卷五百七 列傳二百九十四

　　與郡人巴樹穀最友善，客江、淮間，又與焦孝廉循、江上舍藩、李秀才銳，辯論宋秦九韶、元李冶立天元一及正、負開方諸法。天性敏絕，極能攻堅，不肯茍於著述。凡所言，皆人所未言，與夫人所不能言。

　　嘗以古書八線之制，終於三分取一，用益實歸除法求之，其一表之真數，僅得十之二。因悟得五分之一通弦與五分之三通弦交錯為三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之數益密。梅氏環中黍尺，有以量代算之術，惟求倚平儀外周之兩角，而縮於內半周之角未詳。其法較易，因立新術，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆積法，不及三乘方以上，又復推而廣之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知積。并及諸物遞兼之法，以補古九章所未備。

　　又糾正梅文穆公句股知積術，及指識天元一，正、負開方之可知、不可知。其糾正句股知積術也，文穆赤水遺珍稱：“有句股積及股弦和較求句股，向無其術，苦思力索，立法四條。”其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法，文穆許之。萊謂：“句股形等積、等弦和，帶縱立方形等基、等高闊和，皆有兩形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股積二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦積亦四十九，句股積亦二百一十。設問者暗執一形，則對者交盲兩數。梅、丁諸公法成而不可用，蓋兩句弦較，與一句弦和，恒為連比例之三率。其兩句弦較，即首、末二率；兩較減一和之馀，即中率；而句弦和必為三率亻并。遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。以四倍句股積自乘，句弦和除之，為帶縱長立方積。以句弦和為縱，開得數為兩句弦較之中率，自乘為帶縱平方積。又以中率與句弦和相減為長闊和，求得長闊兩根為兩句股較，用求兩句股形各數。又同積之邊，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股積自乘，即兩形之倍句相乘為底，兩形之股相乘為高，即猶以中末乘首。中化為中率，再乘為立方三率，亻并為帶縱。由是推得立方形兩高數恒為首末二率，高闊和恒為三率，亻并數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。如高九闊十，高闊和十九，立方積九百。若高四闊十五，高闊和亦十九，立方積亦九百，其數莫不由兩形相引而出。故其法即命積為帶縱長立方積，以高闊和為所帶之縱。用帶縱長立方法開得本方根，為兩形高數之中率。與高闊和相減，馀為帶縱之平方長闊和。中率自乘，為帶縱平方積。用帶縱平方長闊和法開之，得長闊一根，為兩形之兩高數。兩高與和相減，為兩闊數�！�

　　其指識正、負開方也，“元李冶傳洞淵九容術，撰測圓海鏡、益古演段，以明天元如積相消，其究必用正、負開方，互詳於宋秦九韶數學九章。梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來，而正、負開方則未有闡明者。元和李秀才銳特為讎校，謂少廣一章，得此始貫於一。好古之士，翕然相從。萊獨推其有可知、有不可知。如測圓海鏡邊股第五問‘圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數’，而李仁卿專以二百四十為答。數學九章田域第二題‘尖田求積二百四十步與八百四十步共數’，而秦道古專以八百四十為答。乃自二乘方以下，縷析推之，得九十五條。凡幾根數為帶縱長闊較則可知，為帶縱長闊和則不可知。又推得幾真數少，幾根數又多，幾平方與一立方積等多少雜糅，和較莫定。立法以審之，以幾平方數用幾立方數除之，得數乘幾根數，以較幾真數。若少於真數，則以幾平方為高闊較，是為可知。若多於真數，則或幾平方為通分法，三母總數、幾真數為三母維乘之共數，幾根數為通分之共子，如二、如六、如十二。設真數一百四十四，少二百八，根數多二十，平方積與一立方積相等，則三數皆同，是為不可知。”

　　蓋以一答為可知，不止一答為不可知。故李秀才銳跋其書，括為三例以證明之。謂：“隅實同名者不可知；隅實異名，而從廉正負不雜者可知；隅實異名，而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。隅實異名，即帶縱之長闊較也，較僅一答；隅實同名，即帶縱之長闊和也，和則不止一答。”銳以隅實同名、異名，明一答與不止一答；萊以長闊、和較，明可知、不可知，其義一也。著有衡齋算學七冊，考定通藝錄磬氏倨句解一冊。