第二十七章“相似”簡(jiǎn)介

>課程教材研究所　　李海東 在教科書前面，已經(jīng)研究圖形的全等，也研究了一些圖形的變換，如平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等，本章將在前面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究一種變換──相似。研究相似變換的性質(zhì)，相似三角形的判定等，并進(jìn)一步研究一種特殊的相似變換──位似。結(jié)合一些圖形性質(zhì)的探索、證明等，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力等。本章共安排三個(gè)小節(jié)和兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間大約需要13課時(shí)，具體安排如下（僅供參考）：

27.1 　圖形的相似 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2課時(shí)

27.2 　相似三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6課時(shí)

27.3 　位似 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3課時(shí)

數(shù)學(xué)活動(dòng)

小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2課時(shí)

一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

（二）教科書內(nèi)容

在前面，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了圖形的全等和全等三角形的有關(guān)知識(shí)，也研究了幾種圖形的全等變換，“全等”是圖形間的一種關(guān)系，具有這種關(guān)系的兩個(gè)圖形疊合在一起，能夠完全重合，也就是它們的形狀、大小完全相同。“相似”也是指圖形間的一種相互關(guān)系，但它與“全等”不同，這兩個(gè)圖形僅僅形狀相同，大小不一定相同，其中一個(gè)圖形可以看成是另一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換。當(dāng)放大或縮小的比例為1時(shí)，這兩個(gè)圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況。從這個(gè)意義上講，研究相似比研究全等更具有一般性，所以這一章所研究的問(wèn)題實(shí)際上是前面研究圖形的全等和一些全等變換基礎(chǔ)上的拓廣和發(fā)展。

在后面，我們還要學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”和“投影與視圖”的知識(shí)，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，都要用到相似的知識(shí)。在物理中，學(xué)習(xí)力學(xué)、光學(xué)等，也都要用到相似的知識(shí)。因此這一章的內(nèi)容也是今后學(xué)習(xí)所必須的基礎(chǔ)知識(shí)。另外，在實(shí)際生活中，在建筑設(shè)計(jì)、測(cè)量、繪圖等許多方面，也都要用到相似的有關(guān)知識(shí)。因此這一章內(nèi)容對(duì)于學(xué)生今后從事各種實(shí)際工作也具有重要作用。

在這套教科書中，“相似”的內(nèi)容安排在“圓”之后，主要是出于以下幾點(diǎn)考慮：首先，在課程標(biāo)準(zhǔn)中，相似是作為圖形的一種變換提出來(lái)的，而它又是在全等變換基礎(chǔ)上的拓展，所以教科書是先安排的的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等變換，后安排相似變換，而研究圓的一些性質(zhì)，又與旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系密切，因此把圓緊接著安排在了旋轉(zhuǎn)之后。其次，學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)，相應(yīng)于課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)于圓的要求，用不到相似的知識(shí)儲(chǔ)備。我們把相似的內(nèi)容安排在圓之后，還可以把圓中的一些問(wèn)題作為研究相似的應(yīng)用來(lái)處理。例如作為相似三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，教科書安排了相交線定理的例題，簡(jiǎn)單圓冪定理的習(xí)題等。這樣也能復(fù)習(xí)有關(guān)圓的知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)與圓的理解。

本章共有三小節(jié)內(nèi)容。第1小節(jié)“圖形的相似”主要介紹相似圖形、相似多邊形的概念，并探索出相似多邊形的性質(zhì)；第2小節(jié)“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在測(cè)量中的應(yīng)用以及相似三角形的周長(zhǎng)與面積；第3小節(jié)“位似”研究了一種特殊的相似──位似，研究了位似圖形的畫法以及平面直角坐標(biāo)系中的位似變換。

在“27.1 圖形的相似”中，教科書首先結(jié)合生活中常見(jiàn)的相似圖形的形象，給出了相似圖形的概念。接下來(lái)，教科書證明了相似的正三角形、正六邊形、以至正多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，從而給出相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)。

教科書接下來(lái)在第2小節(jié)進(jìn)一步深入的研究了相似三角形，它分為相似三角形的判定和相似三角形的應(yīng)用舉例以及相似三角形的周長(zhǎng)與面積三部分。在相似三角形的判定中，教科書介紹了四種判定方法，這些方法都是先通過(guò)學(xué)生探究，再進(jìn)行證明得到，這四種方法的地位作用以及證明方法也有區(qū)別和聯(lián)系。對(duì)于第一個(gè)判定方法，也就是“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，根據(jù)學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生還不能證明，因此教科書僅就它的一種特殊情況進(jìn)行了證明，并直接把這個(gè)定理告訴學(xué)生，它可以作為后三個(gè)判定定理的預(yù)備定理。后三個(gè)判定方法，則要通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用前面的預(yù)備定理來(lái)證明。相似三角形的判定和性質(zhì)在實(shí)際生活中應(yīng)用很多，主要在測(cè)量方面，教科書接下來(lái)的第2小節(jié)安排了幾個(gè)例子，舉例說(shuō)明了它的應(yīng)用。在第3小節(jié)中，教科書則重點(diǎn)研究了相似多邊形的周長(zhǎng)和面積的問(wèn)題。教科書首先證明了相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方，進(jìn)而利用分割的方法，得到相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比、面積也等于相似比的平方。