有關因式分解教案（通用15篇）
有關因式分解教案 篇1
整式乘除與因式分解
一.回顧知識點
1、主要知識回顧：
冪的運算性質：
aman=am+n(m、n為正整數)
同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
=amn(m、n為正整數)
冪的乘方，底數不變，指數相乘.
(n為正整數)
積的乘方等于各因式乘方的積.
=am-n(a≠0，m、n都是正整數，且m>n)
同底數冪相除，底數不變，指數相減.
零指數冪的概念：
a0=1(a≠0)
任何一個不等于零的數的零指數冪都等于l.
負指數冪的概念：
a-p=(a≠0，p是正整數)
任何一個不等于零的數的-p(p是正整數)指數冪，等于這個數的p指數冪的倒數.
也可表示為：(m≠0，n≠0，p為正整數)
單項式的乘法法則：
單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.
多項式與多項式的乘法法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.
單項式的除法法則：
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.
多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
2、乘法公式：
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.
②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
文字語言敘述：兩個數的和(或差)的平方等于這兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍.
3、因式分解：
因式分解的定義.
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.
掌握其定義應注意以下幾點：
(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;
(2)因式分解必須是恒等變形;
(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.
因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.
二、熟練掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：①系數一各項系數的最大公約數;②字母——各項含有的相同字母;③指數——相同字母的最低次數;
(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.
(4)注意點：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的.
2、公式法
運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用;
常用的公式：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
有關因式分解教案 篇2
引入:在整式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式，這種變形就是因式分解。什么叫因式分解？
知識詳解
知識點1 因式分解的定義
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
【說明】 (1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
例如:
(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗。
怎樣把一個多項式分解因式？
知識點2 提公因式法
多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的。因式m,我們把因式m叫做這個多項式的公因式。ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m,另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。例如:x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)。
探究交流
下列變形是否是因式分解？為什么？
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn。
典例剖析 師生互動
例1 用提公因式法將下列各式因式分解。
(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);
分析:(1)題直接提取公因式分解即可，(2)題首先要適當的變形， 再把b-a化成-(a-b)，然后再提取公因式。
小結 運用提公因式法分解因式時，要注意下列問題:
(1)因式分解的結果每個括號內如有同類項要合并，而且每個括號內不能再分解。
(2)如果出現像(2)小題需統一時，首先統一，盡可能使統一的個數少。這時注意到(a-b)n=(b-a)n(n為偶數)。
(3)因式分解最后如果有同底數冪，要寫成冪的形式。
學生做一做 把下列各式分解因式。
(1) (2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ;(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2
知識點3 公式法
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。即兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這個數的差的積。例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)。
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2。其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式。即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方。例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2。
探究交流
下列變形是否正確？為什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-1=(x-1)2。
例2 把下列各式分解因式。
(1) (a+b)2-4a2;(2)1-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9。
分析:本題旨在考查用完全平方公式分解因式。
學生做一做 把下列各式分解因式。
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2)(x+y)2-4(x+y-1)。
綜合運用
例3 分解因式。
(1)x3-2x2+x; (2) x2(x-y)+y2(y-x);
分析:本題旨在考查綜合運用提公因式法和公式法分解因式。
小結 解因式分解題時，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式;如果沒有公因式是兩項，則考慮能否用平方差公式分解因式。 是三項式考慮用完全平方式，最后，直到每一個因式都不能再分解為止。
探索與創新題
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k= 。
