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《二次函數(shù)》教案

發(fā)布時(shí)間:2023-08-26

《二次函數(shù)》教案(精選15篇)

《二次函數(shù)》教案 篇1

  本節(jié)課在二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象,并探索它們之間的關(guān)系和各自的性質(zhì).旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況.同時(shí)對二次函數(shù)的研究,經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜,從特殊到一般的過程:先是從y=x2開始,然后是y=ax2,y=ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c.符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),體會(huì)建立二次函數(shù)對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的必要性.

  在教學(xué)中,主要是讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖象,通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

  等探索活動(dòng),使學(xué)生達(dá)到對拋物線自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.并能利用它的性質(zhì)解決問題.

  2.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(一)

  教學(xué)目標(biāo)

  (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)[

  1.能夠作出函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象,并能理解它與y=ax2的圖象的關(guān)系.理解a,h,k對二次函數(shù)圖象的影響.

  2.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

  (二)能力訓(xùn)練要求

  1.通過學(xué)生自己的探索活動(dòng),對二次函數(shù)性質(zhì)的研究,達(dá)到對拋物線自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.

  2.經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

  (三)情感與價(jià)值觀要求

  1.經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).

  2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)與人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.

  教學(xué)重點(diǎn)

  1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程.

  2.能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象,并能理解它與y=ax2的圖象的關(guān)系,理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響.

  3.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

  教學(xué)難點(diǎn)

  能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象,并能夠理解它與y=ax2的圖象的關(guān)系,理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響.

  教學(xué)方法

  探索比較總結(jié)法.

  教具準(zhǔn)備

  投影片四張

  第一張:(記作2.4.1 A)

  第二張:(記作2.4.1 B)

  第三張:(記作2.4.1 C)

  第四張:(記作2.4.1 D)

  教學(xué)過程

  Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境、引入新課

  [師]我們已學(xué)習(xí)過兩種類型的二次函數(shù),即y=ax2與y=ax2+c,知道它們都是軸對稱圖形,對稱軸都是y軸,有最大值或最小值.頂點(diǎn)都是原點(diǎn).還知道y=ax2+c的圖象是函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過上下移動(dòng)得到的,那么y=ax2的圖象能否左右移動(dòng)呢?它左右移動(dòng)后又會(huì)得到什么樣的函數(shù)形式,它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關(guān)問題.

  Ⅱ.新課講解

  一、比較函數(shù)y=3x2與y=3(X-1)2的圖象的性質(zhì).

  投影片:(2.4 A)

  (1)完成下表,并比較3x2和3(x-1)2的值,

  它們之間有什么關(guān)系?

  X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

  3x2

  3(x-1)2

  (2)在下圖中作出二次函數(shù)y=3(x-1)2的圖象.你是怎樣作的?

  (3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?

  (4)x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?

  [師]請大家先自己填表,畫圖象,思考每一個(gè)問題,然后互相討論,總結(jié).

  [生](1)第二行從左到右依次填:27.12,3,0,3, 12,27,48;第三行從左到右依次填48,27,12,3,0,3, 12,27.

  (2)用描點(diǎn)法作出y=3(x-1)2的圖象,如上圖.

  (3)二次函數(shù))y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同,開口方向也相同,但對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)不同,y=3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).

  (4)當(dāng)x1時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大,x1時(shí),y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小.

  [師]能否用移動(dòng)的觀點(diǎn)說明函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關(guān)系呢?

  [生]y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數(shù))y=3x2的圖象整體向右平移得到的.

  [師]能像上節(jié)課那樣比較它們圖象的性質(zhì)嗎?

  [生]相同點(diǎn):

  a.圖象都中拋物線,且形狀相同,開口方向相同.

  b. 都是軸對稱圖形.

  c.都有最小值,最小值都為0.

  d.在對稱軸左側(cè),y都隨x的增大而減小.在對稱軸右側(cè),y都隨x的增大而增大.

  不同點(diǎn):

  a.對稱軸不同,y=3x2的對稱軸是y軸y=3(x-1)2的對稱軸是x=1.

  b. 它們的位置不問.[來源:]

  c. 它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)不同. y=3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),y=3(x-1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

  聯(lián)系:

  把函數(shù)y=3x2的圖象向右移動(dòng)一個(gè)單位,則得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖像.

  二、做一做

  投影片:(2.4.1 B)

  在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.并比較它們圖象的性質(zhì).

  [生]圖象如下

  它們的圖象的性質(zhì)比較如下:

  相同點(diǎn):

  a.圖象都是拋物線,且形狀相同,開口方向相同.

  b. 都足軸對稱圖形,對稱軸都為x=1.

  c. 在對稱軸左側(cè),y都隨x的增大而減小,在對稱軸右側(cè),y都隨x的增大而增大.

  不同點(diǎn):

  a.它們的頂點(diǎn)不同,最值也不同.y=3(x-1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1.0),最小值為0.y=3(x-1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),最小值為2.

  b. 它們的位置不同.

  聯(lián)系:

  把函數(shù)y=3(x-1)2的圖象向上平移2個(gè)單位,就得到了函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象.

  三、總結(jié)函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系.

  [師]通過上畫的討論,大家能夠總結(jié)出這三種函數(shù)圖象之間的關(guān)系嗎?

  [生]可以.

  二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線.并且形狀相同,開口方向相同,只是位置不同,頂點(diǎn)不同,對稱軸不同,將函數(shù)y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖象;再向上平移2個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象.

  [師]大家還記得y=3x2與y=3x2-1的圖象之間的關(guān)系嗎?

  [生]記得,把函數(shù)y=3x2向下平移1個(gè)平位,就得到函數(shù)y=3x2-1的圖象.

  [師]你能系統(tǒng)總結(jié)一下嗎?

  [生]將函數(shù)y=3x2的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位,就得到了函數(shù)y=3x2-1的圖象,向上移動(dòng)1個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3x2+1的圖象;將y=3x2的圖象向右平移動(dòng)1個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖象:向左移動(dòng)1個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3(x+1)2的圖象;由函數(shù)y=3x2向右平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位,就得到函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象.

  [師]下面我們就一般形式來進(jìn)行總結(jié).

  投影片:(2.4.1 C)

  一般地,平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)為y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的圖象.

  (1)將y=ax2的圖象上下移動(dòng)便可得到函數(shù)y=ax2+c的圖象,當(dāng)c0時(shí),向上移動(dòng),當(dāng)c0時(shí),向下移動(dòng).

  (2)將函數(shù)y=ax2的圖象左右移動(dòng)便可得到函數(shù)y=a(x-h)2的圖象,當(dāng)h0時(shí),向右移動(dòng),當(dāng)h0時(shí),向左移動(dòng).

  (3)將函數(shù)y=ax2的圖象既上下移,又左右移,便可得到函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象.

  因此,這些函數(shù)的圖象都是一條拋物線,它們的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)與a,h,k的值有關(guān).

  下面大家經(jīng)過討論之后,填寫下表:

  y=a(x-h)2+k 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo)

  a0

  a0

  四、議一議

  投影片:(2,4.1 D)

  (1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?

  (2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?

  (3)對于二次函數(shù)y=3(x+1)2,當(dāng)x取哪些值時(shí),y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時(shí),y的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)y=3(x+1)2+4呢?

  [師]在不畫圖象的情況下,你能回答上面的問題嗎?

  [生](1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同,開口方向也相同,但對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)不同,y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0).只要將y=3x2的圖象向左平移1個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=3(x+1)2的圖象.

  (2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與y=-3x2的圖象形狀相同,只是位置不同,將函數(shù)y=-3x2的圖象向右平移2個(gè)單位,就得到y(tǒng)=-3(x-2)2的圖象,再向上平移4個(gè)單位,就得到y(tǒng)=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4).

  (3)對于二次函數(shù)y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4,它們的對稱軸都是x=-1,當(dāng)x-1時(shí),y的值隨x值的增大而減小;當(dāng)x-1時(shí),y的值隨x值的增大而增大.

  Ⅲ.課堂練習(xí)

  隨堂練習(xí)

  Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

  本節(jié)課進(jìn)一步探究了函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么這些問題.并作了歸納總結(jié).還能利用這個(gè)結(jié)果對其他的函數(shù)圖象進(jìn)行討論.

  Ⅴ.課后作業(yè)

  習(xí)題2.4

  Ⅵ.活動(dòng)與探究

  二次函數(shù)y= (x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)y= x2的圖象怎樣移動(dòng)得到的?它們之間是通過怎樣移動(dòng)得到的?

  解:y= (x+2)2-1的圖象是由y= x2的圖象向左平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得到的,y= (x-1)2+2的圖象是由y= x2的圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到的.

  y= (x+2)2-1的圖象向右平移3個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位得到y(tǒng)= (x-1)2+2的圖象.

  y= (x-1)2+2的圖象向左平移3個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位得到y(tǒng)= (x+2)2-1的圖象.

  板書設(shè)計(jì)

  4.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2的

  圖象和性質(zhì)(投影片2.4.1 A)

  2.做一做(投影片2.4.1 B)

  3.總結(jié)函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系(投影片2.4.1 C)

  4.議一議(投影片2.4.1 D)

  二、課堂練習(xí)

  1.隨堂練習(xí)

  2.補(bǔ)充練習(xí)

  三、課時(shí)小結(jié)

  四、課后作業(yè)

  備課資料

  參考練習(xí)

  在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的圖象,并討論它們的性質(zhì)與位置關(guān)系.

  解:圖象略

  它們都是拋物線,且開口方向都向下;對稱軸分別為y軸y軸,直線x=-1;頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(0,-1),(-1,-1).

  y=- x2的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位得到y(tǒng)=- x2-1 的圖象;y=- x2的圖象向左移動(dòng)1個(gè)單位,向下移動(dòng)1個(gè)單位,得到y(tǒng)=- (x+1)2-1的圖象.

《二次函數(shù)》教案 篇2

  學(xué)習(xí)目標(biāo):

  1、能夠分析和表示變量間的二次函數(shù)關(guān)系,并解決用二次函數(shù)所表示的問題。

  2、用三種方式表示變量間二次函數(shù)關(guān)系,從不同側(cè)面對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究。

  3、通過解決用二次函數(shù)所表示的問題,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力

  學(xué)習(xí)重點(diǎn):

  能夠分析和表示變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并解決用二次函數(shù)所表示的問題。

  能夠根據(jù)二次函數(shù)的不同表示方式,從不同的側(cè)面對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究。

  學(xué)習(xí)難點(diǎn):

  能夠分析和表示變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并解決用二次函數(shù)所表示的問題。

  學(xué)習(xí)過程:

  一、學(xué)前準(zhǔn)備

  函數(shù)的三種表示方式,即表格、表達(dá)式、圖象法,我們都不陌生,比如在商店的廣告牌上這樣寫著:一種豆子的售價(jià)與購買數(shù)量之間的關(guān)系如下:

  x(千克) 0 0。5 1 1。5 2 2。5 3

  y(元) 0 1 2 3 4 5 6

  這是售貨員為了便于計(jì)價(jià),常常制作這種表示售價(jià)與數(shù)量關(guān)系的表,即用表格表示函數(shù)。用表達(dá)式和圖象法來表示函數(shù)的情形我們更熟悉。這節(jié)課我們不僅要掌握三種表示方式,而且要體會(huì)三種方式之間的聯(lián)系與各自不同的特點(diǎn),在什么情況下用哪一種方式更好?

