“轉(zhuǎn)圈”中的數(shù)學(xué)
----“探索多邊形外角和”教學(xué)案例及點(diǎn)評(píng)執(zhí)教：荊門市京山實(shí)驗(yàn)中學(xué)/程詩(shī)春點(diǎn)評(píng)：荊門市教研室/羅昭旭摘自：《荊門教育信息網(wǎng)》我們的數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)教師乃至數(shù)學(xué)教學(xué)總是那么一幅正兒八經(jīng)的數(shù)學(xué)面孔：抽象化、符號(hào)化、程式化，使得原本生氣勃勃的青少年對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏.但實(shí)際情況是，實(shí)踐活動(dòng)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，社會(huì)生活充滿了數(shù)學(xué)，我們何不將數(shù)學(xué)的“真實(shí)”（背景、情境、發(fā)生過(guò)程等）再現(xiàn)給孩子們！本此目的，在執(zhí)教多邊形外角和時(shí)，作了如下嘗試.課例：首先，由多邊形的內(nèi)角和引出課題：多邊形的外角和。結(jié)合圖形（如下圖所示），老師和學(xué)生共同明確了多邊形的外角及外角和的意義后，提出問(wèn)題：請(qǐng)你想一想，下列圖中三角形、四邊形和五邊形的外角和m3、m4及m5，哪個(gè)大？然后分組計(jì)算討論.T：同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？S1：它們的外角和總是360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān).T：那為什么多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，而多邊形的外角和總是一個(gè)周角呢？你不感覺(jué)到意外嗎？(激發(fā)求知欲望）S2：可以用內(nèi)角和（n－2).180°來(lái)說(shuō)明它的正確性.（具體推導(dǎo)略）T：不錯(cuò).哪位同學(xué)能有更確切的見(jiàn)解？比方說(shuō)你們由周角會(huì)想到什么？(點(diǎn)擊思維火花）S3：每個(gè)頂點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，正好聯(lián)成一個(gè)周角.T：S3的見(jiàn)解太妙了，轉(zhuǎn)了一圈就是一個(gè)周角，360°就是轉(zhuǎn)了一圈.那么同學(xué)們會(huì)轉(zhuǎn)圈嗎？(刺激活動(dòng)興趣）S：（齊答）會(huì)！我們每天早鍛煉跑步就是在操場(chǎng)上轉(zhuǎn)圈.T：（如圖）清晨，小明沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小路，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?請(qǐng)思考：問(wèn)題(1)：小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角？在圖上標(biāo)出.問(wèn)題(2)：他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？S1：小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角分別是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.S2：我想小明在點(diǎn)A處第1次轉(zhuǎn)身前后視線夾角為∠1，同樣在點(diǎn)B處第2次轉(zhuǎn)身可得∠2，在C處第3次轉(zhuǎn)身得∠3，在點(diǎn)D處第4次轉(zhuǎn)身得∠4，點(diǎn)E處第5次轉(zhuǎn)身得∠5后，他與他原來(lái)方向一致，剛好轉(zhuǎn)了一圈，由此我想這五個(gè)外角的和是3600.[學(xué)生對(duì)問(wèn)題（1）、（1）的解決充分展示了他們思考的全程，同時(shí)也充分說(shuō)明給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間思考，他們會(huì)結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)結(jié)論，知識(shí)的形成過(guò)程與學(xué)生的能力同成長(zhǎng).]S3：沿各邊行走，應(yīng)該說(shuō)他的視線恰好掃過(guò)了一圈.S4：我在某一頂點(diǎn)沿各邊方向轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，恰好形成一個(gè)周角.T：好極了，S4回答得真精彩！作為一名數(shù)學(xué)教師，今天我總算明白了為什么多邊形的外角和總是360°.周而復(fù)始，原來(lái)如此！現(xiàn)在我們把轉(zhuǎn)圈的過(guò)程搬到黑板上來(lái).（教師拿來(lái)出圓規(guī)，使一邊與六邊形的一邊重合，另一邊沿著各邊方向旋轉(zhuǎn)……，直至最終重合在一起，形成周角）此時(shí)所旋轉(zhuǎn)的各角與各外角是什么關(guān)系？（自然過(guò)渡，恰到好處的抽象.）S5：所旋轉(zhuǎn)的各角與各外角是同位角. S6：這相當(dāng)于在一個(gè)頂點(diǎn)處分別作各邊的平行線而并未改變外角的大小.T：Very good!一語(yǔ)道破了天機(jī)！可見(jiàn)數(shù)學(xué)原本是實(shí)際生活的產(chǎn)物.（從具體到抽象，又從抽象回到具體實(shí)際，再現(xiàn)了“數(shù)學(xué)----生活”的主題.）T：好，非常好！我們已經(jīng)實(shí)實(shí)在在地“看”到了多邊形的外角和為周角這一有趣的結(jié)論.這里不妨再回頭比較一下它和多邊形內(nèi)角和的聯(lián)系與區(qū)別.（照應(yīng)前面S2說(shuō)過(guò)的話）S7：根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，可以由內(nèi)角和推導(dǎo)出外角和.S8：多邊形內(nèi)角和隨邊數(shù)增加而增加，而外角和始終為周角.S9：（舉手）老師，也可以由外角和推導(dǎo)內(nèi)角和.T：太好了！其實(shí)在前面探討多邊形內(nèi)角和時(shí)，我們是以三角形內(nèi)角和為基礎(chǔ)的，而用外角和來(lái)推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和更為方便.請(qǐng)大家填寫下列表格，作為課外的探討.多邊形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)內(nèi)外角總和內(nèi)角和外角和333×180°180°360°445566……………nn反思：上完這節(jié)課，我有一種如愿以償?shù)目煳?說(shuō)實(shí)話，從事數(shù)學(xué)教學(xué)以來(lái)，我一直在努力，在追求，在探索，但始終未能跳出“灌輸”的窠臼.應(yīng)該說(shuō)也是在沒(méi)完沒(méi)了的“轉(zhuǎn)圈”，就像多邊形外角和為360°，不知教了多少遍，但每次都是輕松地帶過(guò)，而未能真真切切地“看”到這個(gè)“圈”.直到今天，在這個(gè)“轉(zhuǎn)圈”的過(guò)程中，教師和學(xué)生們得到的不僅僅是一個(gè)周角，而是一種思想方法，一種全新的理念及其課程觀.點(diǎn)評(píng)：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)總是從定理到定理，用公式推公式，數(shù)學(xué)知識(shí)真實(shí)而生動(dòng)的背景、情景及發(fā)生過(guò)程被掩蓋得嚴(yán)嚴(yán)實(shí)實(shí).比如多邊形的外角和，我們總是用內(nèi)角和一證了之，沒(méi)有任何探究過(guò)程，更談不上有學(xué)生的親身體驗(yàn).本節(jié)課打破慣例，在師生共同的“轉(zhuǎn)圈”活動(dòng)中觀察、體驗(yàn)，讓學(xué)生真正看到了多邊形外角和是一個(gè)周角，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的真實(shí)背景及其本質(zhì)內(nèi)涵，學(xué)生當(dāng)然不會(huì)把360°當(dāng)作一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)去記憶了.它留給孩子們的不再是枯燥無(wú)味的數(shù)字和公式，而是鮮活又純真的“梨子的滋味”，天經(jīng)地義的結(jié)果和“原來(lái)如此”的感悟.