分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即兩數的平方和與這兩個數乘積的2倍的和(或差)。
學生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，則k= 。
課堂小結
用提公因式法和公式法分解因式，會運用因式分解解決計算問題。
各項有"公"先提"公"，首項有負常提負，某項提出莫漏"1"，括號里面分到"底"。
自我評價 知識鞏固
1。若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于( )
A。3 B。-5 C。7。 D。7或-1
2。若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是( )
A。2 B。4 C。6 D。8
3。分解因式:4x2-9y2= 。
4。已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值。
5。把多項式1-x2+2xy-y2分解因式
思考題 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10。
附:板書設計
因式分解
因式分解的定義 探究交流 探索創新
提公因式法 典例剖析 課堂小結
公式法 綜合運用 自我評價
有關因式分解教案 篇3
【教學目標】
1、了解因式分解的概念和意義;
2、認識因式分解與整式乘法的相互關系——相反變形，并會運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法。
【教學重點、難點】
重點是因式分解的概念，難點是理解因式分解與整式乘法的相互關系，并運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法。
【教學過程】
㈠、情境導入
看誰算得快：（搶答）
(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；
(3)若x=-3,則20x2+60x=____________。
㈡、探究新知
1、請每題答得最快的同學談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2=10000；
(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。
2、觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2=(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點。(等式的左邊是一個什么式子，右邊又是什么形式？)
3、類比小學學過的因數分解概念，得出因式分解概念。（學生概括，老師補充。）
板書課題：§6.1因式分解
因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
㈢、前進一步
1、讓學生繼續觀察：(a+b)(a-b)=a2-b2,(a-b)2=a2-2ab+b2，20x(x+3)=20x2+60x,它們是什么運算？與因式分解有何關系？它們有何聯系與區別？
2、因式分解與整式乘法的關系：
因式分解
結合：a2-b2（a+b）（a-b）
整式乘法
說明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。
結論：因式分解與整式乘法的相互關系——相反變形。
㈣、鞏固新知
1、下列代數式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？
(1)x2-3x+1=x(x-3)+1；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；
(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；
(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；(7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。
2、你能寫出整式相乘（其中至少一個是多項式）的兩個例子，并由此得到相應的兩個多項式的因式分解嗎？把結果與你的同伴交流。
㈤、應用解釋
例檢驗下列因式分解是否正確：
(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).
分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。
練習計算下列各題，并說明你的算法：(請學生板演)
(1)872+87×13
(2)1012-992
㈥、思維拓展
1.若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m=,n=
2.機動題：（填空）x2-8x+m=(x-4),且m=
㈦、課堂回顧
今天這節課，你學到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說出來大家分享。
㈧、布置作業
作業本（1）,一課一練
（九）教學反思：
有關因式分解教案 篇4
學習目標
1、學會用平方差公式進行因式法分解
2、學會因式分解的而基本步驟.
學習重難點重點：
用平方差公式進行因式法分解.
難點：
因式分解化簡的過程
自學過程設計教學過程設計
看一看
平方差公式：
平方差公式的逆運用：
做一做：
1.填空題.
(1)25a2-_______=(5a+2b)(5a-2b);(2)x2-=(x-)(________).
(3)-a2+b2=(b+a)(________);(4)36x2-81y2=9(_______)(_______).
2.把下列各式分解因式結果為-(x-2y)(x+2y)的多項式是
A.x2-4yB.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2
3.多項式-1+0.04a2分解因式的結果是
A.(-1+0.2a)2B.(1+0.2a)(1-0.2a)
C.(0.2a+1)(0.2a-1)D.(0.04a+1)(0.04a-1)
4.把下列各式分解因式：
(1)4x2-25y2;(2)0.81m2-n2;
(3)a3-9a;(4)8x3y3-2xy.
5.把下列各式分解因式：
(1)(3a+2b)2-(a-b)2;(2)4(x+2y)2-25(x-y)2.
6.用簡便方法計算：3492-2512.
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________________________________________________________
預習展示一：
1、下列多項式能否用平方差公式分解因式?
說說你的理由。
4x2+y2
4x2-(-y)2
-4x2-y2-4x2+y2
a2-4a2+3
2.把下列各式分解因式：
(1)16-a2
(2)0.01s2-t2
(4)-1+9x2
(5)(a-b)2-(c-b)2
(6)-(x+y)2+(x-2y)2
應用探究：
1、分解因式
4x3y-9xy3
變式：把下列各式分解因式
①x4-81y4
②2a-8a
2、從前有一位張老漢向地主租了一塊“十字型”土地(尺寸如圖)。為便于種植，他想換一塊相同面積的長方形土地。同學們，你能幫助張老漢算出這塊長方形土地的長和寬嗎?w
3、在日常生活中如上網等都需要密碼.有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯.
例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼,當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來的嗎?