  二、探究活動(dòng)

  (一)合作探究:

  矩形的周長是20cm,設(shè)它一邊長為 ,面積為 cm2。 變化的規(guī)律是什么?你能分別用函數(shù)表達(dá)式、表格和圖象表示出來嗎?

  交流完成:

  (1)一邊長為x cm,則另一邊長為 cm,所以面積為: 用函數(shù)表達(dá)式表示: =________________________________。

  (2) 表格表示:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9

  10—

  (3)畫出圖象

  討論:函數(shù)的圖象在第一象限,可是我們知道開口向下的拋物線可以到達(dá)第四象限和第三象限,思考原因

  (二)議一議

  (1)在上述問題中,自變量x的取值范圍是什么?

  (2)當(dāng)x取何值時(shí),長方形的面積最大?它的最大面積是多少?你是怎樣得到的?請你描述一下y隨x的變化而變化的情況。

  點(diǎn)撥:自變量x的取值范圍即是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍。請大家互相交流。

  (1)因?yàn)閤是邊長,所以x應(yīng)取 數(shù),即x 0,又另一邊長(10—x)也應(yīng)大于 ,即10—x 0,所以x 10,這兩個(gè)條件應(yīng)該同時(shí)滿足,所以x的取值范圍是 。

  (2)當(dāng)x取何值時(shí),長方形的面積最大,就是求自變量取何值時(shí),函數(shù)有最大值,所以要把二次函數(shù)y=—x2+10x化成頂點(diǎn)式。當(dāng)x=— 時(shí),函數(shù)y有最大值y最大= 。當(dāng)x= 時(shí),長方形的面積最大,最大面積是25cm2。

  可以通過觀察圖象得知。也可以代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中求得。。

  (三)做一做:學(xué)生獨(dú)立思考完成P62,P63的函數(shù)表達(dá)式,表格,圖象問題

  (1)用函數(shù)表達(dá)式表示:y=________。

  (2)用表格表示:

  (3)用圖象表示:

  三、學(xué)習(xí)體會(huì)

  本節(jié)課你有哪些收獲?你還有哪些疑問?

  四、自我測試

  1、把長1。6米的鐵絲圍成長方形ABCD,設(shè)寬為x(m),面積為y(m2)。則當(dāng)最大時(shí),所取的值是( )

  A 0。5 B 0。4 C 0。3 D 0。6

  2、兩個(gè)數(shù)的和為6,這兩個(gè)數(shù)的積最大可能達(dá)到多少?利用圖象描述乘積與因數(shù)之間的關(guān)系。

  3、把一根長120cm的鐵絲分為兩部分,每一部分均彎曲成一個(gè)正方形,它們的面積和是多少?它們的面積和的最小值是多少?

  (選作題)邊長為12的正方形鐵片,中間剪去一個(gè)邊長為x(cm)的小正方形鐵片,剩下的四方框鐵片的面積y(cm2)與x(cm)之間的函數(shù)表達(dá)式為

《二次函數(shù)》教案 篇3

  一、教學(xué)目標(biāo):

  1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

  2.理解拋物線交x軸的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系,理解何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.

  3.能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。

  二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

  教學(xué)重點(diǎn):

  1.體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

  2.能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。

  教學(xué)難點(diǎn):

  1.探索方程與函數(shù)之間關(guān)系的過程。

  2.理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

  三、教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo) 合作交流

  四:教具、學(xué)具:課件

  五、教學(xué)媒體:計(jì)算機(jī)、實(shí)物投影。

  六、教學(xué)過程:

  檢查預(yù)習(xí) 引出課題

  預(yù)習(xí)作業(yè):

  1.解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0.

  2. 回顧一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系,利用函數(shù)的圖象求方程3x-4=0的解.

  師生行為:教師展示預(yù)習(xí)作業(yè)的內(nèi)容,指名回答,師生共同回顧舊知,教師做出適當(dāng)總結(jié)和評價(jià)。

  教師重點(diǎn)關(guān)注:學(xué)生回答問題結(jié)論準(zhǔn)確性,能否把前后知識(shí)聯(lián)系起來,2題的格式要規(guī)范。

  設(shè)計(jì)意圖:這兩道預(yù)習(xí)題目是對舊知識(shí)的回顧,為本課的教學(xué)起到鋪墊的作用,1題中的三個(gè)方程是課本中觀察欄目中的三個(gè)函數(shù)式的變式,這三個(gè)方程把二次方程的根的三種情況體現(xiàn)出來,讓學(xué)生回顧二次方程的相關(guān)知識(shí);2題是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系的問題,這題的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生用學(xué)過的熟悉的知識(shí)類比探究本課新知識(shí)。

《二次函數(shù)》教案 篇4

  2.4二次函數(shù)=ax2+bx+c的圖象

  本節(jié)課在二次函數(shù)=ax2和=ax2+c的圖象的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象,并探索它們之間的關(guān)系和各自的性質(zhì).旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況.同時(shí)對二次函數(shù)的研究,經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜,從特殊到一般的過程:先是從=x2開始,然后是=ax2,=ax2+c,最后是=a(x-h)2,=a(x-h)2+,=ax2+bx+c.符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),體會(huì)建立二次函數(shù)對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的必要性.

  在教學(xué)中,主要是讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖象,通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

  等探索活動(dòng),使學(xué)生達(dá)到對拋物線自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.并能利用它的性質(zhì)解決問題.

  2.4二次函數(shù)=ax2+bx+c的圖象(一)

  教學(xué)目標(biāo)

  (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)[

  1.能夠作出函數(shù)=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象,并能理解它與=ax2的圖象的關(guān)系.理解a,h,對二次函數(shù)圖象的影響.

  2.能夠正確說出=a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

  (二)能力訓(xùn)練要求

  1.通過學(xué)生自己的探索活動(dòng),對二次函數(shù)性質(zhì)的研究,達(dá)到對拋物線自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.

  2.經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

  (三)情感與價(jià)值觀要求

  1.經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).

  2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)與人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.

  教學(xué)重點(diǎn)[:Wz5u.c]

  1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)=ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程.

  2.能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象,并能理解它與=ax2的圖象的關(guān)系,理解a、h、對二次函數(shù)圖象的影響.

  3.能夠正確說出=a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

  教學(xué)難點(diǎn)

  能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象,并能夠理解它與=ax2的圖象的關(guān)系,理解a、h、對二次函數(shù)圖象的影響.

  教學(xué)方法

  探索——比較——總結(jié)法.

  教具準(zhǔn)備

  投影片四張

  第一張:(記作2.4.1 A)

  第二張:(記作2.4.1 B)

  第三張:(記作2.4.1 C)

  第四張:(記作2.4.1 D)

  教學(xué)過程

  Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境、引入新課

  [師]我們已學(xué)習(xí)過兩種類型的二次函數(shù),即=ax2與=ax2+c,知道它們都是軸對稱圖形,對稱軸都是軸,有最大值或最小值.頂點(diǎn)都是原點(diǎn).還知道=ax2+c的圖象是函數(shù)=ax2的圖象經(jīng)過上下移動(dòng)得到的,那么=ax2的圖象能否左右移動(dòng)呢?它左右移動(dòng)后又會(huì)得到什么樣的函數(shù)形式,它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關(guān)問題.

  Ⅱ.新課講解

  一、比較函數(shù)=3x2與=3(X-1)2的圖象的性質(zhì).

  投影片:(2.4 A)

  (1)完成下表,并比較3x2和3(x-1)2的值,

  它們之間有什么關(guān)系?

  X-3-2-101234

  3x2

  3(x-1)2

  (2)在下圖中作出二次函數(shù)=3(x-1)2的圖象.你是怎樣作的?

  (3)函數(shù)=3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?

  (4)x取哪些值時(shí),函數(shù)=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?

  [師]請大家先自己填表,畫圖象,思考每一個(gè)問題,然后互相討論,總結(jié).

  [生](1)第二行從左到右依次填:27.12,3,0,3, 12,27,48;第三行從左到右依次填48,27,12,3,0,3, 12,27.

  (2)用描點(diǎn)法作出=3(x-1)2的圖象,如上圖.

  (3)二次函數(shù))=3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象形狀相同,開口方向也相同,但對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)不同,=3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).

  (4)當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大,x0時(shí),向上移動(dòng),當(dāng)c0時(shí),向右移動(dòng),當(dāng)h-1時(shí),的值隨x值的增大而增大.

  Ⅲ.課堂練習(xí)

  隨堂練習(xí)

  Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

  本節(jié)課進(jìn)一步探究了函數(shù)=3x2與=3(x-1)2,=3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么這些問題.并作了歸納總結(jié).還能利用這個(gè)結(jié)果對其他的函數(shù)圖象進(jìn)行討論.

  Ⅴ.課后作業(yè)

  習(xí)題2.4

  Ⅵ.活動(dòng)與探究

  二次函數(shù)= (x+2)2-1與= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)= x2的圖象怎樣移動(dòng)得到的?它們之間是通過怎樣移動(dòng)得到的?

  解:= (x+2)2-1的圖象是由= x2的圖象向左平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得到的,= (x-1)2+2的圖象是由= x2的圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到的.

  = (x+2)2-1的圖象向右平移3個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位得到= (x-1)2+2的圖象.

  = (x-1)2+2的圖象向左平移3個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位得到= (x+2)2-1的圖象.

  板書設(shè)計(jì)

  4.2.1 二次函數(shù)=ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)=3x2與=3(x-1)2的

  圖象和性質(zhì)(投影片2.4.1 A)

  2.做一做(投影片2.4.1 B)

  3.總結(jié)函數(shù)=3x2,=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系(投影片2.4.1 C)

  4.議一議(投影片2.4.1 D)

  二、課堂練習(xí)

  1.隨堂練習(xí)

  2.補(bǔ)充練習(xí)

  三、課時(shí)小結(jié)

  四、課后作業(yè)

  備課資料

  參考練習(xí)

  在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的圖象,并討論它們的性質(zhì)與位置關(guān)系.

  解:圖象略

  它們都是拋物線,且開口方向都向下;對稱軸分別為軸軸,直線x=-1;頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(0,-1),(-1,-1).

  =- x2的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位得到=- x2-1 的圖象;=- x2的圖象向左移動(dòng)1個(gè)單位,向下移動(dòng)1個(gè)單位,得到=- (x+1)2-1的圖象.

