由一道習題引出的數學思想和方法
看了《中小學數學》(小學版)2008年第3期喬斌老師的《小學數學教學中滲透數學思想方法的探索與思考》一文,感覺如遇知音,“編者語”又給我們指明了方向、筆者也堅持認為:數學思想是對數學知識、方法的本質認識。數學方法表現為一種模式,一種解決問題的途徑和手段,數學思想總是融合在數學知識中,并通過數學方法表現出來數學方法的內核又是數學思想,它是以數學思想為指導,又可升華為數學思想。學習和研究數學思想方法,有利于我們教師深刻的認識數學教學內容,以較高的觀點分析和利用教材,更有利于提高學生的數學素養。下面我以蘇教版課標教材六年級(上冊)“分數四則混合運算”的一道習題:“操場跑道一圈長2/5千米,小華跑4圈用了2/15小時、平均每小時跑多少千米?”為例,談談教學時可以有哪些數學方法的表現和數學思想的滲透。
一、化歸思想及化歸法
化歸法是指將有待解決的問題通過某種途徑進行轉化,歸結為已解決或易于解決的問題,最終使原問題獲得解決的一種方法。化歸法根據轉化條件的不同,有轉化已知條件,轉化問題和轉化整個題目三種。此題體現為轉化條件+轉化條件:可以把“小華跑4圈用了2/15小時”轉化成“小華跑1圈用了1/30(2/15÷4)小時”,即原題轉化成“操場跑道一圈長2/5千米,小華跑1圈用了1/30小時。平均每小時跑多少千米?”,由原來的兩步轉化成一步,很容易就能解決問題。
二、建模思想
數學模型方法是指針對要解決的問題來構造相應的數學模型、再通過對數學模型的研究去解決實際問題的一種數學方法。數學公式既是反映客觀世界數量關系的符號,又是從現實世界抽象出來的數學模型,它具有典型的意義。此題是一道典型的行程問題,是研究速度、時間和路程相互關系的問題,其數學模型可用公式“路程=速度×時間”來表示。此題求的速度,即“平均每小時跑多少千米?”,只要用“路程÷時間”就能解決問題,也就是傳統意義上的數量關系在教學中的體現。
三、分析法
分析是將被研究對象的整體分解成若干個部分、方面、因素或層次,或從整體中區分出個別特性,個別方面的思維方法。即解答此題時,由問題“平均每小時跑多少千米”出發,想:要求“平均每小時跑多少千米”,需要知道哪兩個條件(路程、時間),而條件中告訴我們“操場跑道一圈長2/5千米,小華跑4圈用了2/15小時”,也就逐步靠近了需知。由此可以引申出兩種做法:一是用1圈的路程除以1圈的時間,即2/5÷(2/15÷4);二是用4圈的路程除以4圈的時間,即2/5×4÷2/15。
四、綜合法
綜合是在審題的基礎上,將已有的關于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認識聯結起來,形成一個整體的思維方法。即在解答此題時,從已知條件“操場跑道一圈長2/5千米,小華跑4圈用了2/15小時”出發,想:可以知道什么?并逐步求出未知。由此不但可以得到前兩種做法,還可引申出第三種解法:由“小華跑4圈用了2/15小時”可以知道小華平均每小時跑多少圈,再求出平均每小時跑多少千米。列式為4÷2/15×2/5。
五、假設法
假設法是根據題目中的已知條件或問題作出某種假設,然后再進行推算,對數量上出現的矛盾適當調整,以求出原問題的答案。常用的假設法有條件假設,問題假設與情景假設,此題中假設法的滲透主要是條件假設和問題假設。
條件假設:可以把2/15小時假設成小華1圈所用的時間,2/5÷2/15求的就是小華的速度,而把4圈的時間假設成l圈的時間,顯然時間擴大了4倍,速度應縮小4倍,所以,還原時應乘4,列式為2/5÷2/15×4。
問題假設:可以把求“平均每小時跑多少千米?”假設成求“2/15小時跑多少千米?”,最后再還原到“l小時行多少千米?”,雖然列式與前面的有重復,但思路卻完全不同。 數學知識面廣量大,無論如何也學不完的,但思想方法只有有限的幾十種,如果教師在數學教學時能時時表現、滲透,那學生掌握后則終身受用。一道習題,引出了這么多的數學思想和方法,并不要求在教學時做到面面具全,但必須做到潛移默化、日積月累。在教學時,除了考慮到寫的明明白白的數學知識外,更要關注滲透在知識體系中的數學思想和方法,只有這樣我們才能收到時時“水滴”,方會“石穿”的效果。