小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時。用上述方法產生的密碼是什么?(寫出一個即可)
拓展提高：
若n為整數，則(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除嗎?請說明理由.
教后反思考察利用公式法因式分解的題目不會很難，但是需要學生記住公式的形式，之后利用公式把式子進行變形，從而達到進行因式分解的目的。
有關因式分解教案 篇5
學習目標
1、了解因式分解的意義以及它與正式乘法的關系。
2、能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法分解因式。
學習重點：
能用提公因式法分解因式。
學習難點：
確定因式的公因式。
學習關鍵
在確定多項式各項公因式時，應抓住各項的公因式來提公因式。
學習過程
一.知識回顧
1、計算
(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)
(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)
二、自主學習
1、閱讀課文P72-73的內容，并回答問題：
(1)知識點一：把一個多項式化為幾個整式的__________的形式叫做____________，也叫做把這個多項式__________。
(2)、知識點二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得
ma+mb+mc=m(a+b+c)
我們來分析一下多項式ma+mb+mc的特點;它的每一項都含有一個相同的因式m，m叫做各項的_________。如果把這個_________提到括號外面，這樣
ma+mb+mc就分解成兩個因式的積m(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種________的方法叫做________。
2、練一練。P73練習第1題。
三、合作探究
1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一種變形，左邊是幾個整式乘積形式，右邊是一個多項式。、
2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一種變形，左邊是_____________，右邊是_____________。
3、下列是由左到右的變形，哪些屬于整式乘法，哪些屬于因式分解?
(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)
(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-1
4、準確地確定公因式時提公因式法分解因式的關鍵，確定公因式可分兩步進行：
(1)確定公因式的數字因數，當各項系數都是整數時，他們的最大公約數就是公因式的數字因數。
例如：8a2b-72abc公因式的數字因數為8。
(2)確定公因式的字母及其指數，公因式的字母應是多項式各項都含有的'字母，其指數取最低的。故8a2b-72abc的公因式是8ab
四、展示提升
1、填空(1)a2b-ab2=ab(________)
(2)-4a2b+8ab-4b分解因式為__________________
(3)分解因式4x2+12x3+4x=__________________
(4)__________________=-2a(a-2b+3c)
2、P73練習第2題和第3題
五、達標測試。
1、下列各式從左到右的變形中，哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些兩者都不是?
(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m(2)mx-2m=m(x-2)
(3)2a(b+c)=2ab+2ac(4)(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3)
(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(6)(x-2)(x+2)=x2-4
2.課本P77習題8.5第1題
學習反思
一、知識點
二、易錯題
三、你的困惑
有關因式分解教案 篇6
第十五章 整式的乘除與因式分解
根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式.請分別指出它們的項和次數.
15.1.2 整式的加減
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8x－3x2）－5x－2（3x－2x2）
四、提高練習：
1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，問C是什么樣的.多項式？
2、設A＝2x2－3x＋2－x＋2，B＝4x2－6x＋22－3x－，若│x－2a│＋（＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點）的對應點如圖：
試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小 結：要善于在圖形變化中發現規律，能熟練的對整式加減進行運算。
作 業：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。
《課堂感悟與探究》
有關因式分解教案 篇7
教學目標
①在掌握了解因式分解意義的基礎上，會運用平方差公式和完全平方公式對比較簡單的多項式進行因式分解.
②在運用公式法進行因式分解的同時培養學生的觀察、比較和判斷能力以及運算能力，用不同的方法分解因式可以提高綜合運用知識的能力.
③進一步體驗“整體”的思想，培養“換元”的意識.
教學重點與難點
重點：運用完全平方公式法進行因式分解.
難點：觀察多項式的特點，判斷是否符合公式的特征和綜合運用分解的'方法，并完整地進行分解.
教學準備
要求學生對完全平方公式準確理解.
問題：你能將多項式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解嗎?這兩個多項式有什么特點?
建議：由于受到前面用平方差公式分解因式的影響，學生對于這兩個多項式因式分解比較容易想到用完全平方公式，學生容易接受，教師要把重點放在研究公式的特征上來.