《二次函數(shù)》教案 篇5

  教學(xué)目標(biāo):

  1. 1. 理解二次函數(shù)的意義;會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象,知道拋物線的有關(guān)概念;

  2. 2. 通過變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性;

  3. 3. 通過二次函數(shù)的教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究函數(shù)的一般方法;加深對于數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)。

  教學(xué)重點(diǎn):二次函數(shù)的意義;會(huì)畫二次函數(shù)圖象。

  教學(xué)難點(diǎn):描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象,數(shù)與形相互聯(lián)系。

  教學(xué)過程設(shè)計(jì):

  一. 創(chuàng)設(shè)情景、建模引入

  我們已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)及一次函數(shù),現(xiàn)在來看看下面幾個(gè)例子:

  1.寫出圓的半徑是R(CM),它的面積S(CM2)與R的關(guān)系式

  答:S=πR2. ①

  2.寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地,矩形面積S(M2)與矩形一邊長L(M)之間的關(guān)系

  答:S=L(30-L)=30L-L2 ②

  分析:①②兩個(gè)關(guān)系式中S與R、L之間是否存在函數(shù)關(guān)系?

  S是否是R、L的一次函數(shù)?

  由于①②兩個(gè)關(guān)系式中S不是R、L的一次函數(shù),那么S是R、L的什么函數(shù)呢?這樣的函數(shù)大家能不能猜想一下它叫什么函數(shù)呢?

  答:二次函數(shù)。

  這一節(jié)課我們將研究二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。(板書課題)

  二. 歸納抽象、形成概念

  一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0) ,

  那么,y叫做x的二次函數(shù).

  注意:(1)必須a≠0,否則就不是二次函數(shù)了.而b,c兩數(shù)可以是零.(2) 由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式,所以x的取值范圍是任意實(shí)數(shù).

  練習(xí):1.舉例子:請同學(xué)舉一些二次函數(shù)的例子,全班同學(xué)判斷是否正確。

  2.出難題:請同學(xué)給大家出示一個(gè)函數(shù),請同學(xué)判斷是否是二次函數(shù)。

  (若學(xué)生考慮不全,教師給予補(bǔ)充。如: ; ; ; 的形式。)

  (通過學(xué)生觀察、歸納定義加深對概念的理解,既培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力,有培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神。并通過開放性的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語,也增添了課堂的趣味性。)

  由前面一次函數(shù)的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道研究函數(shù)一般應(yīng)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。二次函數(shù)我們也會(huì)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。

  (在這里指出學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法,旨在及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo);并將此方法形成技能,以指導(dǎo)今后的學(xué)習(xí);進(jìn)一步培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。)

  三. 嘗試模仿、鞏固提高

  讓我們先從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手展開研究

  1. 1. 嘗試:大家知道一次函數(shù)的圖象是一條直線,那么二次函數(shù)的圖象是什么呢?

  請同學(xué)們畫出函數(shù)y=x2的圖象。

  (學(xué)生分別畫圖,教師巡視了解情況。)

《二次函數(shù)》教案 篇6

  〖大綱要求〗

  1. 理解二次函數(shù)的概念;

  2. 會(huì)把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式,確定圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸和開口方向,會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象;

  3. 會(huì)平移二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象得到二次函數(shù)y=a(ax+m)2+k的圖象,了解特殊與一般相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的思想;

  4. 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

  5. 利用二次函數(shù)的圖象,了解二次函數(shù)的增減性,會(huì)求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的最大值、最小值,了解二次函數(shù)與一元二次方程和不等式之間的聯(lián)系,數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)。

  內(nèi)容

  (1)二次函數(shù)及其圖象

  如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么,y叫做x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)的圖象是拋物線,可用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象。

  (2)拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸和開口方向

  拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)是 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

  20.某幢建筑物,從10米高的窗口A用水管和向外噴水,噴的水流呈拋物線(拋物線所在平面與墻面垂直,(如圖)如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米,離地面米,則水流下落點(diǎn)B離墻距離OB是( )

  (A)2米 (B)3米 (C)4米 (D)5米

  三.解答下列各題(21題6分,22----25每題4分,26-----28每題6分,共40分)

  21.已知:直線y=x+k過點(diǎn)A(4,-3)。(1)求k的值;(2)判斷點(diǎn)B(-2,-6)是否在這條直線上;(3)指出這條直線不過哪個(gè)象限。

  22.已知拋物線經(jīng)過A(0,3),B(4,6)兩點(diǎn),對稱軸為x=,

  (1) 求這條拋物線的解析式;

  (2) 試證明這條拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)中,必有一點(diǎn)C,使得對于x軸上任意一點(diǎn)D都有AC+BC≤AD+BD。

  23.已知:金屬棒的長1是溫度t的一次函數(shù),現(xiàn)有一根金屬棒,在O℃時(shí)長度為200cm,溫度提高1℃,它就伸長0.002cm。

  (1) 求這根金屬棒長度l與溫度t的函數(shù)關(guān)系式;

  (2) 當(dāng)溫度為100℃時(shí),求這根金屬棒的長度;

  (3) 當(dāng)這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6cm時(shí),求這時(shí)金屬棒的溫度。

  24.已知x1,x2,是關(guān)于x的方程x2-3x+m=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,設(shè)s=x12+x22

  (1) 求S關(guān)于m的解析式;并求m的取值范圍;

  (2) 當(dāng)函數(shù)值s=7時(shí),求x13+8x2的值;

  25.已知拋物線y=x2-(a+2)x+9頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,求a的值。

  26、如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:

  (1) 四邊形CGEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和X的取值范圍;

  (2) 當(dāng)x為何值時(shí),S的數(shù)值是x的4倍。

  27、國家對某種產(chǎn)品的稅收標(biāo)準(zhǔn)原定每銷售100元需繳稅8元(即稅率為8%),臺(tái)洲經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)某工廠計(jì)劃銷售這種產(chǎn)品m噸,每噸2000元。國家為了減輕工人負(fù)擔(dān),將稅收調(diào)整為每100元繳稅(8-x)元(即稅率為(8-x)%),這樣工廠擴(kuò)大了生產(chǎn),實(shí)際銷售比原計(jì)劃增加2x%。

  (1) 寫出調(diào)整后稅款y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式,指出x的取值范圍;

  (2) 要使調(diào)整后稅款等于原計(jì)劃稅款(銷售m噸,稅率為8%)的78%,求x的值.

  28、已知拋物線y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)與y軸的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為B,C(B點(diǎn)在C點(diǎn)左邊)

  (1) 寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);

  (2) 設(shè)m=a2-2a+4試問是否存在實(shí)數(shù)a,使△ABC為Rt△?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由;

  (3) 設(shè)m=a2-2a+4,當(dāng)∠BAC最大時(shí),求實(shí)數(shù)a的值。

  習(xí)題2:

  一.填空(20分)

  1.二次函數(shù)=2(x - )2 +1圖象的對稱軸是 。

  2.函數(shù)y= 的自變量的取值范圍是 。

  3.若一次函數(shù)y=(m-3)x+m+1的圖象過一、二、四象限,則的取值范圍是 。

  4.已知關(guān)于的二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)(1,-1),且圖象過點(diǎn)(0,-3),則這個(gè)二次函數(shù)解析式為 。

  5.若y與x2成反比例,位于第四象限的一點(diǎn)P(a,b)在這個(gè)函數(shù)圖象上,且a,b是方程x2-x -12=0的兩根,則這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式 。

  6.已知點(diǎn)P(1,a)在反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象上,其中a=m2+2m+3(m為實(shí)數(shù)),則這個(gè)函數(shù)圖象在第 象限。

  7. x,y滿足等式x= ,把y寫成x的函數(shù) ,其中自變量x的取值范圍是 。

  8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c+(a 0)的圖象如圖,則點(diǎn)P(2a-3,b+2)

  在坐標(biāo)系中位于第 象限

  9.二次函數(shù)y=(x-1)2+(x-3)2,當(dāng)x= 時(shí),達(dá)到最小值 。

  10.拋物線y=x2-(2m-1)x- 6m與x軸交于(x1,0)和(x2,0)兩點(diǎn),已知x1x2=x1+x2+49,要使拋物線經(jīng)過原點(diǎn),應(yīng)將它向右平移 個(gè)單位。

  二.選擇題(30分)

  11.拋物線y=x2+6x+8與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)( )

  (A)(0,8) (B)(0,-8) (C)(0,6) (D)(-2,0)(-4,0)

  12.拋物線y=- (x+1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)( )

  (A)(1,3) (B)(1,-3) (C)(-1,-3) (D)(-1,3)

  13.如圖,如果函數(shù)y=kx+b的圖象在第一、二、三象限,那么函數(shù)y=kx2+bx-1的圖象大致是( )

  14.函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是( )

  (A)x 2 (B)x- 2且x 1 (D)x 2且x –1

  15.把拋物線y=3x2先向上平移2個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位,所得拋物線的解析式是( )

  (A)=3(x+3)2 -2 (B)=3(x+2)2+2 (C)=3(x-3)2 -2 (D)=3(x-3)2+2

  16.已知拋物線=x2+2mx+m -7與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)兩旁,則關(guān)于x的方程 x2+(m+1)x+m2+5=0的根的情況是( )

  (A)有兩個(gè)正根 (B)有兩個(gè)負(fù)數(shù)根 (C)有一正根和一個(gè)負(fù)根 (D)無實(shí)根

  17.函數(shù)y=- x的圖象與圖象y=x+1的交點(diǎn)在( )

  (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

  18.如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象,如圖,

  則代數(shù)式b+c-a與0的關(guān)系( )

  (A)b+c-a=0 (B)b+c-a>0 (C)b+c-a100時(shí),分別寫出y關(guān)于x的函數(shù)

  關(guān)系式;

  (1)求證;不論m取何值,拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn),并且有一個(gè)交點(diǎn)是A(2,0);

  (2)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,AB的長為d,求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式;

  (3)設(shè)d=10,P(a,b)為拋物線上一點(diǎn):

  ①當(dāng)⊿ABP是直角三角形時(shí),求b的值;

  ②當(dāng)⊿ABP是銳角三角形,鈍角三角形時(shí),分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)

  28、已知二次函數(shù)的圖象 與x軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊),與y軸的交點(diǎn)為C;

  (1)若⊿ABC為Rt⊿,求m的值;

  (1)在⊿ABC中,若AC=BC,求sin∠ACB的值;

  (3)設(shè)⊿ABC的面積為S,求當(dāng)m為何值時(shí),s有最小值.并求這個(gè)最小值。

《二次函數(shù)》教案 篇7

  教學(xué)目標(biāo):

  1、經(jīng)歷描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的過程;

  2、學(xué)會(huì)觀察、歸納、概括函數(shù)圖像的特征;

  3、掌握 型二次函數(shù)圖像的特征;

  4、經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程,學(xué)會(huì)合情推理。

  教學(xué)重點(diǎn):

  型二次函數(shù)圖像的描繪和圖像特征的歸納

  教學(xué)難點(diǎn):

  選擇適當(dāng)?shù)淖宰兞康闹岛拖鄳?yīng)的函數(shù)值來畫函數(shù)圖像,該過程較為復(fù)雜。

  教學(xué)設(shè)計(jì)

  一、回顧知識(shí)

  前面我們在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)時(shí)時(shí)如何進(jìn)一步研究這些函數(shù)的? 先(用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像,再結(jié)合圖像研究性質(zhì)。)

  引入:我們仿照前面研究函數(shù)的方法來研究二次函數(shù),先從最特殊的形式即 入手。因此本節(jié)課要討論二次函數(shù) ( )的圖像。

  板書課題:二次函數(shù) ( )圖像

  二、探索圖像

  1、 用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 和 圖像

  (1) 列表

  引導(dǎo)學(xué)生觀察上表,思考一下問題:

  ①無論x取何值,對于 來說,y的值有什么特征?對于 來說,又有什么特征?

