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第二十六章“二次函數”簡介

第二十六章“二次函數”簡介

課程教材研究所 薛彬 學生已經學習了一次函數與反比例函數,對于函數已經有所認識。從一次函數與反比例函數的學習來看,學習一種函數大致包括以下內容:

(1) 通過具體實例認識這種函數;

(2) 探索這種函數的圖象和性質;

(3) 利用這種函數解決實際問題;

(4) 探索這種函數與相應方程等的關系。

本章“二次函數”的學習也是從以上幾個方面展開的。首先讓學生認識二次函數,掌握二次函數的圖象和性質,然后讓學生探索二次函數與一元二次方程的關系,從而得出用二次函數的圖象求一元二次方程的根的方法,最后讓學生運用二次函數的圖象和性質解決一些簡單的實際問題。

本章教學時間約需12課時,具體分配如下(僅供參考):

26.1  二次函數                   6課時

26.2  用函數觀點看一元二次方程           1課時

26.3  實際問題與二次函數              3課時

數學活動

小結                         2課時

一、教科書內容和課程學習目標

(一)本章知識結構框圖

(二)教科書內容

本章共分三節。首先介紹二次函數及其圖象,并從圖象得出二次函數的有關性質。然后探討二次函數與一元二次方程的聯系。最后通過設置探究欄目展現二次函數的應用。

在第一節中,首先從實例中引出二次函數,進而給出二次函數的定義。關于二次函數的圖象和性質的討論分為以下幾部分。

(1)從最簡單的二次函數函數y=x出發,通過描點畫出它的圖象,從而引出拋物線的有關概念。

(2)講述二次函數y=ax的圖象的畫法,并歸納出這類拋物線的特征。

(3)討論形如y=ax+k和y=a(x-h)的函數的圖象,然后討論形如y=a(x-h)+k的函數的圖象。

(4)討論函數y=ax+bx+c的圖象。

上述討論過程如下圖所示:

在第二節中,首先通過小球飛行高度問題展示二次函數與一元二次方程的聯系。然后進一步舉例說明,從而得出二次函數與一元二次方程的關系。最后通過例題介紹用二次函數的圖象求一元二次方程的根的方法。

在第三節中,通過最大利潤、磁盤存儲量、水位變化等三個探究問題,展示二次函數與實際的聯系,并運用二次函數的圖象和性質加以解決,提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。關于這三個問題進一步說明如下。

在探究1中,某商品價格調整,銷量會隨之變化。調整價格包括漲價與降價兩種情況。一般來講,商品價格上漲,銷量會隨之下降;商品價格下降,銷量會隨之增加。這兩種情況都會導致利潤的變化。教科書首先分析漲價的情況。在本題中,設漲價元,則可以確定銷量隨變化的函數式。由此得到銷售額、成本隨變化的函數式。進而得出利潤隨變化的函數式。由這個函數求出最大利潤則由學生自己完成。有了上述討論,降價的情況就讓學生自己去研究了。最后,讓學生綜合漲價與降價兩種情況,得出本題的答案。
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