注：可采用讓學生自主討論的方式進行教學，引導學生從多項式的項數、每項的特點、整個多項式的特點等幾個方面進行研究.然后交流各自的體會.
把多項式向公式的方向變形和轉化.
例5分解因式
(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4x-42
注：訓練學生運用完全平方公式分解因式，要盡可能地讓學生說和做，引導學生把多項式與公式進行比較找出不同點，把多項式向公式的方向轉化.
例6分解因式
(1)3ax2+6ax+3a2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
注：學生仔細觀察多項式的特點，教師適當提醒和指導，要從公式的形式和特點上進行比較.(可把a+b看作一個整體，設a+b=)
第2小題注意滲透換整體和換元的思想.
鞏固練習
教科書第170頁的練習題.
小結提高
1.舉一個例子說說應用完全平方公式分解因式的多項式應具有怎樣的特征.
2.談談多項式因式分解的思考方向和分解的步驟.
3.談談多項式因式分解的注意點.
注：對這些問題進行回顧和小結能從大的方面把握因式分解的方向和培養觀察能力.
布置作業
1.必做題：教科書第171頁習題15.4第4題，第5題；
2.選做題：教科書第171頁第10題；
有關因式分解教案 篇8
（一）學習目標
1、會用因式分解進行簡單的多項式除法
2、會用因式分解解簡單的方程
（二）學習重難點重點：因式分解在多項式除法和解方程中兩方面的應用。
難點：應用因式分解解方程涉及到的較多的推理過程是本節課的難點。
（三）教學過程設計
看一看
1.應用因式分解進行多項式除法.多項式除以多項式的一般步驟：
①________________②__________
2.應用因式分解解簡單的一元二次方程.
依據__________,一般步驟:__________
做一做
1.計算：
(1)(-a2b2+16)÷(4-ab);
(2)(18x2-12xy+2y2)÷(3x-y).
2.解下列方程：
(1)3x2+5x=0;
(2)9x2=(x-2)2;
(3)x2-x+=0.
3.完成課后練習題
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________
（四）預習檢測
1.計算：
2.先請同學們思考、討論以下問題：
(1)如果A×5=0，那么A的值
(2)如果A×0=0，那么A的值
(3)如果AB=0，下列結論中哪個正確
①A、B同時都為零，即A=0，
且B=0;
②A、B中至少有一個為零，即A=0，或B=0;
（五）應用探究
1.解下列方程
2.化簡求值：已知x-y=-3,-x+3y=2，求代數式x2-4xy+3y2的值
（六）拓展提高：
解方程：
1、(x2+4)2-16x2=0
2、已知a、b、c為三角形的三邊，試判斷a2-2ab+b2-c2大于零?小于零?等于零?
（七）堂堂清練習
1.計算
2.解下列方程
①7x2+2x=0
②x2+2x+1=0
③x2=(2x-5)2
④x2+3x=4x
有關因式分解教案 篇9
學習目標：經歷探索同底數冪的乘法運算性質的過程，能用代數式和文字正確地表述，并會熟練地進行計算。通過由特殊到一般的猜想與說理、驗證，發展推理能力和有條理的表達能力.
學習重點：同底數冪乘法運算性質的推導和應用.
學習過程：
一、創設情境引入新課
復習乘方an的意義：an表示個相乘，即an=.
乘方的結果叫a叫做，n是
問題：一種電子計算機每秒可進行1012次運算，它工作103秒可進行多少次運算?
列式為，你能利用乘方的意義進行計算嗎?
二、探究新知：
探一探：
1根據乘方的意義填空
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2;
(2)55×54=_________=5;
(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3);
(4)a6a7=________________=a.
(5)5m5n
猜一猜：aman=(m、n都是正整數)你能證明你的猜想嗎?
說一說：你能用語言敘述同底數冪的乘法法則嗎?
同理可得：amanap=(m、n、p都是正整數)
三、范例學習：
【例1】計算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x
1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.
2.計算：
(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.
【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.