  ②當(dāng)x取 等互為相反數(shù)時(shí),對應(yīng)的y的值有什么特征?

  (2) 描點(diǎn)(邊描點(diǎn),邊總結(jié)點(diǎn)的位置特征,與上表中觀察的結(jié)果聯(lián)系起來).

  (3) 連線,用平滑曲線按照x由小到大的順序連接起來,從而分別得到 和 的圖像。

  2、 練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù) 和 的圖像。

  學(xué)生畫圖像,教師巡視并輔導(dǎo)學(xué)困生。(利用實(shí)物投影儀進(jìn)行講評)

  3、二次函數(shù) ( )的圖像

  由上面的四個(gè)函數(shù)圖像概括出:

  (1) 二次函數(shù)的 圖像形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線,

  (2) 這條拋物線關(guān)于y軸對稱,y軸就是拋物線的對稱軸。

  (3) 對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。注意:頂點(diǎn)不是與y軸的交點(diǎn)。

  (4) 當(dāng) 時(shí),拋物線的開口向上,頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn),圖像在x軸的上方(除頂點(diǎn)外);當(dāng) 時(shí),拋物線的開口向下,頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)圖像在x軸的 下方(除頂點(diǎn)外)。

  (最好是用幾何畫板演示,讓學(xué)生加深理解與記憶)

  三、課堂練習(xí)

  觀察二次函數(shù) 和 的圖像

  (1) 填空:

  拋物線

  頂點(diǎn)坐標(biāo)

  對稱軸

  位 置

  開口方向

  (2)在同一坐標(biāo)系內(nèi),拋物線 和拋物線 的位置有什么關(guān)系?如果在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫二次函數(shù) 和 的圖像怎樣畫更簡便?

  (拋物線 與拋物線 關(guān)于x軸對稱,只要畫出 與 中的一條拋物線,另一條可利用關(guān)于x軸對稱來畫)

  四、例題講解

  例題:已知二次函數(shù) ( )的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3)。

  (1) 求a 的值,并寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

  (2) 說出這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向和圖像的位置。

  練習(xí):(1)課本第31頁課內(nèi)練習(xí)第2題。

  (2) 已知拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)a(-2,-8)。

  (1)求此拋物線的函數(shù)解析式;

  (2)判斷點(diǎn)b(-1,- 4)是否在此拋物線上。

《二次函數(shù)》教案 篇8

  教學(xué)設(shè)計(jì)

  一 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

  通過小球飛行高度問題展示二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。然后進(jìn)一步舉例說明,從而得出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。最后通過例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。

  二 教學(xué)目標(biāo)

  1 知識(shí)與技能

  (1).經(jīng)歷探索函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。總結(jié)出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系,表述何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.

  (2).會(huì)利用圖象法求一元二次方程的近似解。

  2 過程與方法

  經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

  三 情感態(tài)度價(jià)值觀

  通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),討論一元二次方程的根的情況培養(yǎng)學(xué)生自主探索意識(shí),從中體會(huì)事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

  四 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

  重點(diǎn):方程與函數(shù)之間的聯(lián)系,會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。

  難點(diǎn):二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

  五 教學(xué)方法

  討論探索法

  六 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

  (一)問題的提出與解決

  問題 如圖,以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時(shí),球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力,球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有關(guān)系

  h=20t5t2。

  考慮以下問題

  (1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能,需要多少飛行時(shí)間?

  (2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能,需要多少飛行時(shí)間?

  (3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?

  (4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?

  分析:由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)

  h=20t-5t2。

  所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式,得到關(guān)于t的一元二次方程,如果方程有合乎實(shí)際的解,則說明球的飛行高度可以達(dá)到問題中h的值:否則,說明球的飛行高度不能達(dá)到問題中h的值。

  解:(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。

  當(dāng)球飛行1s和3s時(shí),它的高度為15m。

  (2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。

  當(dāng)球飛行2s時(shí),它的高度為20m。

  (3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。

  因?yàn)?-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達(dá)不到20.5m。

  (4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。

  當(dāng)球飛行0s和4s時(shí),它的高度為0m,即0s時(shí)球從地面飛出。4s時(shí)球落回地面。

  由學(xué)生小組討論,總結(jié)出二次函數(shù)與一元二次方程的解有什么關(guān)系?

  例如:已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。

  分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來,解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4+3的值為0,求自變量x的值。

  一般地,我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。

  (二)問題的討論

  二次函數(shù)(1)y=x2+x-2;

  (2) y=x2-6x+9;

  (3) y=x2-x+0。

  的圖象如圖26.2-2所示。

  (1)以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎?如果有,有多少個(gè)交點(diǎn),公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?

  (2)當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),函數(shù)的值是多少?由此,你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?

  先畫出以上二次函數(shù)的圖象,由圖像學(xué)生展開討論,在老師的引導(dǎo)下回答以上的問題。

  可以看出:

  (1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)是-2,1。當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),函數(shù)的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。

  (2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn),這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3。當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3。

  (3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點(diǎn), 由此可知,方程x2-x+1=0沒有實(shí)數(shù)根。

  總結(jié):一般地,如果二次函數(shù)y= 的圖像與x軸相交,那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程 =0的根。

  (三)歸納

  一般地,從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知,

  (1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn),公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根。

  (2)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:沒有公共點(diǎn),有一個(gè)公共點(diǎn),有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況:沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

  由上面的結(jié)論,我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差,由圖象求得的根,一般是近似的。

  (四)例題

  例 利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1)。

  解:作y=x2-2x-2的圖象(如圖),它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7,2.7。

  所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1-0.7,x22.7。

  七 小結(jié)

  二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:沒有公共點(diǎn),有一個(gè)公共點(diǎn),有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況:沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

  。

  八 板書設(shè)計(jì)

  用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

  拋物線y=ax2+bx+c與方程ax2+bx+c=0的解之間的關(guān)系

  例題

《二次函數(shù)》教案 篇9

  一、由實(shí)際問題探索二次函數(shù)

  某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個(gè)橙子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會(huì)減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),每多種一棵樹,平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子.

  (1) 問題中有哪些變量?其中哪些是自變量?哪些因變量

  (2)假設(shè)果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹?這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)橙子?

  (3)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個(gè),那么請你寫出y與x之間的關(guān)系式.

  果園共有(100+x)棵樹,平均每棵樹結(jié)(600-5x)個(gè)橙子,因此果園橙子的總產(chǎn) 量

  y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.

  二、想一想

  在上述問題中,種多少棵橙子樹,可以使果園橙子的產(chǎn)量最多?

  我們可以列表 表示橙子的總產(chǎn)量隨橙子樹的增加而變化情況.你能根據(jù) 表格中的數(shù)據(jù)作出猜測嗎 ?自己試一試.

  x/棵

  y/個(gè)

  三.做一做

  銀行的儲(chǔ)蓄利率是隨時(shí)間的變化而變化的。也就是說,利率是一個(gè)變量.在我國利率的調(diào)整是由中國人民銀行根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況而決定的.設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是x,一年到期后,銀行將本金和利 息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存. 如 果存款額是100元,那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表 達(dá)式(不考慮利息稅).

  四、二次函數(shù)的定義

  一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)(quadratic function)

  注意:定義中只要求二次項(xiàng)系數(shù)不為零,一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)可以為 零。

  例如,y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函數(shù).我們以前學(xué)過的正方形面積A與邊長a的關(guān)系A(chǔ)=a2, 圓面積s與半徑r的 關(guān)系s=Try2等也都是二次函數(shù)的例子.

  隨堂練習(xí)

  1.下列函數(shù)中(x,t是自變量),哪些是二次 函數(shù)?

  y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t

  2.圓的半徑是l㎝,假設(shè)半徑增加x㎝時(shí),圓的面積增加y㎝.

  (1)寫出y與x之間的關(guān)系表達(dá)式;

  (2)當(dāng)圓的半徑分別增加lcm、 ㎝、2㎝時(shí),圓的面積增加多少?

  五、課時(shí)小結(jié)

  1. 經(jīng)歷探索和表 示二次函數(shù)關(guān)系的過程,猜想并歸納二次函數(shù)的定義及一般形式。

  2.用嘗試求值的方法解決種多少棵橙子樹,可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多。

  六、活動(dòng)與探究

  若 是二次函數(shù),求m的值.

  七、作業(yè)

  習(xí)題2.1

  1.物體從某一高度落下,已知下落的高度h(m)和下落的時(shí)間t(s)的關(guān)系是:h=4.9t , 填 表表示物體在前5s下落的高度:

  t/s 1 2 3 4 5

  h/m

  ⒉某工廠計(jì)劃為一批長方體形狀的產(chǎn)品涂上油漆,長方體的長和寬相等,高比長多0.5m。

  (1)長方體的長和寬用x(m)表示,長方體需要涂漆的表面積S(㎡)如何表示?

  (2) 如果涂漆每平方米所需要的費(fèi)用是5元,油漆每個(gè)長方體所需要費(fèi)用用y(元)表示,那么y的表達(dá)式是什么?

《二次函數(shù)》教案 篇10

  教學(xué)目標(biāo)

  【知識(shí)與技能】

  使學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象,理解并掌握拋物線的有關(guān)概念及其性質(zhì).

  【過程與方法】

  使學(xué)生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2的圖象及性質(zhì)的過程,獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.

  【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

  使學(xué)生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)的過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、歸納的良好思維品質(zhì).

  重點(diǎn)難點(diǎn)

  【重點(diǎn)】

  使學(xué)生理解拋物線的有關(guān)概念及性質(zhì),會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象.

  【難點(diǎn)】

  用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象以及探索二次函數(shù)的性質(zhì).

  教學(xué)過程

  一、問題引入

  1.一次函數(shù)的圖象是什么?反比例函數(shù)的圖象是什么?

  (一次函數(shù)的圖象是一條直線,反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.)

  2.畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么?

