廣量大，無論如何也學不完的，但思想方法只有有限的幾十種，如果教師在數學教學時能時時表現、滲透，那學生掌握后則終身受用。一道習題，引出了這么多的數學思想和方法，并不要求在教學時做到面面具全，但必須做到潛移默化、日積月累。在教學時，除了考慮到寫的明明白白的數學知識外，更要關注滲透在知識體系中的數學思想和方法，只有這樣我們才能收到時時“水滴”，方會“石穿”的效果。