(1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)
(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1
四、學以致用：
1.計算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=
⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=
2.判斷題：判斷下列計算是否正確?并說明理由
⑴a2a3=a6;⑵a2a3=a5;⑶a2+a3=a5;
⑷aa7=a0+7=a7;⑸a5a5=2a10;⑹25×32=67。
3.計算：
(1)xx2+x2x(2)x2xn+1+xn-2x4-xn-1x4
(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2
(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2
4.解答題：
(1)已知xm+nxm-n=x9，求m的值.
(2)據不完全統計，每個人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.34×1019個水分子，那么，每個人每年要用去多少個水分子?
有關因式分解教案 篇10
第1課時
1.使學生了解因式分解的意義,了解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.
2.讓學生會確定多項式中各項的公因式,會用提公因式法進行因式分解.
自主探索,合作交流.
1.通過與因數分解的類比,讓學生感悟數學中數與式的共同點,體驗數學的類比思想.
2.通過對因式分解的教學,培養學生“換元”的意識.
【重點】 因式分解的概念及提公因式法的應用.
【難點】 正確找出多項式中各項的公因式.
【教師準備】 多媒體.
【學生準備】 復習有關乘法分配律的知識.
導入一:
【問題】 一塊場地由三個長方形組成,這些長方形的長分別為,,,寬都是,求這塊場地的面積.
解法1:這塊場地的面積=×+×+×=++==2.
解法2:這塊場地的面積=×+×+×=×=×4=2.
從上面的解答過程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.
[設計意圖] 讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.
導入二:
【問題】 計算×15-×9+×2采用什么方法?依據是什么?
解法1:原式=-+==5.
解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.
解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.
[設計意圖] 讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.
一、提公因式法分解因式的概念
思路一
[過渡語] 上一節我們學習了什么是因式分解,那么怎樣進行因式分解呢?我們來看下面的'問題.
如果一塊場地由三個長方形組成,這三個長方形的長分別為a,b,c,寬都是,那么這塊場地的面積為a+b+c或(a+b+c),可以用等號來連接,即:a+b+c=(a+b+c).
大家注意觀察這個等式,等式左邊的每一項有什么特點?各項之間有什么聯系?等式右邊的項有什么特點?
分析:等式左邊的每一項都含有因式,等式右邊是與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過程是因式分解.
由于是左邊多項式a+b+c中的各項a,b,c都含有的一個相同因式,因此叫做這個多項式各項的公因式.
由上式可知,把多項式a+b+c寫成與多項式a+b+c的乘積的形式,相當于把公因式從各項中提出來,作為多項式a+b+c的一個因式,把從多項式a+b+c的各項中提出后形成的多項式a+b+c,作為多項式a+b+c的另一個因式.
總結:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.
[設計意圖] 通過實例的教學,使學生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.
思路二
[過渡語] 同學們,我們來看下面的問題,看看同學們誰先做出來.
多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式b2+nb-b呢?
結論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.
多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么?你能嘗試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?
結論:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.
[設計意圖] 從讓學生找出幾個簡單多項式的公因式,再到讓學生嘗試將多項式分解因式,使學生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.
二、例題講解
[過渡語] 剛剛我們學習了因式分解的一種方法,現在我們嘗試下利用這種方法進行因式分解吧.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)3x+x3;
(2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3c+ab;
(4)-24x3+12x2-28x.
〔解析〕 首先要找出各項的公因式,然后再提取出來.要避免提取公因式后,各項中還有公因式,即“沒提徹底”的現象.
解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).
(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).
(3)8a3b2-12ab3c+ab
=ab8a2b-ab12b2c+ab1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(4)-24x3+12x2-28x
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x6x2-4x3x+4x7)
=-4x(6x2-3x+7).
【學生活動】 通過剛才的練習,大家互相交流,總結出提取公因式的一般步驟和容易出現的問題.
總結:提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.
容易出現的問題(以本題為例):(1)第(2)題中只提出7x作為公因式;(2)第(3)題中最后一項提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時,沒有把后面的因式中的每一項都變號.
教師提醒:
(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括號內的多項式的項數與原多項式的項數相同;
(3)若多項式的首項為“-”,則先提取“-”號,然后再提取其他公因式;
(4)將分解因式后的式子再進行整式的乘法運算,其積應與原式相等.