  一般步驟:(1)列表(取幾組x,y的對應(yīng)值);(2)描點(diǎn)(根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y));(3)連線(用平滑曲線).

  3.二次函數(shù)的圖象是什么形狀?二次函數(shù)有哪些性質(zhì)?

  (運(yùn)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)的圖象,然后觀察、分析并歸納得到二次函數(shù)的性質(zhì).)

  二、新課教授

  【例1】 畫出二次函數(shù)y=x2的圖象.

  解:(1)列表中自變量x可以是任意實(shí)數(shù),列表表示幾組對應(yīng)值.

  (2)描點(diǎn):根據(jù)上表中x,y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(x,y).

  (3)連線:用平滑的曲線順次連接各點(diǎn),得到函數(shù)y=x2的圖象,如圖所示.

  思考:觀察二次函數(shù)y=x2的圖象,思考下列問題:

  (1)二次函數(shù)y=x2的圖象是什么形狀?

  (2)圖象是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?

  (3)圖象有最低點(diǎn)嗎?如果有,最低點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?

  師生活動(dòng):

  教師引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2的圖象,通過數(shù)形結(jié)合解決上面的3個(gè)問題.

  學(xué)生動(dòng)手畫圖,觀察、討論并歸納,積極展示探究結(jié)果,教師評價(jià).

  函數(shù)y=x2的圖象是一條關(guān)于y軸(x=0)對稱的曲線,這條曲線叫做拋物線.實(shí)際上二次函數(shù)的圖象都是拋物線.二次函數(shù)y=x2的圖象可以簡稱為拋物線y=x2.

  由圖象可以看出,拋物線y=x2開口向上;y軸是拋物線y=x2的對稱軸:拋物線y=x2與它的對稱軸的交點(diǎn)(0,0)叫做拋物線的頂點(diǎn),它是拋物線y=x2的最低點(diǎn).實(shí)際上每條拋物線都有對稱軸,拋物線與對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)或最高點(diǎn).

  【例2】 在同一直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=x2及y=2x2的圖象.

  解:分別填表,再畫出它們的圖象.

  思考:函數(shù)y=x2、y=2x2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)?

  師生活動(dòng):

  教師引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2、y=2x2的圖象.

  學(xué)生動(dòng)手畫圖,觀察、討論并歸納,回答探究的思路和結(jié)果,教師評價(jià).

  拋物線y=x2、y=2x2與拋物線y=x2的開口均向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),函數(shù)y=2x2的圖象的開口較窄,y=x2的圖象的開口較大.

  探究1:畫出函數(shù)y=-x2、y=-x2、y=-2x2的圖象,并考慮這些圖象有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

  師生活動(dòng):

  學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x2、y=-x2、y=-2x2的圖象,觀察、討論并歸納.教師巡視學(xué)生的探究情況,若發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)點(diǎn)撥.

  學(xué)生匯報(bào)探究的思路和結(jié)果,教師評價(jià),給出圖形.

  拋物線y=-x2、y=-x2、y=-2x2開口均向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),函數(shù)y=-2x2的圖象開口最窄,y=-x2的圖象開口最大.

  探究2:對比拋物線y=x2和y=-x2,它們關(guān)于x軸對稱嗎?拋物線y=ax2和y=-ax2呢?

  師生活動(dòng):

  學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,觀察、討論并歸納.

  教師巡視學(xué)生的探究情況,發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)點(diǎn)撥.

  學(xué)生匯報(bào)探究思路和結(jié)果,教師評價(jià),給出圖形.

  拋物線y=x2、y=-x2的圖象關(guān)于x軸對稱.一般地,拋物線y=ax2和y=-ax2的圖象也關(guān)于x軸對稱.

  教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)(知識(shí)點(diǎn)、規(guī)律和方法).

  一般地,拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a0時(shí),拋物線y=ax2的開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn),當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越小;當(dāng)a0時(shí),拋物線y=ax2的開口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn),當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越大.

  從二次函數(shù)y=ax2的圖象可以看出:如果a0,當(dāng)x0時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x0時(shí),y隨x的增大而增大;如果a0,當(dāng)x0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x0時(shí),y隨x的增大而減小.

  三、鞏固練習(xí)

  1.拋物線y=-4x2-4的開口向,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是,當(dāng)x=時(shí),y有最值,是.

  【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4

  2.當(dāng)m≠時(shí),y=(m-1)x2-3m是關(guān)于x的二次函數(shù).

  【答案】1

  3.已知拋物線y=-3x2上兩點(diǎn)A(x,-27),B(2,y),則x=,y=.

  【答案】-3或3 -12

  4.拋物線y=3x2與直線y=kx+3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b),則k=,b=.

  【答案】 12

  5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為y軸,且經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2),則拋物線的表達(dá)式為.

  【答案】y=-2x2

  6.在同一坐標(biāo)系中,圖象與y=2x2的圖象關(guān)于x軸對稱的是

  A.y=x2B.y=x2

  C.y=-2x2 D.y=-x2

  【答案】C

  7.拋物線y=4x2、y=-2x2、y=x2的圖象,開口最大的是

  A.y=x2 B.y=4x2

  C.y=-2x2 D.無法確定

  【答案】A

  8.對于拋物線y=x2和y=-x2在同一坐標(biāo)系中的位置,下列說法錯(cuò)誤的是

  A.兩條拋物線關(guān)于x軸對稱

  B.兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱

  C.兩條拋物線關(guān)于y軸對稱

  D.兩條拋物線的交點(diǎn)為原點(diǎn)

  【答案】C

  四、課堂小結(jié)

  1.二次函數(shù)y=ax2的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱,自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù).

  2.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì):拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a0時(shí),拋物線y=x2開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn),當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越小;當(dāng)a0時(shí),拋物線y=ax2開口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn),當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越大.

  3.二次函數(shù)y=ax2的圖象可以通過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟畫出來.

  教學(xué)反思

  本節(jié)課的內(nèi)容主要研究二次函數(shù)y=ax2在a取不同值時(shí)的圖象,并引出拋物線的有關(guān)概念,再根據(jù)圖象總結(jié)拋物線的有關(guān)性質(zhì).整個(gè)內(nèi)容分成:(1)例1是基礎(chǔ);(2)在例1的基礎(chǔ)之上引入例2,讓學(xué)生體會(huì)a的大小對拋物線開口寬闊程度的影響;(3)例2及后面的練習(xí)探究讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)a的正負(fù)對拋物線開口方向的影響;(4)最后讓學(xué)生比較例1和例2,練習(xí)歸納總結(jié).

《二次函數(shù)》教案 篇11

  知識(shí)技能

  1. 能列出實(shí)際問題中的二次函數(shù)關(guān)系式;

  2. 理解二次函數(shù)概念;

  3. 能判斷所給的函數(shù)關(guān)系式是否二次函數(shù)關(guān)系式;

  4. 掌握二次函數(shù)解析式的幾種常見形式.

  過程方法

  從實(shí)際問題中感悟變量間的二次函數(shù)關(guān)系,揭示二次函數(shù)概念.學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、交流、歸納、辨析、實(shí)踐運(yùn)用等過程,體會(huì)函數(shù)中的常量與變量,深刻領(lǐng)悟二次函數(shù)意義

  情感態(tài)度

  使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)函數(shù)是描述變量間對應(yīng)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)和探索能力。

  教學(xué)重點(diǎn)

  理解二次函數(shù)的意義,能列出實(shí)際問題中二次函數(shù)解析式

  教學(xué)難點(diǎn)

  能列出實(shí)際問題中二次函數(shù)解析式

  教學(xué)過程設(shè)計(jì)

  教學(xué)程序及教學(xué)內(nèi)容 師生行為 設(shè)計(jì)意圖

  一、情境引入

  播放實(shí)際生活中的有關(guān)拋物線的圖片,概括性的介紹本章.

  二、探究新知

  ㈠、用函數(shù)關(guān)系式表示下列問題中變量之間的關(guān)系:

  1.正方體的棱長是x,表面積是y,寫出y關(guān)于x的'函數(shù)關(guān)系式;

  2.n邊形的對角線條數(shù)d與邊數(shù)n有什么關(guān)系?

  3.某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件,計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量,如果每年都必上一年的產(chǎn)量增加x倍,那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定,y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示?

  ㈡觀察所列函數(shù)關(guān)系式,看看有何共同特點(diǎn)?

  ㈢類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)概念揭示二次函數(shù)概念:

  一般地,形如 的函數(shù),叫做二次函數(shù)。其中,x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

  實(shí)質(zhì)上,函數(shù)的名稱都反映了函數(shù)表達(dá)式與自變量的關(guān)系.

  三、課堂訓(xùn)練(略)

  四、小結(jié)歸納:

  學(xué)生談本節(jié)課收獲

  1.二次函數(shù)概念

  2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

  3.二次函數(shù)的4種常見形式

  五、作業(yè)設(shè)計(jì)

  ㈠教材16頁1、2

  ㈡補(bǔ)充:

  1、①y=-x2②y=2x③y=22+x2-x3④m=3-t-t2是二次函數(shù)的是

  2、用一根長60cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形,矩形面積S(cm2)與它的一邊長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是.

  3、小李存入銀行人民幣500元,年利率為x%,兩年到期,本息和為y元(不含利息稅),y與x之間的函數(shù)關(guān)系是,若年利率為6%,兩年到期的本利共x元.

  4、在△ABC中,C=90,BC=a,AC=b,a+b=16,則RT△ABC的面積S與邊長a的關(guān)系式是;當(dāng)a=8時(shí),S=;當(dāng)S=24時(shí),a=.

  5、當(dāng)k=時(shí), 是二次函數(shù).

  6、扇形周長為10,半徑為x,面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為.

  7、已知s與 成正比例,且t=3時(shí),s=4,則s與t的函數(shù)關(guān)系式為.

  8、下列函數(shù)不屬于二次函數(shù)的是( )

  A.y=(x-1)(x+2) B.y= (x+1)2 C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1- x2

  9、若函數(shù) 是二次函數(shù),那么m的值是( )

  A.2 B.-1或3 C.3 D.

  10、一塊草地是長80 m、寬60 m的矩形,在中間修筑兩條互相垂直的寬為x m的小路,這時(shí)草坪面積為y m2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.

《二次函數(shù)》教案 篇12

  學(xué)習(xí)目標(biāo):

  1、能解釋二次函數(shù) 的圖像的位置關(guān)系;

  2、體會(huì)本節(jié)中圖形的變化與 圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系(轉(zhuǎn)化),感受形數(shù) 結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等。

  學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn):

  對二次函數(shù) 的圖像的位置關(guān)系解釋和研究問題的數(shù)學(xué)方法的感受是學(xué)習(xí)重點(diǎn);難點(diǎn)是對數(shù)學(xué)問題研究問題方法的感受和領(lǐng)悟。

  學(xué)習(xí)過程:

  一、知識(shí)準(zhǔn)備

  本節(jié)課的學(xué)習(xí)的內(nèi)容是課本P12-P14的內(nèi)容,內(nèi)容較長,課本上問題較多,需要你操作、觀察、思考和概括,請你注意:學(xué)習(xí)時(shí)要圈、點(diǎn)、勾、畫,隨時(shí)記錄甚至批注課本,想想那個(gè)人是如何研究出來的。你有何新的發(fā)現(xiàn)呢?

