卷五百七 列傳二百九十四

　　曾紀鴻，字栗誠，大學士國藩少子。恩賞舉人。早卒。紀鴻少年好學，與兄紀澤并精算術，尤神明於西人代數術。銳思勇進，創立新法，同輩多心折焉。謂大衍求一術亦可以代數推求，依題演之，理正相通，撰對數詳解五卷，始明代數之理，為不知代數者開其先路。中言對數之理，末言對數之用，明作書之本意。其於常對、訥對，辨析分明。先求得各真數之訥對，復以對數根乘之，即為常對數。級數朗然，有條不紊，雖初學循序漸進，無不可相說以解焉。

　　夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項梅侶入室弟子。講究曲線諸術，洞悉員出于方之理。匯通各法，推演以盡其變，譔洞方術圖解二卷，自序略曰：“自杜氏術出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細思連比例術者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術，必合諸乘方積而并求之。設不得諸乘方積遞差之故，方積何能并求？且并求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之數而后可，誠極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之數與諸乘尖堆之數，數異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數，增一根則增一較；方積之較數，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之數不變，故可省乘。若增其根差，非復單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術，俾求表者得以加減代乘除。并細繹立術之義，以俟精於術數者采擇。”

　　又譔致曲術一卷，曰平員，曰橢員，曰拋物線，曰雙曲線，曰擺線，曰對數曲線，曰螺線，凡七類。類皆自定新術，參差并列，法密理精。復著致曲圖解一卷，謂天為大員，天之賦物，莫不以員。顧員雖一名，形乃萬類。循員一匝，而曲線生焉。西人以線所生之次數分為諸類，一次式為直線；二次式有平員、橢員、拋物線、雙曲線四式；三次式有八十種；四次式有五千馀種；五次以上，殆難以數計矣。今但二次式四種，溯其本源，并附解諸乘方。拋物線形雖萬殊，理實一貫。諸曲線式備具於員錐體，員錐者，二次曲線之母也。橢員利用聚，拋物線利用遠，雙曲線利用散，其理皆出於平員。茍會其通，則制器尚象，仰觀俯察，為用無窮矣。今為一一解之，其目為諸曲線始於一點終於一點第一，諸式之心第二，準線第三，規線第四，橫直二徑第五，兌徑亦名相屬二徑第六，兩心差第七，法線切線第八，斜規線又名曲率徑第九，縱橫線式第十，諸式互為比例第十一，八線第十二。

　　又嘗立捷術以開各乘方，不論益積、翻積，通為一術，俱為坦途，可徑求平方根數十位，成少廣縋鑿一卷。

　　鸞翔同治三年卒。因方積之較而悟求求弦矢之術，骎骎乎駕西人而上之，然微分所棄之常數，猶方積之方與隅也。所求之變數，猶兩廉遞加之較也。其術施之曲線，無所不通，鸞翔猶待逐類立術，是則不能不讓西人以獨步。然西法開方，自三次式以上，皆枝枝節節為之，不及中法之一貫。鸞翔又於中法外獨創捷術，非西人所能望其項背云。

　　鄒伯奇，字特夫，南海諸生。聰敏絕世，覃思聲音文字度數之源。尤精天文歷算，能薈萃中、西之說而貫通之，靜極生明，多具神解。嘗作春秋經傳日月考，謂：“昔人考春秋者多矣，類以經、傳日月求之，未能精確。今以時憲術上推二百四十二年之朔閏及食限，然后以經、傳所書，質其合否，乃知有經誤、傳誤及術誤之分。”又謂：“尚書克殷年月，鄭玄據乾鑿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，凡三百四十八年。劉歆三統術以為積四百年，近人錢塘李銳皆主其說。今以時憲術上推，且以歲星驗之，始知鄭是劉非。”其解孟子“由周而來，七百有馀歲”句，謂閻百詩孟子生卒年月考據大事記及通鑒綱目，以孟子致為臣而歸在周赧王元年丁未，逆數至武王有天下，歲在己卯，當得八百有九年。然周共和以上年數，史遷已不能紀，可考者魯世家耳，此為劉歆歷譜所據。然將歆譜與史記比對，歆於煬公、獻公等年分多所加，共計五十二。若減其所加，則歆所謂八百有九年者，實七百五十七年耳。