[設計意圖] 經歷用提公因式法進行因式分解的過程,在教師的啟發與指導下,學生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時容易出現的類似問題,為提取公因式積累經驗.
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:
a+b+c=(a+b+c).
這里的字母a,b,c,可以是一個系數不為1的、多字母的、冪指數大于1的單項式.
2.提公因式法分解因式的關鍵在于發現多項式的公因式.
3.找公因式的一般步驟:
(1)若各項系數是整系數,則取系數的最大公約數;
(2)取各項中相同的字母,字母的指數取最低的;
(3)所有這些因式的乘積即為公因式.
1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )
A.-6ab2cB.-ab2
C.-6ab2D.-6a3b2c
解析:根據確定多項式各項的公因式的方法,可知公因式為-6ab2.故選C.
2.下列用提公因式法分解因式正確的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2+5x-=(x2+5x)
解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),錯誤;D.x2+5x-=(x2+5x-1),錯誤.故選C.
3.下列多項式中應提取的公因式為5a2b的是( )
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b-20a2b3+50a4b
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
解析:B.應提取公因式5ab2,錯誤;C.應提取公因式10a2b,錯誤;D.應提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.
4.填空.
(1)5a3+4a2b-12abc=a( );
(2)多項式32p2q3-8pq4的公因式是 ;
(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4)因式分解:+n= ;
(5)-15a2+5a= (3a-1);
(6)計算:21×3.14-31×3.14= .
答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4
5.用提公因式法分解因式.
(1)8ab2-16a3b3;
(2)-15x-5x2;
(3)a3b3+a2b2-ab;
(4)-3a3-6a2+12a.
解:(1)8ab2(1-2a2b).
(2)-5x(3+x).
(3)ab(a2b2+ab-1).
(4)-3a(a2+2a-4).
第1課時
一、教材作業
【必做題】
教材第96頁隨堂練習.
【選做題】
教材第96頁習題4.2.
二、課后作業
【基礎鞏固】
1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時,應提取的公因式是 .
2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .
3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .
【能力提升】
4.把下列各式因式分解.
(1)3x2-6x;
(2)5x23-25x32;
(3)-43+162-26;
(4)15x32+5x2-20x23.
【拓展探究】
5.分解因式:an+an+2+a2n.
6.觀察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….這列式子有什么規律?請你將猜想到的規律用含有字母n(n為自然數)的式子表示出來.
【答案與解析】
1.2ab
2.x(x-3)
3.(2x2-3x+42)
4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).
5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).
6.解:由題中給出的幾個式子可得出規律:n2+n=n(n+1).
本節運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,使學生易于理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由提公因數到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解.
在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.
由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形,它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡,比如在以后將要學習的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應該注重因式分解的概念和方法的教學.
隨堂練習(教材第96頁)
解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).
習題4.2(教材第96頁)
1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).
2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.
3.解:(1)不正確,因為提取的公因式不對,應為n(2n--1). (2)不正確,因為提取公因式-b后,第三項沒有變號,應為-b(ab-2a+3). (3)正確. (4)不正確,因為最后的結果不是乘積的形式,應為(a-2)(a+1).
提公因式法是本章的第2小節,占兩個課時,這是第一課時,它主要讓學生經歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過程,讓學生體會數學中的一種主要思想——類比思想.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解,進而使學生進一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關系.
已知方程組求7(x-3)2-2(3-x)3的值.
〔解析〕 將代數式分解因式,產生x-3與2x+兩個因式,再根據方程組整體代入,使計算簡便.
解:7(x-3)2-2(3-x)3
=(x-3)2[7+2(x-3)]
=(x-3)2(7+2x-6)
=(x-3)2(2x+).
由方程組可得原式=12×6=6.