  二、學(xué)習(xí)內(nèi)容

  1.思考:二次函數(shù) 的圖象是個(gè)什么圖形?是拋物線嗎?為什么?(請你仔細(xì)看課本P12-P13,作出合理的解釋)

  x -3 -2 -1

  0 1 2 3

  類似的:二次函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象有什么關(guān)系?

  它的對稱軸、頂點(diǎn)、最值、增減性如何?

  2.想一想:二次函數(shù) 的圖象是拋物線嗎?如果結(jié)合下表和看課本P13-P14你的解釋是什么?

  x

  -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

  類似的:二次函數(shù) 的圖象與二次函數(shù) 的圖象有什么關(guān)系 ?它的對稱軸、頂點(diǎn)呢?它的對稱軸、頂點(diǎn)、最值、增減性如何呢

  三、知識(shí)梳理

  1、二次函數(shù) 圖像的形狀,位置的關(guān)系是:

  2、它們的性質(zhì)是:

  四、達(dá)標(biāo)測試

  ⒈將拋物線y=4x2向上平移3個(gè)單位,所得的拋物線的函數(shù)式是 。

  將拋物線y=-5x2+1向下平移5個(gè)單位,所得的拋物線的函數(shù)式是 。

  將函數(shù)y=-3x2+4的圖象向 平移 個(gè)單位可得y=-3x2的圖象;

  將y=2x2-7的圖象向 平移 個(gè)單位得到可由 y=2x2的圖象。

  將y=x2-7的圖象向 平移 個(gè)單位 可得到 y=x2+2的圖象。

  2.拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x 軸 平移了 個(gè)單位;

  拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸 平移了 個(gè)單位.

  拋物線y=-3(x-1)2的頂點(diǎn)是 ;對稱軸 是 ;

  拋物線y=-3(x+1)2的頂點(diǎn)是 ;對稱軸是 .

  3.拋物線y=-3(x-1)2在對稱軸(x=1)的左側(cè),即當(dāng)x 時(shí), y隨著x的增大而 ; 在對稱軸(x=1)右側(cè),即當(dāng)x 時(shí), y隨著x的增大而 .當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)y有最 值,最 值是 ;

  二次 函數(shù)y=2x2+5的圖像是 ,開口 ,對稱軸是 ,當(dāng)x= 時(shí),y有最 值,是 。

  4.將函數(shù)y=3 (x-4)2的圖象沿x軸對折后得到的函數(shù)解析式是 ;

  將函數(shù)y=3(x-4)2的 圖象沿y軸對折后得到的函數(shù)解析式是 ;

  5.把拋物線y=a(x-4)2向左平移6個(gè)單位后得到拋物線y=- 3(x-h)2的圖象,則a= ,h= .

  函數(shù)y=(3x+6)2的圖象是由函數(shù) 的圖象向左平移5個(gè)單位得到的,其圖象開口向 ,對稱軸是 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,當(dāng)x 時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x= 時(shí),y有最 值是 .

  6.已知二次函數(shù)y=ax2+c ,當(dāng)x取x1,x2(x1x2), x1,x2分別是A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo))時(shí),函數(shù)值相等,

  則當(dāng)x取x1+x2時(shí),函數(shù)值為 ( )

  A. a+c B. a-c C. c D. c

  7.已知二次函數(shù)y=a(x-h)2, 當(dāng)x=2時(shí)有最大值,且此函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-3),求此函數(shù)的解析式,并指出當(dāng)x為何值時(shí),y隨x的增大而增大?

《二次函數(shù)》教案 篇13

  一.學(xué)習(xí)目標(biāo)

  1.經(jīng)歷對實(shí)際問題情境分析確定二次函數(shù)表達(dá)式的過程,體會(huì)二次函數(shù)意義。

  2.了解二次函數(shù)關(guān)系式,會(huì)確定二次函數(shù)關(guān)系式中各項(xiàng)的系數(shù)。

  二.知識(shí)導(dǎo)學(xué)

  (一)情景導(dǎo)學(xué)

  1.一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,擴(kuò)大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

  2.用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,怎樣圍可使小兔的活動(dòng)范圍較大?

  設(shè)長方形的長為x 米,則寬為 米,如果將面積記為y平方米,那么變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 .

  3.要給邊長為x米的正方形房間鋪設(shè)地板,已知某種地板的價(jià)格為每平方米240元,踢腳線的價(jià)格為每米30元,如果其他費(fèi)用為1000元,門寬0.8米,那么總費(fèi)用y為多少元?

  在這個(gè)問題中,地板的費(fèi)用與 有關(guān),為 元,踢腳線的費(fèi)用與 有關(guān),為 元;其他費(fèi)用固定不變?yōu)?元,所以總費(fèi)用y(元)與x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

  (二)歸納提高。

  上述函數(shù)函數(shù)關(guān)系有哪些共同之處?它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式有什么不同?

  一般地,我們稱 表示的函數(shù)為二次函數(shù)。其中 是自變量, 函數(shù)。

  一般地,二次函數(shù) 中自變量x的取值范圍是 ,你能說出上述三個(gè)問題中自變量的取值范圍嗎?

  (三)典例分析

  例1、判斷:下列函數(shù)是否為二次函數(shù),如果是,指出其中常數(shù)a.b.c的值.

  (1) y=1— (2)y=x(x-5) (3)y= - x+1 (4) y=3x(2-x)+ 3x2

  (5)y= (6) y= (7)y= x4+2x2-1 (8)y=ax2+bx+c

  例2.當(dāng)k為何值時(shí),函數(shù) 為二次函數(shù)?

  例3.寫出下列各函數(shù)關(guān)系,并判斷它們是什么類型的函數(shù).

  ⑴正方體的表面積S(cm2)與棱長a(cm)之間的函數(shù)關(guān)系;

  ⑵圓的面積y(cm2)與它的周長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系;

  ⑶某種儲(chǔ)蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不計(jì)利息,求本息和y(元)與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系;

  ⑷菱形的兩條對角線的和為26cm,求菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系.

  三.鞏固拓展

  1.已知函數(shù) 是二次函數(shù),求m的值.

  2. 已知二次函數(shù) ,當(dāng)x=3時(shí),y= -5,當(dāng)x= -5時(shí),求y的值.

  3.一個(gè)長方形的長是寬的1.6倍,寫出這個(gè)長方形的面積S與寬x之間函數(shù)關(guān)系式。

  4.一個(gè)圓柱的高與底面直徑相等,試寫出它的表面積S與底面半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式

  5.用一根長為40 cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形,求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關(guān)系式.這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)嗎?請寫出半徑r的取值范圍.

  6. 一條隧道的截面如圖所示,它的上部是一個(gè)半圓,下部是一個(gè)矩形,矩形的一邊長2.5 m.

  ⑴求隧道截面的面積S(m2)關(guān)于上部半圓半徑r(m)的函數(shù)關(guān)系式;

  ⑵求當(dāng)上部半圓半徑為2 m時(shí)的截面面積.(π取3.14,結(jié)果精確到0.1 m2)

  課堂練習(xí):

  1.判斷下列函數(shù)是否是二次函數(shù),若是,請指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

  (1)y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .

  2.寫出多項(xiàng)式的對角線的條數(shù)d與邊數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式。

  3.某產(chǎn)品年產(chǎn)量為30臺(tái),計(jì)劃今后每年比上一年的產(chǎn)量增長x%,試寫出兩年后的產(chǎn)量y(臺(tái))與x的函數(shù)關(guān)系式。

  4.圓柱的高h(yuǎn)(cm)是常量,寫出圓柱的體積v(cm3)與底面周長C(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式。

  課外作業(yè):

  A級:

  1.下列函數(shù):(1)y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,屬于二次函數(shù)的

  是 (填序號).

  2.函數(shù)y=(a-b)x2+ax+b是二次函數(shù)的條件為 .

  3.下列函數(shù)關(guān)系中,滿足二次函數(shù)關(guān)系的是( )

  A.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系; B.在彈性限度內(nèi),彈簧的長度與所掛物體質(zhì)量的關(guān)系;

  C.圓柱的高一定時(shí),圓柱的體積與底面半徑的關(guān)系;

  D.距離一定時(shí),汽車行駛的速度與時(shí)間之間的關(guān)系.

  4.某超市1月份的營業(yè)額為200萬元,2、3月份營業(yè)額的月平均增長率為x,求第一季度營業(yè)額y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式.

  B級:

  5、一塊直角三角尺的形狀與尺寸如圖,若圓孔的半徑為 ,三角尺的厚度為16,求這塊三角尺的體積V與n的函數(shù)關(guān)系式.

  6.某地區(qū)原有20個(gè)養(yǎng)殖場,平均每個(gè)養(yǎng)殖場養(yǎng)奶牛20xx頭。后來由于市場原因,決定減少養(yǎng)殖場的數(shù)量,當(dāng)養(yǎng)殖場每減少1個(gè)時(shí),平均每個(gè)養(yǎng)殖場的奶牛數(shù)將增加300頭。如果養(yǎng)殖場減少x個(gè),求該地區(qū)奶牛總數(shù)y(頭)與x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系式。

  C級:

  7.圓的半徑為2cm,假設(shè)半徑增加xcm 時(shí),圓的面積增加到y(tǒng)(cm2).

  (1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

  (2)當(dāng)圓的半徑分別增加1cm、 時(shí),圓的面積分別增加多少?

  (3)當(dāng)圓的面積為5πcm2時(shí),其半徑增加了多少?

  8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

  (1)證明y是x的二次函數(shù);

  (2)當(dāng)k=-2時(shí),寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

《二次函數(shù)》教案 篇14

  二次函數(shù)的應(yīng)用

  教學(xué)設(shè)計(jì)思想:本節(jié)主要研究的是與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題,重點(diǎn)是實(shí)際應(yīng)用題,在教學(xué)過程中讓學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)分析問題、解決問題,在運(yùn)用中體會(huì)二次函數(shù)的實(shí)際意義。二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯(lián)系,在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)把二次函數(shù)與之有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來,融會(huì)貫通,使學(xué)生的認(rèn)識(shí)更加深刻。另外,在利用圖像法解方程時(shí),圖像應(yīng)畫得準(zhǔn)確一些,使求得的解更準(zhǔn)確,在求解過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

  教學(xué)目標(biāo):

  1.知識(shí)與技能

  會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)計(jì)其圖像的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題。

  2.過程與方法

  通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),提高自主探索、團(tuán)結(jié)合作的能力,在運(yùn)用知識(shí)解決問題中體會(huì)二次函數(shù)的應(yīng)用意義及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。

  3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

  通過學(xué)生之間的討論、交流和探索,建立合作意識(shí)和提高探索能力,激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和欲望。

  教學(xué)重點(diǎn):解決與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題。

  教學(xué)難點(diǎn):二次函數(shù)的應(yīng)用。

  教學(xué)媒體:幻燈片,計(jì)算器。

  教學(xué)安排:3課時(shí)。

  教學(xué)方法:小組討論,探究式。

  教學(xué)過程:

  第一課時(shí):

  Ⅰ.情景導(dǎo)入:

  師:由二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)= (a0),你會(huì)有什么聯(lián)想?

