第四冊一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根x_1、2= 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x₁、x₂為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計(jì)算的知識。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。

根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理（韋達(dá)是法國數(shù)學(xué)家）。韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一個(gè)重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題，如二次三項(xiàng)式的因式分解，解二元二次方程組；韋達(dá)定理對后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。

通過近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出：韋達(dá)定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來，形成難度系數(shù)較大的壓軸題。

通過韋達(dá)定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn)，讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。

（三）教學(xué)目標(biāo) 

1、知識目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。

2、能力目標(biāo)：通過韋達(dá)定理的教學(xué)過程 ，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程 ，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

3、情感目標(biāo)：通過情境教學(xué)過程 ，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。

二、設(shè)計(jì)理念

根據(jù)教材內(nèi)容和本人研究的課題《初中數(shù)學(xué)問題引探教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究》，在教學(xué)中滲透新課標(biāo)的精神，注重過程數(shù)學(xué)，注重創(chuàng)新教學(xué)，注重問題意識，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)探索并獲取知識，教師是組織者、引導(dǎo)者、參與者。

三、教法與學(xué)法

（一）教法

1、充分以學(xué)生為主體進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生多實(shí)踐，從實(shí)踐中反思過程，讓學(xué)生經(jīng)歷韋達(dá)定理的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗(yàn)成功的樂趣。

2、采用“實(shí)踐（練習(xí)）——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。

3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。

4、問題引探，啟發(fā)誘導(dǎo)，進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué)。

（二）學(xué)法指導(dǎo)

1、引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。

2、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。

3、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。

四、課時(shí)劃分及教學(xué)過程 

（一）課時(shí)劃分

共分3課時(shí)

第一課時(shí)

1、根與系數(shù)的關(guān)系。

2、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用。

（1）求已知方程的兩根的平方和、倒數(shù)和、兩根差。

第二課時(shí)

1、已知兩數(shù)求作新方程。

2、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。

第三課時(shí)

方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用。

第一課時(shí)    一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）

一、教學(xué)目標(biāo) 

1、理解掌握一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根x₁，x₂與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。

2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個(gè)根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。

3、會(huì)求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。

4、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。

二、重難點(diǎn)

根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn)，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)中的符號是學(xué)生理解和掌握的難點(diǎn)。

三、教學(xué)過程 

（一）問題引探

問題1.在方程ax²+bx+c=0中，a的取值決定什么？b²-4ac的取值呢？同學(xué)們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax²+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。

問題2.解方程x²-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計(jì)算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？

問題3.解下列方程：

（1）2x²+5x+3=0                              （2）3x²-2x-2=0

并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表

請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？

問題4.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根x₁，x₂與a、b、c之間的關(guān)系：____________.

問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。

分小組討論以上的問題，并作出推理證明。

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁=，x₂= ,  則

x₁+x₂= + = ;

x₁ x₂= · =  

        =

即：如果ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=   ，x₁x₂= 。

由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。

這個(gè)關(guān)系是一個(gè)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達(dá)定理。

問題6.在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)）

①二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；

②當(dāng)a≠0時(shí)，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；

③當(dāng)a≠0時(shí)，△=b2-4ac可判定根的情況；

④當(dāng)a≠0，b²-4ac≥0時(shí)，x₁+x₂=   ，x₁x₂= 

⑤當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，方程有一根為0。

說明：1、本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

2、本設(shè)計(jì)遵循由特殊到一般，從實(shí)踐到理論（即從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識）的認(rèn)知規(guī)律。

3、本設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的反思過程，使學(xué)生將知識系統(tǒng)化、格式化。

（二）嘗試發(fā)展

試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x₁，x₂、k是常數(shù)）

（1）2x²-3x+1=0      x₁+x₂=________      x₁x₂=_________            

（2）3x²+5x=0        x₁+x₂=________      x₁x₂=__________            

（3）5x²+x-2=0       x₁+x₂=_________     x₁x₂=__________           

（4）5x²+kx-6=0      x₁+x₂=_________     x₁x₂=__________            

（此試一試作為鞏固知識而用）

嘗試題1、已知方程6x²+kx-5=0的一個(gè)根為，求它的另一個(gè)根及k的值。

組織學(xué)生自己分析解決，然后一學(xué)生演板，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。

學(xué)生練習(xí)：P₃₂ 2。

嘗試題2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。

討論：解上面問題的思路是什么？

得出：x₁²+ x₂²=( x₁+x₂)²-2 x₁x_{2;    .}(將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式)

（三）拓展創(chuàng)新

1、在嘗試2中能否求（x₁－x₂）的值？2、已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式a²-5a+6=0，b²-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b與ab的值？

說明：1、“試一試”是引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設(shè)計(jì)。

2、嘗試題1、2讓學(xué)生討論完成或獨(dú)立完成，可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。

3、“拓展創(chuàng)新”中是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性教學(xué)設(shè)計(jì)，也是開放性教學(xué)，使有的學(xué)生的奇異思維得到發(fā)展。

（四）歸納小結(jié)本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a≠0時(shí)，方程ax²+bx+c=0是一元二次方程。3、a≠0，且b2-4ac≥0時(shí)，方程ax²+bx+c=0的根為x_1、2= 4、b²-4ac的值可判定根的情況。5、a≠0，△≥0時(shí)，x₁+x₂=，x₁x₂=      。6、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。

（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關(guān)代數(shù)式的值。

（五）布置作業(yè) 

P₃₃A 1、2  B  1（1）

練習(xí)：1.已知三角形的兩邊長a、b是方程x²-kx+12=0的兩個(gè)，等腰三角形的另一條邊c=4,求這個(gè)等腰三角形的周長。

2、已知關(guān)于x的方程x²－2mx+ m²=0.其中分別是一個(gè)等腰三角形的腰和底邊的長.

（1）         求征這個(gè)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

（2）         若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根差的絕對值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的面積.

3、 已知二次函數(shù)y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn) ,求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.