有關因式分解教案 篇11
知識點：
因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。
教學目標：
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解因式。
考查重難點與常見題型：
考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點考查的.分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。
教學過程：
因式分解知識點
多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積。分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止。分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多項式
其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式。
（2）運用公式法，即用
寫出結果。
（3）十字相乘法
對于二次項系數為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對于一般的二次三項式尋找滿足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則
（4）分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行。
分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號。
（5）求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那么
2、教學實例：學案示例
3、課堂練習：學案作業
4、課堂：
5、板書：
6、課堂作業：學案作業
7、教學反思：
有關因式分解教案 篇12
教學目標：
1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式綜合應用；能利用平方差公式法解決實際問題。
2、經歷探究分解因式方法的過程，體會整式乘法與分解因式之間的聯系。
3、通過對公式的探究，深刻理解公式的應用，并會熟練應用公式解決問題。
4、通過探究平方差公式特點，學生根據公式自己取值設計問題，并根據公式自己解決問題的過程，讓學生獲得成功的體驗，培養合作交流意識。
教學重點：
應用平方差公式分解因式.
教學難點：
靈活應用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.
教學過程：
一、復習準備導入新課
1、什么是因式分解？判斷下列變形過程，哪個是因式分解？
①(x＋2)(x－2)= ②
③
2、我們已經學過的因式分解的方法有什么？將下列多項式分解因式。
x2+2x
a2b-ab
3、根據乘法公式進行計算：
(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=
二、合作探究學習新知
(一)猜一猜：你能將下面的多項式分解因式嗎？
（1）= (2)= (3)=
(二)想一想，議一議:觀察下面的公式:
＝（a＋b）（a—b）（
這個公式左邊的多項式有什么特征：_____________________________________
公式右邊是__________________________________________________________
這個公式你能用語言來描述嗎？_______________________________________
(三)練一練：
1、下列多項式能否用平方差公式來分解因式？為什么？
① ② ③ ④
2、你能把下列的數或式寫成冪的形式嗎？
(1)( )(2)( )(3)( )(4)=( )(5)36a4=2 (6)0.49b2=2 (7)81n6=2 (8)100p4q2=( )2
（四）做一做：
例3分解因式：
(1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2
（五）試一試：
例4下面的式子你能用什么方法來分解因式呢？請你試一試。
(1)x4-y4 (2)a3b-ab
（六）想一想：
某學校有一個邊長為85米的正方形場地，現在場地的四個角分別建一個邊長為5米的正方形花壇，問場地還剩余多大面積供學生課間活動使用？
有關因式分解教案 篇13
一、運用平方差公式分解因式
教學目標1、使學生了解運用公式來分解因式的意義。
2、使學生理解平方差公式的意義，弄清平方差公式的形式和特點;使學生知道把乘法公式反過來就可以得到相應的因式分解。
3、掌握運用平方差公式分解因式的方法，能正確運用平方差公式把多項式分解因式(直接用公式不超過兩次)
重點運用平方差公式分解因式
難點靈活運用平方差公式分解因式
教學方法對比發現法課型新授課教具投影儀
教師活動學生活動
情景設置：
同學們，你能很快知道992-1是100的倍數嗎?你是怎么想出來的?
(學生或許還有其他不同的`解決方法，教師要給予充分的肯定)
新課講解：
從上面992-1=(99+1)(99-1)，我們容易看出,這種方法利用了我們剛學過的哪一個乘法公式?
首先我們來做下面兩題：(投影)
1.計算下列各式:
(1)(a+2)(a-2)=;
(2)(a+b)(a-b)=;
(3)(3a+2b)(3a-2b)=.
2.下面請你根據上面的算式填空:
(1)a2-4=;
(2)a2-b2=;
(3)9a2-4b2=;
請同學們對比以上兩題，你發現什么呢?
事實上，像上面第2題那樣，把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做多項式的因式分解。(投影)
比如：a2–16=a2–42=(a+4)(a–4)
例題1：把下列各式分解因式;(投影)
(1)36–25x2;(2)16a2–9b2;
(3)9(a+b)2–4(a–b)2.
(讓學生弄清平方差公式的形式和特點并會運用)
例題2：如圖，求圓環形綠化區的面積
練習：第87頁練一練第1、2、3題
小結：
這節課你學到了什么知識，掌握什么方法?