  生:老師,我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。

  師:不錯(cuò),正因?yàn)槿绱耍袝r(shí)我們就將二次函數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題來解決。

  現(xiàn)在大家來做下面這兩道題:(幻燈片顯示)

  1.解方程 。

  2.畫出二次函數(shù)y= 的圖像。

  教師找兩個(gè)學(xué)生解答,作為板書。

  Ⅱ.新課講授

  同學(xué)們思考下面的問題,可以共同討論:

  1.二次函數(shù)y= 的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是什么?它與方程 的根有什么關(guān)系?

  2.如果方程 (a0)有實(shí)數(shù)根,那么它的根和二次函數(shù)y= 的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有什么關(guān)系?

  生甲:老師,由畫出的圖像可以看出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1、2;方程的兩個(gè)根是-1、2,我們發(fā)現(xiàn)方程的兩個(gè)解正好是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

  生乙:我們經(jīng)過討論,認(rèn)為如果方程 (a0)有實(shí)數(shù)根,那么它的根等于二次函數(shù)y= 的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

  師:說的很好;

  教師總結(jié):一般地,如果二次函數(shù)y= 的圖像與x軸相交,那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程 =0的根。

  師:我們知道方程的兩個(gè)解正好是二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),那么二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的問題,我們共同研究下面問題。

  [學(xué)法]:通過實(shí)例,體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,解一元二次方程實(shí)質(zhì)上就是求二次函數(shù)為0的自變量x的取值,反映在圖像上就是求拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

  問題:已知二次函數(shù)y= 。

  (1)觀察這個(gè)函數(shù)的圖像(圖34-9),一元二次方程 =0的兩個(gè)根分別在哪兩個(gè)整數(shù)之間?

  (2)①由在0至1范圍內(nèi)的x值所對應(yīng)的y值(見下表),你能說出一元二次方程 =0精確到十分位的正根嗎?

  x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

  y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1

  ②由在0.6至0.7范圍內(nèi)的x值所對應(yīng)的y值(見下表),你能說出一元二次方程 =0精確到百分位的正根嗎?

  x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70

  y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190

  (3)請仿照上面的方法,求出一元二次方程 =0的另一個(gè)精確到十分位的根。

  (4)請利用一元二次方程的求根公式解方程 =0,并檢驗(yàn)上面求出的近似解。

  第一問很簡單,可以請一名同學(xué)來回答這個(gè)問題。

  生:一個(gè)根在(-2,-1)之間,另一個(gè)在(0,1)之間;根據(jù)上面我們得出的結(jié)論。

  師:回答的很正確;我們知道圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根,所以我們可以通過觀看圖象就能說出方程的兩個(gè)根。現(xiàn)在我們共同解答第(2)問。

  教師分析:我們知道方程的一個(gè)根在(0,1)之間,那么我們觀看(0,1)這個(gè)區(qū)間的圖像,y值是隨著x值的增大而不斷增大的,y值也是從負(fù)數(shù)過渡到正數(shù),而當(dāng)y=0時(shí)所對應(yīng)的x值就是方程的根。現(xiàn)在我們要求的是方程的近似解,那么同學(xué)們想一想,答案是什么呢?

  生:通過列表可以看出,在(0.6,0.7)范圍內(nèi),y值有-0.04至0.19,如果方程精確到十分位的正根,x應(yīng)該是0.6。

  類似的,我們得出方程精確到百分位的正根是0.62。

  對于第三問,教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手解答,教師在下面巡視,觀察其中發(fā)現(xiàn)的問題。

  最后師生共同利用求根公式,驗(yàn)證求出的近似解。

  教師總結(jié):我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)二次函數(shù) (a0)的圖像與x軸有交點(diǎn)時(shí),根據(jù)圖像與x軸的交點(diǎn),就可以確定一元二次方程 的根在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間。為了得到更精確的近似解,對在這兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的x的值進(jìn)行細(xì)分,并求出相應(yīng)得y值,列出表格,這樣就可以得到一元二次方程 所要求的精確度的近似解。

  Ⅲ.練習(xí)

  已知一個(gè)矩形的長比寬多3m,面積為6 。求這個(gè)矩形的長(精確到十分位)。

  板書設(shè)計(jì):

  二次函數(shù)的應(yīng)用(1)

  一、導(dǎo)入 總結(jié):

  二、新課講授 三、練習(xí)

  第二課時(shí):

  師:在我們的實(shí)際生活中你還遇到過哪些運(yùn)用二次函數(shù)的實(shí)例?

  生:老師,我見過好多。如周長固定時(shí)長方形的面積與它的長之間的關(guān)系:圓的面積與它的直徑之間的關(guān)系等。

  師:好,看這樣一個(gè)問題你能否解決:

  活動(dòng)1:如圖34-10,張伯伯準(zhǔn)備利用現(xiàn)有的一面墻和40m長的籬笆,把墻外的空地圍成四個(gè)相連且面積相等的矩形養(yǎng)兔場。

  回答下面的問題:

  1.設(shè)每個(gè)小矩形一邊的長為xm,試用x表示小矩形的另一邊的長。

  2.設(shè)四個(gè)小矩形的總面積為y ,請寫出用x表示y的函數(shù)表達(dá)式。

  3.你能利用公式求出所得函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo),并說出y的最大值嗎?

  4.你能畫出這個(gè)函數(shù)的圖像,并借助圖像說出y的最大值嗎?

  學(xué)生思考,并小組討論。

  解:已知周長為40m,一邊長為xm,看圖知,另一邊長為 m。

  由面積公式得 y= (x )

  化簡得 y=

  代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,得頂點(diǎn)坐標(biāo)x=4,y=5。y的最大值為5。

  畫函數(shù)圖像:

  通過圖像,我們知道y的最大值為5。

  師:通過上面這個(gè)例題,我們能總結(jié)出幾種求y的最值得方法呢?

  生:兩種;一種是畫函數(shù)圖像,觀察最高(低)點(diǎn),可以得到函數(shù)的最值;另外一種可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,直接計(jì)算最值。

  師:這位同學(xué)回答的很好,看來同學(xué)們是都理解了,也知道如何求函數(shù)的最值。

  總結(jié):由此可以看出,在利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí),常常需要根據(jù)條件建立二次函數(shù)的表達(dá)式,在求最大(或最小)值時(shí),可以采取如下的方法:

  (1)畫出函數(shù)的圖像,觀察圖像的最高(或最低)點(diǎn),就可以得到函數(shù)的最大(或最小)值。

  (2)依照二次函數(shù)的性質(zhì),判斷該二次函數(shù)的開口方向,進(jìn)而確定它有最大值還是最小值;再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,直接計(jì)算出函數(shù)的最大(或最小)值。

  師:現(xiàn)在利用我們前面所學(xué)的知識(shí),解決實(shí)際問題。

  活動(dòng)2:如圖34-11,已知AB=2,C是AB上一點(diǎn),四邊形ACDE和四邊形CBFG,都是正方形,設(shè)BC=x,

  (1)AC=______;

  (2)設(shè)正方形ACDE和四邊形CBFG的總面積為S,用x表示S的函數(shù)表達(dá)式為S=_____.

  (3)總面積S有最大值還是最小值?這個(gè)最大值或最小值是多少?

  (4)總面積S取最大值或最小值時(shí),點(diǎn)C在AB的什么位置?

  教師講解:二次函數(shù) 進(jìn)行配方為y= ,當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,此時(shí)當(dāng)x= 時(shí), ;當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,此時(shí)當(dāng)x= 時(shí), 。對于本題來說,自變量x的最值范圍受實(shí)際條件的制約,應(yīng)為02。此時(shí)y相應(yīng)的就有最大值和最小值了。通過畫出圖像,可以清楚地看到y(tǒng)的最大值和最小值以及此時(shí)x的取值情況。在作圖像時(shí)一定要準(zhǔn)確認(rèn)真,同時(shí)還要考慮到x的取值范圍。

  解答過程(板書)

  解:(1)當(dāng)BC=x時(shí),AC=2-x(02)。

  (2)S△CDE= ,S△BFG= ,

  因此,S= + =2 -4x+4=2 +2,

  畫出函數(shù)S= +2(02)的圖像,如圖34-4-3。

  (3)由圖像可知:當(dāng)x=1時(shí), ;當(dāng)x=0或x=2時(shí), 。

  (4)當(dāng)x=1時(shí),C點(diǎn)恰好在AB的中點(diǎn)上。

  當(dāng)x=0時(shí),C點(diǎn)恰好在B處。

  當(dāng)x=2時(shí),C點(diǎn)恰好在A處。

  [教法]:在利用函數(shù)求極值問題,一定要考慮本題的'實(shí)際意義,弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時(shí),在自變量允許取得范圍內(nèi)畫。

  練習(xí):

  如圖,正方形ABCD的邊長為4,P是邊BC上一點(diǎn),QPAP,并且交DC與點(diǎn)Q。

  (1)Rt△ABP與Rt△PCQ相似嗎?為什么?

  (2)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),Rt△ADQ的面積最小?最小面積是多少?

  小結(jié):利用二次函數(shù)的增減性,結(jié)合自變量的取值范圍,則可求某些實(shí)際問題中的極值,求極值時(shí)可把 配方為y= 的形式。

  板書設(shè)計(jì):

  二次函數(shù)的應(yīng)用(2)

  活動(dòng)1: 總結(jié)方法:

  活動(dòng)2: 練習(xí):

  小結(jié):

  第三課時(shí):

  我們這部分學(xué)習(xí)的是二次函數(shù)的應(yīng)用,在解決實(shí)際問題時(shí),常常需要把二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的問題。

  師:在日常生活中,有哪些量之間的關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系?大家觀看下面的圖片。

  (幻燈片顯示交通事故、緊急剎車)

  師:你知道兩輛車在行駛時(shí)為什么要保持一定的距離嗎?

  學(xué)生思考,討論。

  師:汽車在行駛中,由于慣性作用,剎車后還要向前滑行一段距離才能停住,這段距離叫做剎車距離。剎車距離是分析、處理道路交通事故的一個(gè)重要原因。

  請看下面一個(gè)道路交通事故案例:

  甲、乙兩車在限速為40km/h的濕滑彎道上相向而行,待望見對方。同時(shí)剎車時(shí)已經(jīng)晚了,兩車還是相撞了。事后經(jīng)現(xiàn)場勘查,測得甲車的剎車距離是12m,乙車的剎車距離超過10m,但小于12m。根據(jù)有關(guān)資料,在這樣的濕滑路面上,甲車的剎車距離S甲(m)與車速x(km/h)之間的關(guān)系為S甲=0.1x+0.01x2,乙車的剎車距離S乙(m)與車速x(km/h)之間的關(guān)系為S乙= 。

  教師提問:1.你知道甲車剎車前的行駛速度嗎?甲車是否違章超速?

  2.你知道乙車剎車前的行駛速度在什么范圍內(nèi)嗎?乙車是否違章超速?

  學(xué)生思考!教師引導(dǎo)。

  對于二次函數(shù)S甲=0.1x+0.01x2:

  (1)當(dāng)S甲=12時(shí),我們得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。請談?wù)勥@個(gè)一元二次方程這個(gè)一元二次方程的實(shí)際意義。

  (2)當(dāng)S甲=11時(shí),不經(jīng)過計(jì)算,你能說明兩車相撞的主要責(zé)任者是誰嗎?

  (3)由乙車的剎車距離比甲車的剎車距離短,就一定能說明事故責(zé)任者是甲車嗎?為什么?

  生甲:我們能知道甲車剎車前的行駛速度,知道甲車的剎車距離,又知道剎車距離與車速的關(guān)系式,所以車速很容易求出,求得x=30km,小于限速40km/h,故甲車沒有違章超速。

  生乙:同樣,知道乙車剎車前的行駛速度,知道乙車的剎車距離的取值范圍,又知道剎車距離與車速的關(guān)系式,求得x在40km/h與48km/h(不包含40km/h)之間。可見乙車違章超速了。

  同學(xué)們,從這個(gè)事例當(dāng)中我們可以體會(huì)到,如果二次函數(shù)y= (a0)的某一函數(shù)值y=M。就可利用一元二次方程 =M,確定它所對應(yīng)得x值,這樣,就把二次函數(shù)與一元二次方程緊密地聯(lián)系起來了。

  下面看下面的這道例題:

  當(dāng)路況良好時(shí),在干燥的路面上,汽車的剎車距離s與車速v之間的關(guān)系如下表所示:

  v/(km/h) 40 60 80 100 120

  s/m 2 4.2 7.2 11 15.6

  (1)在平面直角坐標(biāo)系中描出每對(v,s)所對應(yīng)的點(diǎn),并用光滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn)。

  (2)利用圖像驗(yàn)證剎車距離s(m)與車速v(km/h)是否有如下關(guān)系:

  (3)求當(dāng)s=9m時(shí)的車速v。

  學(xué)生思考,親自動(dòng)手,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

  教師提問,學(xué)生回答正確答案,教師再進(jìn)行講解。

  課上練習(xí):

  某產(chǎn)品的成本是20元/件,在試銷階段,當(dāng)產(chǎn)品的售價(jià)為x元/件時(shí),日銷量為(200-x)件。

  (1)寫出用售價(jià)x(元/件)表示每日的銷售利潤y(元)的表達(dá)式。

  (2)當(dāng)日銷量利潤是1500元時(shí),產(chǎn)品的售價(jià)是多少?日銷量是多少件?

  (3)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí),日銷量利潤最大?最大日銷量利潤是多少?

  課堂小結(jié):本節(jié)課主要是利用函數(shù)求極值的問題,解決此類問題時(shí),一定要考慮到本題的實(shí)際意義,弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時(shí),在自變量允許取的范圍內(nèi)畫。

  板書設(shè)計(jì):

  二次函數(shù)的應(yīng)用(3)

  一、案例 二、例題

  分析: 練習(xí):

  總結(jié):

  數(shù)學(xué)網(wǎng)

《二次函數(shù)》教案 篇15

  教學(xué)目標(biāo):

  會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,能結(jié)合二次函數(shù)的圖象掌握二次函數(shù)的性質(zhì),能較熟練地利用函數(shù)的性質(zhì)解決函數(shù)與圓、三角形、四邊形以及方程等知識(shí)相結(jié)合的綜合題。

  重點(diǎn)難點(diǎn):

  重點(diǎn);用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、運(yùn)用配方法確定二次函數(shù)的特征。

  難點(diǎn):會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題。

  教學(xué)過程:

  一、例題精析,強(qiáng)化練習(xí),剖析知識(shí)點(diǎn)

  用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式.

  例:根據(jù)下列條件,求出二次函數(shù)的解析式。

  (1)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,1),(1,3),(-1,1)三點(diǎn)。

  (2)拋物線頂點(diǎn)P(-1,-8),且過點(diǎn)A(0,-6)。

  (3)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(3,0),(2,-3)兩點(diǎn),并且以x=1為對稱軸。

  (4)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=-3/2x+3的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn);且過(1,1),求這個(gè)二次函數(shù)解析式,并把它化為y=a(x-h(huán))2+k的形式。

  學(xué)生活動(dòng):學(xué)生小組討論,題目中的四個(gè)小題應(yīng)選擇什么樣的函數(shù)解析式?并讓學(xué)生闡述解題方法。

  教師歸納:二次函數(shù)解析式常用的有三種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)

  (2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h(huán))2+k(a≠0)(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

  當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c形式。

  當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k形式。

  當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí),通常設(shè)為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)

  強(qiáng)化練習(xí):已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(1,0)和B(2,1),且與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為m。

  (1)若m為定值,求此二次函數(shù)的解析式;

  (2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍。

  二、知識(shí)點(diǎn)串聯(lián),綜合應(yīng)用

  例:如圖,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),且經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交

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    1. 拋物線y=-x2+4x-3的開口向______,對稱軸為__________,頂點(diǎn)p坐標(biāo)為______________;與x 軸的交點(diǎn)是a 、b (a在b的左邊),與y軸的交點(diǎn)是c ;當(dāng) 時(shí),隨的增大而增大;△pab的面積= ;當(dāng)滿足 時(shí),y0.2.已知二次函數(shù)y=x2-5x+1,當(dāng)...

  • 《二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系復(fù)習(xí)課》教案分析

    聽了茹老師上的復(fù)習(xí)課《二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系復(fù)習(xí)》。現(xiàn)在對茹老師進(jìn)行一個(gè)點(diǎn)評,整節(jié)課聽下來總體感覺是茹老師這節(jié)課能根據(jù)教材的內(nèi)容、中考考點(diǎn)的要求和學(xué)生的實(shí)際,對課堂教學(xué)進(jìn)行了精心設(shè)計(jì),體現(xiàn)了教育教學(xué)改革的新理念,取得了良...

  • 第二十六章“二次函數(shù)”簡介

    課程教材研究所薛彬 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與反比例函數(shù),對于函數(shù)已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)。從一次函數(shù)與反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)來看,學(xué)習(xí)一種函數(shù)大致包括以下內(nèi)容:(1) 通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)這種函數(shù);(2) 探索這種函數(shù)的圖象和性質(zhì);(3) 利用這種函...

  • 二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)(學(xué)案)

    學(xué)習(xí)內(nèi)容:1、二次函數(shù)的概念;2、二次函數(shù)的圖象;3、二次函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)習(xí)要求:1、理解二次函數(shù)的概念,會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象,理解二次函數(shù)與拋物線的有關(guān)概念2、通過二次函數(shù)的圖象,理解并掌握二次函數(shù)的性質(zhì),會(huì)判斷二次函...

  • 《二次函數(shù)應(yīng)用》的復(fù)習(xí)反思

    在期末復(fù)習(xí)期間,我們在區(qū)教研室和學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的指導(dǎo)下,通過“初備——交流——復(fù)備——再交流”,完成了《二次函數(shù)應(yīng)用》的復(fù)習(xí)。通過本次活動(dòng),使我受益匪淺。 一、集體智慧勝于個(gè)人智慧。備課期間大家各顯神通,獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策。...

  • 《二次函數(shù)》學(xué)反思

    課后查看了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對二次函數(shù)的要求: 1、通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式,并體會(huì)二次函數(shù)的意義。 2、會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象,能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)。...

  • 數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

    教學(xué)目標(biāo): 1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì); 2、滲透解析幾何,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題,及邏輯思維的能力. 3、使學(xué)生參與教學(xué)過程,通過主體的積極思維,體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué).逐步建立數(shù)學(xué)的觀念,培養(yǎng)學(xué)生...

  • 數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2的圖象

    教學(xué)設(shè)計(jì)示例1 課題:二次函數(shù) 的圖象 教學(xué)目標(biāo): 1、會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 的圖象; 2、根據(jù)圖象觀察、分析出二次函數(shù) 的性質(zhì); 3、進(jìn)一步理解二次函數(shù)和拋物線的有關(guān)知識(shí) 4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn); 5、滲透數(shù)形結(jié)合的...

  • 數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

    二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容:人教版九年義務(wù)教育初中第三冊第108頁教學(xué)目標(biāo):1. 1. 理解二次函數(shù)的意義;會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象,知道拋物線的有關(guān)概念;2. 2. 通過變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性;3. 3. 通過...

  • 數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)

    知識(shí)點(diǎn)〗二次函數(shù)、拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸和開口方向〖大綱要求〗1. 理解二次函數(shù)的概念;2. 會(huì)把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式,確定圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸和開口方向,會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象;3. 會(huì)平移二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象得...

  • 數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2的圖象(一)

    課題 二次函數(shù)y=ax2的圖象(一)一、教學(xué)目的1.使學(xué)生初步理解二次函數(shù)的概念。2.使學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象。3.使學(xué)生結(jié)合y=ax2的圖象初步理解拋物線及其有關(guān)的概念。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):對二次函數(shù)概念的初步理解。...

  • 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

    教學(xué)目標(biāo): 1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì); 2、滲透解析幾何,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題,及邏輯思維的能力. 3、使學(xué)生參與教學(xué)過程,通過主體的積極思維,體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué).逐步建立數(shù)學(xué)的觀念,培養(yǎng)學(xué)生...

  • 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

    第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 與 的圖象; 2.使學(xué)生能結(jié)合圖象確定拋物線 與 的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo); 3.通過比較拋物線 與 同 的相互關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、總結(jié)的能力; 4. 在本節(jié)的教學(xué)中,繼續(xù)向?qū)W生進(jìn)行數(shù)形結(jié)...

  • 二次函數(shù)y=ax2的圖象

    教學(xué)設(shè)計(jì)示例1 課題:二次函數(shù) 的圖象 教學(xué)目標(biāo): 1、會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 的圖象; 2、根據(jù)圖象觀察、分析出二次函數(shù) 的性質(zhì); 3、進(jìn)一步理解二次函數(shù)和拋物線的有關(guān)知識(shí) 4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn); 5、滲透數(shù)形結(jié)合的...

  • 教案大全
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