教學素材：
A組題：
1.填空：81x2-=(9x+y)(9x-y);=
利用因式分解計算：=。
2、下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(A)(B)(C)(D)3.把下列各式分解因式
(1)1-16a2(2)9a2x2-b2y2
(3).49(a-b)2-16(a+b)2
B組題：
1分解因式81a4-b4=
2若a+b=1,a2+b2=1,則ab=;
3若26+28+2n是一個完全平方數，則n=.
由學生自己先做(或互相討論)，然后回答，若有答不全的，教師(或其他學生)補充.
學生回答1：
992-1=99×99-1=9801-1
=9800
學生回答2：992-1就是(99+1)(99-1)即100×98
學生回答:平方差公式
學生回答:
(1):a2-4
(2):a2-b2
(3):9a2-4b2
學生輕松口答
(a+2)(a-2)
(a+b)(a-b)
(3a+2b)(3a-2b)
學生回答:
把乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
反過來就得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
學生上臺板演：
36–25x2=62–(5x)2
=(6+5x)(6–5x)
16a2–9b2=(4a)2–(3b)2
=(4a+3b)(4a–3b)
9(a+b)2–4(a–b)2
=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2
=[3(a+b)+2(a–b)]
[3(a+b)–2(a–b)]
=(5a+b)(a+5b)
解：352π–152π
=π(352–152)
=(35+15)(35–15)π
=50×20π
=1000π(m2)
這個綠化區的面積是
1000πm2
學生歸納總結
有關因式分解教案 篇14
一、教學目標
【知識與技能】
了解運用公式法分解因式的意義，會用平方差分解因式;知道提公因式法分解因式是首先考慮的方法，再考慮用平方差分解因式。
【過程與方法】
通過對平方差特點的辨析，培養觀察、分析能力，訓練對平方差公式的應用能力。
【情感態度價值觀】
在逆用乘法公式的過程中，培養逆向思維能力，在分解因式時了解換元的思想方法。
二、教學重難點
【教學重點】
運用平方差公式分解因式。
【教學難點】
靈活運用公式法或已經學過的提公因式法分解因式;正確判斷因式分解的徹底性。
三、教學過程
(一)引入新課
我們學習了因式分解的定義，還學習了提公因式法分解因式。如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢?當然不是，大家知道因式分解與多項式乘法是互逆關系，能否利用這種關系找到新的因式分解的方法呢?
大家先觀察下列式子：
(1)(x+5)(x-5)=,(2)(3x+y)(3x-y)=,(3)(1+3a)(1-13a)=
他們有什么共同的特點?你可以得出什么結論?
(二)探索新知
學生獨立思考或者與同桌討論。
引導學生得出：①有兩項組成，②兩項的符號相反，③兩項都可以寫成數或式的平方的形式。
提問1：能否用語言以及數學公式將其特征表述出來?
有關因式分解教案 篇15
教學設計思想：
本小節依次介紹了平方差公式和完全平方公式，并結合公式講授如何運用公式進行多項式的因式分解。第一課時的內容是用平方差公式對多項式進行因式分解，首先提出新問題：x2-4與y2-25怎樣進行因式分解，讓學生自主探索，通過整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，發展學生的逆向思維和推理能力，然后讓學生獨立去做例題、練習中的題目，并對結果通過展示、解釋、相互點評，達到能較好的運用平方差公式進行因式分解的目的。第二課時利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養學生的思維品質。
教學目標
知識與技能：
會用平方差公式對多項式進行因式分解;
會用完全平方公式對多項式進行因式分解;
能夠綜合運用提公因式法、平方差公式、完全平方公式對多項式進行因式分解;
提高全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力。
過程與方法：
經歷用公式法分解因式的探索過程，進一步體會這兩個公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深對整式乘法和因式分解這兩個相反變形的認識，體會從正逆兩方面認識和研究事物的方法。
情感態度價值觀：
通過學習進一步理解數學知識間有著密切的聯系。
教學重點和難點
重點：
①運用平方差公式分解因式;
②運用完全平方式分解因式。
難點：
①靈活運用平方差公式分解因式，正確判斷因式分解的徹底性;
②靈活運用完全平方公式分解因式
關鍵：把握住因式分解的基本思路，觀察多項式的特征，靈活地運用換元和劃歸思想。